Guide de l'enseignant: Formule de changement de base

Utilise la formule de changement de base pour calculer un logarithme de n'importe quelle base avec la touche log ou ln de ta calculatrice.

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Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la formule de changement de base et les conditions sur les bases
Démontrer la formule à partir de la définition du logarithme et de la propriété de la puissance
Calculer des logarithmes de toute base avec la touche log ou ln, arrondis au nombre de décimales demandé
Trouver des valeurs exactes comme $\log_4 8$ en choisissant une nouvelle base adaptée
Utiliser la règle de l'inverse $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$

Prérequis

• Définition du logarithme : $\log_b x = y$ signifie $b^y = x$
• Logarithme décimal (base 10) et Logarithme népérien (ln) : log et ln à la calculatrice
• Propriété de la puissance des logarithmes : $\log(b^y) = y \log b$
• Arrondir à un nombre donné de décimales

Amorces de discussion

1. Ta calculatrice n'a que log et ln. Comment pourrais-tu quand même trouver $\log_7 100$ ?
2. Pourquoi, à ton avis, $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ et $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ donnent-ils exactement le même nombre ?
3. Avant de calculer, entre quels deux entiers se trouve $\log_2 30$ ? Comment le sais-tu ?
4. Si $\log_2 5 \approx 2{,}32$ , que peux-tu dire de $\log_5 2$ sans calculatrice ?

Idées reçues courantes

La base se met au numérateur de la fraction

Remédiation: Toujours estimer d'abord : $\log_3 50$ est entre 3 et 4 car $27 < 50 < 81$ . Un résultat de $0{,}28$ est alors clairement faux. Moyen mnémotechnique : la base, c'est la fondation, donc elle est en bas.

$\dfrac{\log a}{\log b}$ est la même chose que $\log \dfrac{a}{b}$

Remédiation: Calcule les deux pour $a = 100$ , $b = 10$ : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , mais $\log 10 = 1$ . Compare ensuite avec la propriété du quotient, qui parle d'une soustraction.

Avec ln on obtient un autre résultat qu'avec log

Remédiation: Fais calculer le même exercice à une moitié de la classe avec log et à l'autre avec ln, puis comparez. Les logarithmes pris séparément diffèrent, le quotient non. Le graphique avec les deux courbes le montre pour tout $x$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des valeurs qui tombent juste, comme $\log_2 32 = \dfrac{\log 32}{\log 2} = 5$ , pour faire confiance à la formule
• Donner un modèle : $\log_{\square} \triangle = \dfrac{\log \triangle}{\log \square}$
• S'entraîner à taper tout le quotient d'un coup sur la calculatrice

Pour les élèves au niveau:

• Calculer des logarithmes de base 2, 3, 5, 7 et 1,05 à 2 et 3 décimales
• Vérifier chaque résultat par une estimation avec des puissances
• Trouver des valeurs exactes comme $\log_9 27$ et $\log_8 32$ avec une base adaptée

Pour les élèves avancés:

• Démontrer $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ et simplifier des produits comme $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$
• Montrer par changement de base que $\log_{b^n} x^n = \log_b x$
• Expliquer pourquoi la courbe de $y = \log_b x$ est une dilatation verticale de celle de $y = \ln x$ de facteur $\dfrac{1}{\ln b}$

Alignement aux standards

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Exprimer la solution d'une équation exponentielle comme un logarithme de base 2, 10 ou e et le calculer avec un outil numérique
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre puissances et logarithmes et l'utiliser pour résoudre des problèmes
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Choisir un niveau de précision adapté aux limites de la mesure pour donner des grandeurs

Ressources de la leçon

visualDeux courbes identiques
Trace $y = \dfrac{\log x}{\log b}$ et $y = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ avec un curseur pour $b$ : les courbes sont exactement superposées
activityEstimer d'abord, calculer ensuite
Les élèves encadrent $\log_b x$ entre deux entiers à l'aide des puissances de $b$ , puis vérifient à la calculatrice
worksheetTemps de doublement et divisions par deux
Problèmes concrets sur les intérêts, la recherche dichotomique et la croissance, chacun arrondi à un nombre de décimales indiqué

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La plupart des calculatrices n'ont que deux touches de logarithme : log (base 10, le logarithme décimal) et ln (base

e

, le logarithme népérien). La formule de changement de base permet de calculer un logarithme de n'importe quelle base avec l'une de ces touches :

