Guide de l'enseignant: Limites en l'infini

Trouve vers quoi tend une fonction quand x devient aussi grand que l'on veut, compare les degrés des fonctions rationnelles et relie les limites en l'infini aux asymptotes horizontales.

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Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Expliquer ce que signifient $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$
Utiliser $\frac{1}{x^n} \to 0$ et $e^{-x} \to 0$ pour calculer des limites en l'infini simples
Calculer les limites de fonctions rationnelles en divisant par la plus haute puissance de $x$
Prévoir la limite d'une fonction rationnelle en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur
Relier une limite finie en l'infini à une asymptote horizontale de la courbe

Prérequis

• Introduction aux limites et Notation des limites (savoir lire $x \to \infty$ )
• Limites par substitution directe
• Degré et coefficient dominant d'un polynôme
• Simplifier des fractions et calculer avec des puissances de $x$
• Propriétés de base de la fonction exponentielle $e^x$

Amorces de discussion

1. Pourquoi $\frac{1}{x}$ se rapproche-t-il de $0$ sans jamais l'atteindre ? À quoi cela ressemble-t-il sur la courbe ?
2. Si le numérateur et le dénominateur deviennent tous les deux énormes, comment la fraction peut-elle tendre vers un nombre fixe ?
3. Connais-tu une grandeur de la vie quotidienne qui se stabilise à une valeur fixe à long terme ?
4. Pourquoi une courbe peut-elle couper une asymptote horizontale mais pas une asymptote verticale ?
5. Comment expliquerais-tu à un ami pourquoi seuls les termes de plus haut degré comptent quand $x$ est très grand ?

Idées reçues courantes

$\frac{\infty}{\infty} = 1$ et $\infty - \infty = 0$

Remédiation: Montre trois fractions dont toutes les parties deviennent énormes mais dont les limites sont $0$ , $3$ et inexistante. Fais un tableau de valeurs pour $x = 10, 100, 1000$ pour que les élèves voient les différentes vitesses de croissance.

Le coefficient dominant est le premier nombre écrit

Remédiation: Fais réécrire chaque polynôme dans l'ordre des puissances décroissantes avant de comparer, par exemple $2 - 8x^3 = -8x^3 + 2$ .

Une asymptote horizontale est une droite que la courbe ne touche jamais

Remédiation: Trace $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ et montre où elle coupe $y = 0$ . Insiste sur le fait que l'asymptote ne concerne que les extrémités de la courbe.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des tableaux de valeurs pour $x = 10, 100, 1000$ avant tout calcul algébrique
• N'utiliser d'abord que des fonctions de degrés égaux avec des coefficients positifs
• Donner une fiche avec les trois règles sur les degrés à garder à côté du travail

Pour les élèves au niveau:

• S'entraîner à diviser par la plus haute puissance dans les trois cas de degrés
• Inclure des limites en $-\infty$ et des coefficients dominants négatifs
• Associer des fonctions rationnelles à leurs courbes grâce à leurs asymptotes horizontales

Pour les élèves avancés:

• Trouver l'asymptote oblique quand le degré du numérateur dépasse de un, par division euclidienne des polynômes
• Étudier $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x + 2}$ et comparer avec $x \to -\infty$
• Construire une fonction rationnelle avec une asymptote horizontale donnée et un zéro donné

Alignement aux standards

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Tracer des fonctions rationnelles en repérant les zéros et les asymptotes, et montrer le comportement à l'infini
HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Interpréter les caractéristiques clés des courbes et des tableaux de valeurs d'une fonction, y compris le comportement à l'infini
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Interpréter le comportement des fonctions à l'aide de limites faisant intervenir l'infini

Ressources de la leçon

visualCurseur d'asymptote
Déplace le coefficient dominant $a$ dans $\frac{ax^2 + 1}{x^2 + 3}$ et observe l'asymptote horizontale $y = a$ le suivre
activityLa course des degrés
Les élèves calculent le numérateur et le dénominateur pour $x = 10, 100, 1000$ pour voir quelle partie grandit le plus vite
worksheetTrier les trois cas
Classer 12 fonctions rationnelles : limite 0, quotient des coefficients dominants ou pas de limite finie

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une limite en l'infini décrit ce que devient

f(x)

quand

x

devient aussi grand que l'on veut (ou aussi petit que l'on veut, vers les négatifs).

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

signifie : quand

x

prend des valeurs de plus en plus grandes (

10, 100, 1000, \ldots

), les valeurs

f(x)

se rapprochent autant que l'on veut de

L

. De la même façon,

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

regarde

x = -10, -100, -1000, \ldots

(on écrit aussi

x \to \infty

pour

x \to +\infty

Quand une telle limite finie existe, la droite

y = L

est une asymptote horizontale de la courbe.

