Guide de l'enseignant: Propriétés des logarithmes

Apprends les propriétés de base des logarithmes : le logarithme de 1, le logarithme de la base, les deux propriétés réciproques et l'égalité des logarithmes.

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Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer $\log_b 1$ et $\log_b b$ pour toute base autorisée
Utiliser les propriétés réciproques $\log_b(b^x) = x$ et $b^{\log_b x} = x$ pour simplifier des expressions
Résoudre des équations de la forme $\log_b M = \log_b N$ grâce à l'égalité des logarithmes
Reconnaître les logarithmes qui n'existent pas et rejeter les candidats qui rendent un argument nul ou négatif
Nommer les propriétés du produit, du quotient et de la puissance et les relier aux propriétés de base

Prérequis

• Définition du logarithme : passer de $\log_b x = y$ à $b^y = x$ et inversement
• Règles des puissances, y compris $b^0 = 1$ et les exposants négatifs
• Résoudre des équations du premier degré et des équations du second degré simples par factorisation

Amorces de discussion

1. Chaque courbe $y = \log_b x$ passe par le point $(1, 0)$ . Quelle propriété l'explique ?
2. Pourquoi les bases doivent-elles être identiques pour que $b^{\log_b x}$ se simplifie en $x$ ? Essaie $2^{\log_4 16}$ .
3. Deux nombres positifs différents n'ont jamais le même logarithme dans la même base. Comment la courbe le montre-t-elle ?
4. Un logarithme peut-il avoir une valeur négative ? Peut-il avoir un argument négatif ? Quelle est la différence ?

Idées reçues courantes

$\log_b 1 = 1$ parce que 'le logarithme de un, c'est un'

Remédiation: Reviens à la question que pose le logarithme : quelle puissance de $b$ donne $1$ ? Fais tester $2^1$ et $2^0$ aux élèves pour voir que seul l'exposant $0$ convient.

Une puissance et un logarithme se simplifient toujours, quelles que soient les bases

Remédiation: Compare $3^{\log_3 9} = 9$ et $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ . Demande aux élèves d'entourer les deux bases avant de simplifier quoi que ce soit.

Toute solution de $M = N$ est une solution de $\log_b M = \log_b N$

Remédiation: Résolvez ensemble $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$ et testez $x = -1$ dans l'équation de départ. Faites de la vérification de l'ensemble de définition une dernière étape fixe.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec les bases $10$ et $2$ seulement et garder un tableau des puissances ( $2^1$ à $2^{10}$ ) sur la table
• Travailler chaque propriété séparément avant de les mélanger
• Lire chaque logarithme à voix haute comme une question : quelle puissance de $b$ donne $x$ ?

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger les cinq propriétés dans une même série de calculs
• Résoudre des équations à arguments du premier degré avec l'égalité des logarithmes et vérifier les arguments
• Utiliser la courbe pour expliquer pourquoi $\log_b 1 = 0$ et $\log_b b = 1$ pour toute base

Pour les élèves avancés:

• Résoudre avec l'égalité des logarithmes des équations qui mènent au second degré et rejeter les candidats hors de l'ensemble de définition
• Démontrer $b^{\log_b x} = x$ et $\log_b(b^x) = x$ à partir de la définition du logarithme
• Montrer en avant-première comment la propriété du produit découle de $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Alignement aux standards

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre puissances et logarithmes et l'utiliser pour résoudre des problèmes avec logarithmes et exposants
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Exprimer la solution d'un modèle exponentiel sous forme de logarithme et calculer ce logarithme

Ressources de la leçon

visualCourbe du logarithme avec curseur de base
Les élèves changent la base $b$ et voient que chaque courbe $y = \log_b x$ passe par $(1, 0)$ et $(b, 1)$
activityTri des propriétés
Des cartes avec des expressions comme $\log_6 1$ , $5^{\log_5 8}$ et $\log_2(2^9)$ sont classées selon la propriété utilisée, puis calculées
worksheetExiste ou n'existe pas ?
Les élèves décident quels logarithmes existent et vérifient les candidats des équations résolues avec l'égalité des logarithmes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les propriétés de base des logarithmes découlent toutes d'un seul fait : un logarithme est un exposant. Pour une base

b > 0

avec

b \neq 1

\log_b x = y \iff b^y = x

Les cinq propriétés de base

1.Logarithme de 1 : $\log_b 1 = 0$ , car $b^0 = 1$
2.Logarithme de la base : $\log_b b = 1$ , car $b^1 = b$
3.Propriété réciproque (logarithme d'une puissance de la base) : $\log_b(b^x) = x$ pour tout réel $x$
4.Propriété réciproque (base élevée à un logarithme) : $b^{\log_b x} = x$ pour tout $x > 0$
5.Égalité des logarithmes : si $\log_b M = \log_b N$ (avec $M > 0$ , $N > 0$ ), alors $M = N$

Ce qui est interdit : l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

\log_b 0

\log_b(-5)

n'existent pas, car

b^y

est positif pour tout exposant

y

Les propriétés 3 et 4 disent que

y = \log_b x

y = b^x

sont des fonctions réciproques : l'une annule l'effet de l'autre.