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Ici

x > 0

b > 0

b \neq 1

, et la nouvelle base

c

peut être n'importe quel nombre positif différent de

1

. En pratique, on choisit

c = 10

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Pourquoi ça marche : pose

y = \log_b x

. Alors

b^y = x

. Prends le logarithme décimal des deux membres :

\log(b^y) = \log x

. La propriété de la puissance donne

y \cdot \log b = \log x

, donc

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Exemple :

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(arrondi à 2 décimales). Vérification :

3^{3{,}56} \approx 50

Un cas particulier utile : en échangeant la base et l'argument, on obtient l'inverse,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Arrondi : fais toute la division à la calculatrice et n'arrondis que le résultat final, au nombre de décimales demandé dans l'énoncé.

Exemples résolus

Calcule $\log_3 50$ . Arrondis à 2 décimales.

Écris la formule de changement de base avec la base 10

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcule les deux logarithmes décimaux à la calculatrice

$\log 50 \approx 1{,}69897$ et $\log 3 \approx 0{,}47712$ → Garde tous les chiffres pour l'instant

Divise, puis arrondis seulement à la fin

$1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Vérifie avec la définition

$3^3 = 27$ et $3^4 = 81$ , donc le résultat doit être entre 3 et 4. De plus $3^{3{,}56} \approx 50$ → Cohérent

Réponse: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Erreurs courantes

Écrire la fraction à l'envers : $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Pourquoi c'est faux: La base va au dénominateur. Une estimation rapide montre l'erreur : $3^3 = 27$ et $3^4 = 81$ , donc $\log_3 50$ doit être entre 3 et 4, pas inférieur à 1.

Correct: L'argument en haut, la base en bas : $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Transformer un quotient de logarithmes en logarithme d'un quotient : $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Pourquoi c'est faux: La propriété du quotient dit que $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Elle concerne une différence de logarithmes, pas une division.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ est une simple division de deux nombres : $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Simplifier le mot log : $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Pourquoi c'est faux: log est une fonction, pas un facteur. On ne peut pas le simplifier comme un nombre commun dans une fraction.

Correct: Calcule d'abord $\log 50$ et $\log 3$ , puis divise : $\approx 3{,}56$

Arrondir trop tôt : $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Pourquoi c'est faux: Arrondir $\log 50$ et $\log 3$ avant de diviser modifie la deuxième décimale du résultat.

Correct: Divise avec tous les chiffres de la calculatrice (ou tape log(50)/log(3) d'un coup) et n'arrondis que le résultat final : $3{,}56$

Pourquoi c'est important

C'est la formule de changement de base qui rend les logarithmes vraiment utilisables :

Toutes les bases sur toutes les calculatrices : $\log_2$ , $\log_3$ ou $\log_{1{,}05}$ deviennent une seule division avec la touche log ou ln.
Argent et croissance : le temps pour qu'une épargne double à 5 % par an est $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ ans.
Informatique : la recherche dichotomique et les bits utilisent la base 2. Chercher parmi 1 000 000 éléments triés demande environ $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , donc 20 divisions par deux.
Biologie : une population qui triple chaque heure a besoin de $\log_3 500 \approx 5{,}66$ heures pour devenir 500 fois plus grande.
Résoudre des équations : toute équation exponentielle comme $2^x = 50$ a pour solution $x = \log_2 50$ , que tu calcules avec cette formule.

Elle explique aussi pourquoi

\log

\ln

suffisent : tout autre logarithme n'est que l'un d'eux divisé par une constante.

Applications dans le monde réel

Quand ton épargne aura-t-elle doublé ?

Avec des intérêts composés annuels, l'argent est multiplié chaque année par le même coefficient multiplicateur. Le temps de doublement est un logarithme dont la base est ce coefficient.

Exemple:

À 3 % par an, le coefficient est $1{,}03$ , donc l'argent double quand $1{,}03^t = 2$ , c'est-à-dire après $t = \log_{1{,}03} 2$ ans.

1Essaie par toi-même

Tu places 1000 € sur un livret d'épargne à 3 % d'intérêts par an, versés une fois par an.

Au bout de combien d'années l'argent a-t-il doublé ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $\log_{1{,}03} 2$ comme quotient de deux logarithmes décimaux (tape l'expression sous la forme log(a)/log(b), pas la valeur arrondie) :

La recherche dichotomique en informatique

La recherche dichotomique trouve un élément dans une liste triée en la coupant en deux encore et encore. Le nombre de divisions par deux est un logarithme de base 2, que les ordinateurs calculent par changement de base.