La brique de base : pour tout exposant positif

n

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0

Un nombre fixe divisé par un nombre énorme est minuscule. De plus,

\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0

, car

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

Fonctions rationnelles : compare le degré du numérateur (

n

) avec le degré du dénominateur (

m

) :

$n < m$ : la limite vaut $0$ (asymptote $y = 0$ )
$n = m$ : la limite est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré
$n > m$ : il n'y a pas de limite finie (pas d'asymptote horizontale)

Pourquoi ça marche : divise chaque terme par la plus haute puissance de

x

du dénominateur. Chaque terme de la forme

\frac{c}{x^k}

tend vers

0

et il ne reste que les termes de plus haut degré. Par exemple,

\frac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to \frac{2}{1} = 2

Exemples résolus

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$ .

Essaie quelques grandes valeurs de x

$x = 10$ : $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$ ; $x = 100$ : $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ → Les valeurs se rapprochent de $3$

Utilise la règle de base

$\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ et $\frac{1}{x^2} \to 0$ → $\frac{5}{x^2} \to 0$

Additionne les limites

$3 + 0$ → $3$

Réponse: $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$ , donc $y = 3$ est une asymptote horizontale.

Erreurs courantes

Remplacer x par l'infini : $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Pourquoi c'est faux: $\infty$ n'est pas un nombre : on ne peut ni le remplacer ni le simplifier. Le numérateur et le dénominateur peuvent grandir à des vitesses très différentes, c'est une forme indéterminée.

Correct: Divise d'abord par la plus haute puissance de $x$ . Pour $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ , la limite vaut $3$ , pas $1$ .

Prendre le premier coefficient écrit au lieu du coefficient dominant : $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Pourquoi c'est faux: Le coefficient dominant est celui du terme de plus haut degré, quelle que soit sa place dans l'expression.

Correct: Le terme de plus haut degré de $2 - 8x^3$ est $-8x^3$ , donc la limite vaut $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ .

Inverser les règles : "degré plus petit en haut, donc pas de limite"

Pourquoi c'est faux: Quand le dénominateur a le plus grand degré, il grandit beaucoup plus vite, ce qui pousse la fraction vers $0$ .

Correct: Degré plus petit en haut : limite $0$ . Degré plus grand en haut : pas de limite finie. Degrés égaux : quotient des coefficients dominants.

Croire qu'une courbe ne peut jamais couper son asymptote horizontale

Pourquoi c'est faux: Une asymptote horizontale ne décrit que la courbe tout à gauche et tout à droite. Au milieu, la courbe peut la traverser.

Correct: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ a l'asymptote $y = 0$ et la coupe pourtant en $x = -\frac{1}{3}$ .

Pourquoi c'est important

Les limites en l'infini répondent à la question "que se passe-t-il à long terme ?" :

Sciences : un café chaud refroidit vers la température de la pièce ; la limite de son modèle de température est cette température ambiante
Économie : le coût moyen par objet baisse vers le coût des matériaux quand la production augmente, car les coûts fixes sont répartis sur beaucoup d'objets
Médecine et chimie : les concentrations dans une cuve de mélange ou dans le sang se stabilisent à un niveau fixe
Tracer des courbes : les asymptotes horizontales montrent d'un coup d'œil le comportement à l'infini des fonctions rationnelles
Analyse : les intégrales généralisées, les séries et de nombreux modèles de physique reposent sur les limites en l'infini

Cette leçon s'appuie sur les leçons « Introduction aux limites » et « Notation des limites » : tu y as rencontré le symbole

x \to \infty

, ici tu apprends à calculer ces limites rapidement et sûrement.

Applications dans le monde réel

Le café qui refroidit

La loi de refroidissement de Newton dit qu'une boisson chaude refroidit vers la température de la pièce. La température à long terme est une limite en l'infini.

Exemple:

Une tasse de thé suit $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (degrés Celsius, $t$ en minutes). Comme $e^{-0{,}05t} \to 0$ , le thé se rapproche de $22°C$ .

1Essaie par toi-même

Un café tout juste préparé a la température $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$ degrés Celsius après $t$ minutes.

De quelle température le café se rapproche-t-il à long terme ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\lim_{t \to +\infty} T(t)$ :

Coût moyen dans un atelier

Les coûts fixes (loyer, machines) sont partagés entre tous les objets produits. Plus il y a d'objets, plus la part de chacun est petite, donc le coût moyen se rapproche du coût unitaire des matériaux.

Exemple:

Une boulangerie avec 300 € de coûts fixes par jour et 2 € d'ingrédients par gâteau a un coût moyen $\frac{300 + 2x}{x}$ , qui se rapproche de 2 € par gâteau.

2Essaie par toi-même

Un atelier de poterie a des coûts fixes de 5000 €, et chaque tasse coûte 12 € d'argile et d'émail. Le coût moyen de $x$ tasses est $C(x) = \frac{5000 + 12x}{x}$ euros.

