Propriétés des logarithmes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Que vaut $\log_6 1$ ?
1. a)n'existe pas
2. b)0
3. c)6
4. d)1
Réponse: 0
$6^0 = 1$ , donc $\log_6 1 = 0$ . Le logarithme de $1$ vaut $0$ pour toute base autorisée.
2.
Calcule $\log_8 8$ .
Réponse: 1
$8^1 = 8$ , donc $\log_8 8 = 1$ . Le logarithme de la base vaut toujours $1$ .
3.
Calcule $\log_5 1 + \log_5 5 + \log_5 25$ .
Réponse: 3
1. Que vaut $\log_5 1$ ? 0
2. Que vaut $\log_5 5$ ? 1
3. Écris $25$ comme une puissance de $5$ . Que vaut $\log_5 25$ ? 2
4. Additionne les trois valeurs. 3
4.
Simplifie $\log_3(3^7)$ .
Réponse: 7
La base du logarithme et la base de la puissance valent toutes deux $3$ , elles se simplifient et il reste l'exposant : $\log_3(3^7) = 7$ .
5.
Simplifie $5^{\log_5 9}$ .
1. a)9
2. b)45
3. c)5
4. d) $\log_5 9$
Réponse: 9
$\log_5 9$ est l'exposant qui transforme $5$ en $9$ . Élever $5$ à cet exposant donne $9$ .
6.
Calcule $\log 10000$ (logarithme décimal, base 10).
Réponse: 4
1. Écris $10000$ comme une puissance de $10$ : $10000 = 10^{?}$ 4
2. Utilise $\log(10^x) = x$ : que vaut $\log 10000$ ? 4
7.
Calcule $\log_2 32$ .
Réponse: 5
$32 = 2^5$ , donc $\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5$ .
8.
Lequel de ces logarithmes n'existe pas ?
1. a) $\log_5 5$
2. b) $\log_3(-9)$
3. c) $\log_4 \frac{1}{4}$
4. d) $\log_2 1$
Réponse: $\log_3(-9)$
L'argument $-9$ est négatif, et aucune puissance de $3$ n'est négative, donc $\log_3(-9)$ n'existe pas. Les autres valent $0$ , $-1$ et $1$ .
9.
Pour quels $x$ le logarithme $\log_3(x - 4)$ existe-t-il ? Trouve le plus petit nombre entier $x$ permis.
Réponse: 5
1. L'argument $x - 4$ doit être supérieur à quel nombre ? 0
2. Résous $x - 4 > 0$ : $x$ doit être supérieur à quel nombre ? 4
3. Quel est le plus petit nombre entier $x$ permis ? 5
10.
Calcule $\log_5 \frac{1}{25}$ .
Réponse: -2
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , donc $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5(5^{-2}) = -2$ . L'argument est positif, la valeur est négative.
11.
Simplifie $2^{\log_2 5} \cdot 3^{\log_3 4}$ .
Réponse: 20
1. Que vaut $2^{\log_2 5}$ ? 5
2. Que vaut $3^{\log_3 4}$ ? 4
3. Multiplie les deux résultats. 20
12.
Si $\log_4 M = \log_4 20$ , que vaut $M$ ?
1. a)4
2. b)5
3. c)20
4. d)80
Réponse: 20
Avec la même base, des logarithmes égaux signifient des arguments égaux, donc $M = 20$ .
13.
Résous $\log_3(x + 4) = \log_3 10$ .
Réponse: 6
1. Égale les arguments : $x + 4 = ?$ 10
2. Résous pour trouver $x$ . 6
3. Vérification : que vaut l'argument $x + 4$ pour ce $x$ ? 10
14.
Calcule $\log_3 \frac{1}{9} + 6^{\log_6 11}$ .
Réponse: 9
1. Écris $\frac{1}{9}$ comme une puissance de $3$ : $\frac{1}{9} = 3^{?}$ . Que vaut donc $\log_3 \frac{1}{9}$ ? -2
2. Que vaut $6^{\log_6 11}$ ? 11
3. Additionne les deux valeurs. 9
15.
Quelle affirmation est vraie pour toute base autorisée $b$ ?
1. a) $\log_b 0 = 0$
2. b) $\log_b(b^x) = x$ pour tout réel $x$
3. c) $\log_b 1 = 1$
4. d) $b^{\log_b x} = x$ pour tout réel $x$
Réponse: $\log_b(b^x) = x$ pour tout réel $x$
$\log_b(b^x) = x$ est vraie pour tout réel $x$ , car $b^x$ est toujours positif. $\log_b 1 = 0$ , pas $1$ ; $b^{\log_b x} = x$ exige $x > 0$ ; et $\log_b 0$ n'existe pas.
16.
Calcule $\log_2(8^4)$ . Écris d'abord $8$ comme une puissance de $2$ .
Réponse: 12
$8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$ , donc $\log_2(8^4) = \log_2(2^{12}) = 12$ .
17.
Résous $\log_5(x^2 - 6) = \log_5 x$ .
Réponse: 3
1. En égalant les arguments, on obtient $x^2 - x - 6 = 0$ . Quelle est la racine positive ? 3
2. Quelle est la racine négative ? -2
3. Combien des deux candidats rendent les deux arguments positifs ? 1
4. Quelle est la solution de l'équation ? 3
18.
Calcule $\log_4 8$ en écrivant $8$ comme une puissance de $4$ .
Réponse: 3/2
1. Écris $2$ comme une puissance de $4$ : $2 = 4^{?}$ (sous forme de fraction, par exemple 1/3) 1/2
2. Maintenant $8 = 2^3 = 4^{?}$ (sous forme de fraction) 3/2
3. Utilise $\log_b(b^x) = x$ : que vaut $\log_4 8$ ? 3/2