Aperçu : les trois règles pour combiner des logarithmes (chacune a sa propre leçon)

Règle	Formule	Leçon
Propriété du produit	$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$	Propriété du produit pour les logarithmes
Propriété du quotient	$\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$	Propriété du quotient des logarithmes
Propriété de la puissance	$\log_b(M^p) = p \log_b M$	Propriété de la puissance des logarithmes

Dans cette leçon, nous travaillons les cinq propriétés de base. Les trois règles du tableau sont expliquées pas à pas dans leurs propres leçons.

Exemples résolus

Calcule $\log_9 1 + \log_9 9$ .

Calcule $\log_9 1$

Quelle puissance de $9$ donne $1$ ? $9^0 = 1$ → $\log_9 1 = 0$

Calcule $\log_9 9$

Quelle puissance de $9$ donne $9$ ? $9^1 = 9$ → $\log_9 9 = 1$

Additionne les résultats

$0 + 1$

Réponse: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Erreurs courantes

Écrire $\log_b 1 = 1$ ou $\log_b 1 = b$

Pourquoi c'est faux: Le logarithme est l'exposant, pas le résultat. La question est : quelle puissance de $b$ donne $1$ ?

Correct: $b^0 = 1$ , donc $\log_b 1 = 0$ pour toute base autorisée. Par exemple $\log_7 1 = 0$ .

Croire que $\log_b 0 = 0$ ou que le logarithme d'un nombre négatif est un nombre négatif

Pourquoi c'est faux: Une base positive élevée à n'importe quelle puissance est toujours positive, donc aucun exposant ne donne $0$ ou un nombre négatif.

Correct: $\log_b 0$ et $\log_b(-4)$ n'existent pas. L'argument doit être strictement positif, mais la valeur d'un logarithme peut être négative : $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ .

Simplifier une puissance et un logarithme de bases différentes : $2^{\log_3 9} = 9$

Pourquoi c'est faux: $b^{\log_b x} = x$ ne marche que si la base de la puissance et la base du logarithme sont le même nombre.

Correct: Ici les bases sont différentes : $\log_3 9 = 2$ , donc $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ , et non $9$ .

Utiliser l'égalité des logarithmes sans vérifier les arguments

Pourquoi c'est faux: En égalant les arguments, on peut obtenir une valeur qui rend un argument nul ou négatif. Là, le logarithme de départ n'existe pas.

Correct: Remplace toujours chaque candidat dans tous les arguments. Garde-le seulement si tous les arguments sont strictement positifs.

Pourquoi c'est important

Les propriétés de base sont les outils que tu utilises chaque fois que tu travailles avec des logarithmes :

Calculer sans calculatrice : $\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6$ en une ligne
Résoudre des équations : les propriétés réciproques enlèvent un logarithme ou une puissance, ainsi $\log_3 x = 4$ devient $x = 3^4 = 81$
Comparer : l'égalité des logarithmes transforme $\log_5(2x + 1) = \log_5 11$ en l'équation simple $2x + 1 = 11$
Échelles scientifiques : les décibels, le pH et l'échelle de Richter utilisent tous $\log$ . Un son au seuil d'audition a $10 \log 1 = 0$ décibel
Éviter les erreurs : savoir que $\log_b 0$ et les logarithmes de nombres négatifs n'existent pas te dit quelles solutions rejeter

Les propriétés du produit, du quotient et de la puissance (et la formule de changement de base) reposent toutes sur ces cinq propriétés.

Applications dans le monde réel

Niveau sonore en décibels

Le niveau sonore d'un bruit est $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ décibels, où $I_0$ est le son le plus faible qu'une personne peut entendre. Les propriétés de base rendent le calcul rapide.

Exemple:

Au seuil d'audition, $I = I_0$ , donc $L = 10 \log 1 = 10 \times 0 = 0$ décibel.

1Essaie par toi-même

Un concert de rock a une intensité $I = 10^{11} \cdot I_0$ , donc $\frac{I}{I_0} = 10^{11}$ .

Quel est le niveau sonore du concert en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $L = 10 \log(10^{11})$ :

Acidité et pH

Les chimistes mesurent l'acidité avec $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en moles par litre. La propriété réciproque transforme un pH en concentration.