Vers quoi tend le coût moyen par tasse quand le nombre de tasses devient aussi grand que l'on veut ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ en euros :

Concentration de sel dans une cuve

Les ingénieurs chimistes modélisent l'évolution d'un mélange au cours du temps. Quand de l'eau salée entre sans arrêt dans une cuve, la concentration se stabilise à une valeur fixe.

Exemple:

Si la quantité de sel dans une cuve vaut $50t$ grammes et le volume $100 + 2t$ litres, la concentration $\frac{50t}{100 + 2t}$ tend vers $\frac{50}{2} = 25$ grammes par litre.

3Essaie par toi-même

Une cuve contient 200 litres d'eau pure. De l'eau salée à 30 grammes de sel par litre y entre à 4 litres par minute (et rien ne sort). Après $t$ minutes, la concentration est $C(t) = \frac{120t}{200 + 4t}$ grammes par litre.

De quelle concentration la cuve se rapproche-t-elle à long terme ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ en grammes par litre :

Points clés

1 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche autant que l'on veut de $L$ quand $x$ devient aussi grand que l'on veut ; $x \to -\infty$ fonctionne de la même façon vers la gauche
2Résultats de base : $\frac{1}{x^n} \to 0$ pour tout $n$ positif quand $x \to \pm\infty$ , et $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$
3Pour la limite d'une fonction rationnelle, divise chaque terme par la plus haute puissance de $x$ du dénominateur
4Degré plus petit en haut : limite $0$ . Degrés égaux : quotient des coefficients dominants. Degré plus grand en haut : pas de limite finie
5Une limite finie $L$ en l'infini signifie que $y = L$ est une asymptote horizontale ; la courbe peut quand même la couper au milieu
6Ne remplace jamais x par $\infty$ : une expression comme $\frac{\infty}{\infty}$ est une forme indéterminée

Questions fréquentes

Puis-je simplement remplacer x par un très grand nombre au lieu de calculer la limite ?

Un grand nombre comme

x = 1000

est une bonne vérification et montre souvent la tendance, mais ce n'est pas une preuve. Le calcul (diviser par la plus haute puissance) donne la valeur exacte, par exemple exactement

3

au lieu de

2{,}9992

Les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ sont-elles toujours égales ?

Pour les fonctions rationnelles qui ont une limite finie, oui : les deux côtés donnent la même asymptote horizontale. D'autres fonctions peuvent différer. Par exemple,

e^{-x} \to 0

quand

x \to +\infty

, mais

e^{-x}

devient aussi grand que l'on veut quand

x \to -\infty

Une courbe peut-elle couper son asymptote horizontale ?

Oui. L'asymptote décrit seulement le comportement tout à gauche ou tout à droite. La courbe de

\frac{3x + 1}{x^2 + 1}

coupe

y = 0

x = -\frac{1}{3}

, puis s'en rapproche de nouveau.

Que se passe-t-il quand le degré du numérateur dépasse exactement de un celui du dénominateur ?

Cela va au-delà de cette leçon, pour aller plus loin. Il n'y a alors pas d'asymptote horizontale, mais la courbe se rapproche d'une droite inclinée (une asymptote oblique). Pour

\frac{x^3}{x^2 + 1}

, c'est la droite

y = x

. On la trouve avec la division euclidienne des polynômes.

Glossaire

Limite en l'infini: La valeur $L$ vers laquelle tend $f(x)$ quand $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$ , notée $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$
Asymptote horizontale: Une droite horizontale $y = L$ dont la courbe se rapproche tout à gauche ou tout à droite, où $L$ est une limite en l'infini
Degré: La plus haute puissance de $x$ dans un polynôme, par exemple $3$ dans $4x^3 - x$
Terme de plus haut degré: Le terme avec la plus haute puissance de $x$ ; son nombre est le coefficient dominant (dans $2 - 8x^3$ , c'est $-8x^3$ )
Comportement à l'infini: La façon dont les valeurs d'une fonction évoluent quand $x$ devient aussi grand que l'on veut, dans un sens ou dans l'autre

Carte des formules

Inverses des puissances

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^n} = 0 \quad (n > 0)

Un nombre fixe divisé par une puissance de plus en plus grande se rapproche de zéro

Décroissance exponentielle

\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0

Car $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ et $e^x$ devient aussi grand que l'on veut

Degré plus petit en haut

n < m : \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = 0

Asymptote horizontale $y = 0$

Degrés égaux

n = m : \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \frac{a_n}{b_m}

Asymptote horizontale au quotient des coefficients dominants

Degré plus grand en haut

n > m : \ \text{pas de limite finie}

Les valeurs deviennent aussi grandes que l'on veut en valeur absolue, pas d'asymptote horizontale

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Le café qui refroidit

Coût moyen dans un atelier

Concentration de sel dans une cuve

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Inverses des puissances

Décroissance exponentielle

Degré plus petit en haut

Degrés égaux

Degré plus grand en haut

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Notation des limites

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Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs