Formule de changement de base

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle expression est égale à $\log_5 20$ ?
1. a) $\log 20 \cdot \log 5$
2. b) $\log \dfrac{20}{5}$
3. c) $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
4. d) $\dfrac{\log 5}{\log 20}$
Réponse: $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
D'après la formule de changement de base, $\log_5 20 = \dfrac{\log 20}{\log 5} \approx 1{,}86$ . La fraction à l'envers est fausse, et $\log \dfrac{20}{5} = \log 20 - \log 5 = \log 4$ est un autre nombre.
2.
Calcule $\log_2 10$ avec la formule de changement de base. Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 3.32
$\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}30103} \approx 3{,}32193 \approx 3{,}32$ . Vérification : $2^3 = 8$ et $2^4 = 16$ , donc le résultat est entre 3 et 4.
3.
Quel logarithme est égal à $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ ?
1. a) $\ln 5$
2. b) $\log_7 2$
3. c) $\log_2 14$
4. d) $\log_2 7$
Réponse: $\log_2 7$
En lisant la formule à l'envers : $\dfrac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7 \approx 2{,}81$ . La base 2 est au dénominateur et l'argument 7 en haut. $\log_7 2$ est la version à l'envers, et $\ln 5$ vient d'une soustraction erronée $7 - 2$ .
4.
Calcule $\log_3 20$ avec la touche log ou ln. Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 2.73
$\log_3 20 = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}30103}{0{,}47712} \approx 2{,}72683 \approx 2{,}73$ . Avec ln : $\dfrac{2{,}99573}{1{,}09861}$ donne le même résultat.
5.
Calcule $\log_6 100$ avec des logarithmes décimaux. Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 2.57
1. Que vaut $\log 100$ ? 2
2. Que vaut $\log 6$ ? Arrondis à 4 décimales. 0.7782
3. Divise $\log 100$ par $\log 6$ . Arrondis à 2 décimales. 2.57
6.
Calcule $\log_2 30$ avec des logarithmes népériens. Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 4.91
1. Que vaut $\ln 30$ ? Arrondis à 4 décimales. 3.4012
2. Que vaut $\ln 2$ ? Arrondis à 4 décimales. 0.6931
3. Divise $\ln 30$ par $\ln 2$ . Arrondis à 2 décimales. 4.91
7.
Quelle est la valeur exacte de $\log_9 27$ ? (Indice : choisis la base 3.)
1. a) $\dfrac{3}{2}$
2. b) $\dfrac{1}{3}$
3. c) $\dfrac{2}{3}$
4. d) $3$
Réponse: $\dfrac{3}{2}$
$\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$ . Vérification : $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ .
8.
Utilise la base 2 pour trouver la valeur exacte de $\log_8 32$ . Écris-la sous forme de fraction, par exemple 7/4.
Réponse: 5/3
$\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$ . Vérification : $8^{5/3} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$ .
9.
On te donne $\log_3 7 \approx 1{,}7712$ . Utilise la règle de l'inverse pour trouver $\log_7 3$ . Arrondis à 4 décimales.
Réponse: 0.5646
Échanger la base et l'argument donne l'inverse : $\log_7 3 = \dfrac{1}{1{,}7712} \approx 0{,}56459 \approx 0{,}5646$ . C'est logique : $3 < 7$ , donc $\log_7 3$ est inférieur à 1.
10.
Résous $2^x = 50$ . La solution est $x = \log_2 50$ ; calcule-la avec des logarithmes décimaux. Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 5.64
1. Que vaut $\log 50$ ? Arrondis à 4 décimales. 1.6990
2. Que vaut $\log 2$ ? Arrondis à 4 décimales. 0.3010
3. Divise pour trouver $x$ . Arrondis à 2 décimales. 5.64
11.
Lequel est le plus grand : $\log_2 12$ ou $\log_3 30$ ?
Réponse: $\log_2 12$
1. Calcule $\log_2 12$ . Arrondis à 2 décimales. 3.58
2. Calcule $\log_3 30$ . Arrondis à 2 décimales. 3.10
3. Quel logarithme est le plus grand ? $\log_2 12$
12.
Pour des nombres positifs $a \neq 1$ et $b \neq 1$ , que vaut $\log_b a \cdot \log_a b$ ?
1. a) $1$
2. b) $\log(ab)$
3. c) $0$
4. d) $\dfrac{a}{b}$
Réponse: $1$
$\log_b a \cdot \log_a b = \dfrac{\log a}{\log b} \cdot \dfrac{\log b}{\log a} = 1$ . Les deux logarithmes sont inverses, par exemple $\log_2 8 \cdot \log_8 2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$ .
13.
Trouve la valeur exacte de $\log_{25} 125$ en passant à la base 5. Donne le résultat sous forme décimale.
Réponse: 1.5
1. Que vaut $\log_5 125$ ? 3
2. Que vaut $\log_5 25$ ? 2
3. Divise le premier résultat par le second. Que vaut $\log_{25} 125$ en écriture décimale ? 1.5
14.
Quelle expression n'est PAS égale à $\log_2 9$ ?
1. a) $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
2. b) $\dfrac{1}{\log_9 2}$
3. c) $\dfrac{\log 9}{\log 2}$
4. d) $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$
Réponse: $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
$\dfrac{\log 9}{\log 2}$ et $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$ sont la formule de changement de base ( $\approx 3{,}17$ ), et $\dfrac{1}{\log_9 2}$ est la règle de l'inverse. $\dfrac{\log 2}{\log 9} = \log_9 2 \approx 0{,}32$ est la fraction à l'envers.
15.
Calcule $\log_{1{,}5} 10$ . Arrondis à 2 décimales.
Réponse: 5.68
$\log_{1{,}5} 10 = \dfrac{1}{\log 1{,}5} \approx \dfrac{1}{0{,}17609} \approx 5{,}67887 \approx 5{,}68$ . Une base proche de 1 croît lentement, il faut donc un grand exposant pour atteindre 10 : $1{,}5^{5{,}68} \approx 10$ .
16.
Un placement augmente de 7 % par an (intérêts composés annuels). Au bout de combien d'années entières a-t-il au moins doublé ?
Réponse: 11
1. Quel est le coefficient multiplicateur annuel (la base du logarithme) ? 1.07
2. Calcule $\dfrac{\log 2}{\log 1{,}07}$ . Arrondis à 2 décimales. 10.24
3. Les intérêts sont ajoutés une fois par an. Au bout de combien d'années entières le placement a-t-il au moins doublé ? 11
17.
Simplifie $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ sans calculatrice.
Réponse: 3
1. Après simplification, le numérateur est $\ln$ de quel nombre ? 8
2. Et le dénominateur est $\ln$ de quel nombre ? 2
3. Quelle est la valeur du produit entier ? 3
18.
Calcule $\log_4 60$ avec des logarithmes népériens. Arrondis à 3 décimales.
Réponse: 2.953
1. Que vaut $\ln 60$ ? Arrondis à 4 décimales. 4.0943
2. Que vaut $\ln 4$ ? Arrondis à 4 décimales. 1.3863
3. Divise $\ln 60$ par $\ln 4$ . Arrondis à 3 décimales. 2.953