Limites en l'infini

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{7}{x^3}$ .
1. a)pas de limite finie
2. b) $3$
3. c) $7$
4. d) $0$
Réponse: $0$
Quand $x$ devient aussi grand que l'on veut, $x^3$ aussi, donc $\frac{7}{x^3}$ se rapproche de plus en plus de $0$ . La limite vaut $0$ .
2.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 + 3}{x^2 - 4}$ .
Réponse: 5
Les deux parties sont de degré $2$ , donc la limite est le quotient des coefficients dominants : $\frac{5}{1} = 5$ .
3.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ .
Réponse: 4
1. Combien vaut $\frac{1}{x}$ pour $x = 1000$ ? Écris-le sous forme décimale. 0.001
2. Vers quoi tend $\frac{1}{x}$ quand $x \to +\infty$ ? 0
3. Combien vaut $\lim_{x \to +\infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ ? 4
4.
Quelle est l'asymptote horizontale de $y = \frac{8x + 1}{2x - 3}$ ?
1. a) $y = 0$
2. b) $y = 4$
3. c) $y = 8$
4. d) $y = -3$
Réponse: $y = 4$
Les degrés sont égaux, donc l'asymptote est au quotient des coefficients dominants : $y = \frac{8}{2} = 4$ .
5.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(6 - 2e^{-x}\right)$ .
Réponse: 6
$e^{-x} \to 0$ , donc $2e^{-x} \to 0$ et $6 - 2e^{-x} \to 6 - 0 = 6$ .
6.
Calcule $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 5}$ .
Réponse: 2
1. Quel est le degré du numérateur ? 1
2. Quel est le degré du dénominateur ? 1
3. Les degrés sont égaux. Combien vaut la limite $\frac{2}{1}$ ? 2
7.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x}{5x^2 + 2}$ . Donne le résultat sous forme de fraction.
Réponse: 3/5
En divisant par $x^2$ , on obtient $\frac{3 - \frac{1}{x}}{5 + \frac{2}{x^2}} \to \frac{3}{5}$ .
8.
Que vaut $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4 + 1}{x^3 - 2x}$ ?
1. a) $0$
2. b)pas de limite finie, les valeurs deviennent aussi grandes que l'on veut
3. c) $4$
4. d) $1$
Réponse: pas de limite finie, les valeurs deviennent aussi grandes que l'on veut
Le numérateur est de degré $4$ et le dénominateur de degré $3$ . En divisant par $x^3$ , on obtient $\frac{x + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{2}{x^2}}$ , qui grandit comme $x$ : il n'y a pas de limite finie.
9.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{10x^2 + 3x}{5x^2 - 7}$ en divisant par la plus haute puissance de $x$ .
Réponse: 2
1. La plus haute puissance de $x$ au dénominateur est $x^n$ . Combien vaut $n$ ? 2
2. Après division par $x^2$ , le numérateur est $10 + \frac{3}{x}$ . Vers quoi tend-il ? 10
3. Le dénominateur est maintenant $5 - \frac{7}{x^2}$ . Vers quoi tend-il ? 5
4. Quelle est la limite ? 2
10.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 9}{x^2 + 1}$ .
Réponse: 0
Degré $1$ en haut, degré $2$ en bas. En divisant par $x^2$ , on obtient $\frac{\frac{4}{x} + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{0}{1} = 0$ .
11.
La courbe de $f(x) = \frac{12x^3 - 5}{4x^3 + x^2}$ a l'asymptote horizontale $y = L$ . Trouve $L$ .
Réponse: 3
1. Quel est le degré du numérateur ? 3
2. Quel est le degré du dénominateur ? 3
3. Quel est le coefficient dominant du numérateur ? 12
4. Quel est le coefficient dominant du dénominateur ? 4
5. Combien vaut $L$ ? 3
12.
Quelle fonction a l'asymptote horizontale $y = 0$ ?
1. a) $y = 5 + e^{-x}$
2. b) $y = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$
3. c) $y = \frac{x^3}{x + 1}$
4. d) $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
Réponse: $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
Dans $\frac{x + 4}{x^2 - 9}$ , le numérateur est de degré $1$ et le dénominateur de degré $2$ , donc la limite vaut $0$ . Les autres tendent vers $2$ , deviennent aussi grandes que l'on veut ou tendent vers $5$ .
13.
Calcule $\lim_{x \to -\infty} \frac{3 - 6x^3}{2x^3 + x}$ .
Réponse: -3
1. Quel est le coefficient dominant du numérateur $3 - 6x^3$ ? -6
2. Quel est le coefficient dominant du dénominateur $2x^3 + x$ ? 2
3. Les deux degrés valent 3. Quelle est la limite ? -3
14.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 3)^2}{x^2 + 1}$ .
Réponse: 4
1. En développant, $(2x + 3)^2 = ax^2 + 12x + 9$ . Combien vaut $a$ ? 4
2. Quel est le degré du numérateur ? 2
3. Les degrés sont égaux. Quelle est la limite ? 4
15.
Que devient $\frac{5x^2 + 1}{3 - 2x}$ quand $x \to -\infty$ ?
1. a)tend vers $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $-\frac{5}{2}$
4. d)tend vers $+\infty$
Réponse: tend vers $+\infty$
Degré $2$ en haut, degré $1$ en bas : pas de limite finie. Pour $x$ très négatif, le numérateur est positif et $3 - 2x$ aussi, donc la fraction tend vers $+\infty$ : pour $x = -1000$ , elle vaut environ $4985$ .
16.
Le coût moyen par objet d'une entreprise est $C(x) = \frac{2000 + 8x}{x}$ euros pour $x$ objets. Vers quoi tend le coût moyen quand $x$ devient aussi grand que l'on veut ?
Réponse: 8
1. Combien vaut $C(500)$ ? 12
2. Écris $C(x) = \frac{2000}{x} + 8$ . Vers quoi tend $\frac{2000}{x}$ ? 0
3. Quelle est la limite de $C(x)$ ? 8
17.
Pour quelle valeur de $k$ la courbe de $y = \frac{kx^2 + 1}{4x^2 - 3}$ a-t-elle l'asymptote horizontale $y = 5$ ?
Réponse: 20
Degrés égaux, donc l'asymptote est $y = \frac{k}{4}$ . De $\frac{k}{4} = 5$ , on tire $k = 20$ .
18.
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{6 + 2e^{-x}}{3 - e^{-x}}$ .
Réponse: 2
1. Vers quoi tend $e^{-x}$ quand $x \to +\infty$ ? 0
2. Vers quoi tend le numérateur $6 + 2e^{-x}$ ? 6
3. Vers quoi tend le dénominateur $3 - e^{-x}$ ? 3
4. Quelle est la limite ? 2