Exemple:

L'eau pure a $[H^+] = 10^{-7}$ , donc $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$ .

2Essaie par toi-même

Le jus de citron a un pH de $2$ , donc $-\log[H^+] = 2$ et $\log[H^+] = -2$ .

Quelle est la concentration en ions hydrogène $[H^+]$ du jus de citron ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $10^{\log x} = x$ et calcule $[H^+] = 10^{-2}$ :

Tours d'un tournoi à élimination directe

Dans un tournoi à élimination directe, la moitié des participants est éliminée à chaque tour. Avec $2^n$ participants, il y a $\log_2(2^n) = n$ tours jusqu'au vainqueur.

Exemple:

Avec $16 = 2^4$ équipes, il y a $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ tours.

3Essaie par toi-même

Un tournoi d'échecs au lycée commence avec $128$ joueurs. Chaque partie a un gagnant, et le perdant est éliminé.

Combien de tours faut-il pour désigner le champion ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\log_2 128$ :

Points clés

1 $\log_b 1 = 0$ car $b^0 = 1$ , et $\log_b b = 1$ car $b^1 = b$
2Propriété réciproque : $\log_b(b^x) = x$ pour tout réel $x$
3Propriété réciproque : $b^{\log_b x} = x$ pour tout $x > 0$ , mais seulement si les deux bases sont identiques
4Égalité des logarithmes : si $\log_b M = \log_b N$ , alors $M = N$ ; vérifie toujours que les arguments sont positifs
5 $\log_b 0$ et le logarithme d'un nombre négatif n'existent pas, mais la valeur d'un logarithme peut être négative
6Les propriétés du produit, du quotient et de la puissance reposent sur ces propriétés et ont leurs propres leçons

Questions fréquentes

Pourquoi $\log_b 1$ vaut-il toujours $0$ ?

Toute base autorisée élevée à la puissance

0

donne

1

2^0 = 1

10^0 = 1

e^0 = 1

. Le logarithme demande cet exposant, donc la réponse est toujours

0

La valeur d'un logarithme peut-elle être négative ?

Oui. Seul l'argument doit être positif. Par exemple

\log_{10} 0{,}01 = -2

car

10^{-2} = 0{,}01

. L'argument

0{,}01

est positif, la valeur

-2

est négative.

Pourquoi $b^{\log_b x} = x$ exige-t-il $x > 0$ , alors que $\log_b(b^x) = x$ marche pour tout $x$ ?

Dans

\log_b(b^x)

, l'argument

b^x

est toujours positif, donc tout réel

x

est permis. Dans

b^{\log_b x}

, le logarithme

\log_b x

doit d'abord exister, et cela demande

x > 0

Où sont les propriétés du produit, du quotient et de la puissance ?

Chacune a sa propre leçon : Propriété du produit pour les logarithmes, Propriété du quotient des logarithmes et Propriété de la puissance des logarithmes. Elles utilisent les propriétés de cette leçon, il vaut donc mieux bien maîtriser celles-ci d'abord.

Glossaire

Logarithme: L'exposant $y$ tel que $b^y = x$ , noté $\log_b x = y$
Base: Le nombre $b$ dans $\log_b x$ ; il faut $b > 0$ et $b \neq 1$
Argument: Le nombre $x$ dans $\log_b x$ ; il doit être strictement positif
Propriétés réciproques: $\log_b(b^x) = x$ et $b^{\log_b x} = x$ : le logarithme et la fonction exponentielle de même base s'annulent mutuellement
Égalité des logarithmes: Si $\log_b M = \log_b N$ , alors $M = N$ : deux arguments positifs différents n'ont jamais le même logarithme
Fonction réciproque: Une fonction qui annule l'effet d'une autre ; $y = \log_b x$ est la fonction réciproque de $y = b^x$

Carte des formules

Logarithme de 1

\log_b 1 = 0

Car $b^0 = 1$

Logarithme de la base

\log_b b = 1

Car $b^1 = b$

Propriété réciproque 1

\log_b(b^x) = x

Pour tout réel $x$

Propriété réciproque 2

b^{\log_b x} = x

Pour tout $x > 0$, même base aux deux niveaux

Égalité des logarithmes

\log_b M = \log_b N \Rightarrow M = N

Vérifie que $M > 0$ et $N > 0$

Ensemble de définition

\log_b x

existe seulement pour

x > 0

$\log_b 0$ et les logarithmes de nombres négatifs n'existent pas

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Niveau sonore en décibels

Acidité et pH

Tours d'un tournoi à élimination directe

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Logarithme de 1

Logarithme de la base

Propriété réciproque 1

Propriété réciproque 2

Égalité des logarithmes

Ensemble de définition

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