Exemple:

Une liste triée de 1024 noms demande $\log_2 1024 = 10$ divisions par deux, car $2^{10} = 1024$ .

2Essaie par toi-même

Une base de données contient 1 000 000 enregistrements triés. Chaque étape de la recherche dichotomique divise par deux le nombre d'enregistrements restants.

Combien de divisions par deux faut-il pour arriver à un seul enregistrement ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $\log_2 1000000$ comme quotient de deux logarithmes décimaux (tape l'expression sous la forme log(a)/log(b), pas la valeur arrondie) :

Des bactéries qui triplent chaque heure

Certaines cultures de bactéries triplent chaque heure. Le temps pour atteindre une certaine taille est un logarithme de base 3.

Exemple:

Après 2 heures, la culture est $3^2 = 9$ fois plus grande, après 4 heures $3^4 = 81$ fois plus grande.

3Essaie par toi-même

Une culture triple chaque heure. Un laboratoire a besoin qu'elle soit 500 fois plus grande qu'au départ.

Combien d'heures cela prend-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $\log_3 500$ comme quotient de deux logarithmes décimaux (tape l'expression sous la forme log(a)/log(b), pas la valeur arrondie) :

Points clés

1Formule de changement de base : $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ pour toute nouvelle base $c > 0$ , $c \neq 1$
2À la calculatrice, prends $c = 10$ ou $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , les deux donnent le même résultat
3L'argument va en haut, la base va en bas
4La formule marche car $b^y = x$ donne $y \log b = \log x$ (propriété de la puissance), donc $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Échanger la base et l'argument donne l'inverse : $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Divise avec tous les chiffres et n'arrondis que le résultat final, au nombre de décimales demandé

Questions fréquentes

Dois-je utiliser log ou ln dans la formule ?

Les deux conviennent.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

valent tous deux

\approx 3{,}56

. Utilise simplement le même logarithme en haut et en bas.

Ma calculatrice a une touche $\log_b$ . Ai-je encore besoin de la formule ?

La touche te donne le nombre, mais la formule reste nécessaire pour trouver des valeurs exactes comme

\log_4 8 = \dfrac{3}{2}

, pour simplifier des expressions, pour résoudre des équations à la main et aux contrôles où seuls log et ln sont autorisés. La touche elle-même utilise le changement de base en interne.

À combien de décimales dois-je arrondir ?

À autant que l'énoncé le demande. S'il ne dit rien, on garde en général 2 à 4 décimales (par exemple

\log_3 50 \approx 3{,}56

3{,}5609

). N'arrondis qu'une seule fois, tout à la fin.

Pourquoi $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ ?

Par changement de base,

\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}

\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}

. En multipliant les deux fractions, tout se simplifie et il reste

1

. Les deux logarithmes sont donc inverses l'un de l'autre.

Glossaire

Formule de changement de base: La règle $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ qui réécrit un logarithme avec une nouvelle base $c$
Base: Le nombre $b$ dans $\log_b x$ , celui qu'on élève à une puissance ; il doit être positif et différent de $1$
Argument: Le nombre $x$ dans $\log_b x$ dont on prend le logarithme ; il doit être positif
Logarithme décimal: Le logarithme de base 10, noté $\log x$ (la touche log)
Logarithme népérien: Le logarithme de base $e \approx 2{,}718$ , noté $\ln x$ (la touche ln)
Inverse: Le nombre $\dfrac{1}{a}$ pour un nombre $a \neq 0$ ; $\log_b a$ et $\log_a b$ sont inverses l'un de l'autre

Carte des formules

Changement de base (base quelconque)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Toute nouvelle base $c > 0$, $c \neq 1$

Avec le logarithme décimal

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Avec la touche log

Avec le logarithme népérien

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Avec la touche ln, même résultat

Règle de l'inverse

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Échanger la base et l'argument inverse la valeur

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Pour les élèves en difficulté:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Quand ton épargne aura-t-elle doublé ?

La recherche dichotomique en informatique

Des bactéries qui triplent chaque heure

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Changement de base (base quelconque)

Avec le logarithme décimal

Avec le logarithme népérien

Règle de l'inverse

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