Propriété du quotient des logarithmes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle expression est égale à $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (pour $M, N > 0$ ) ?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M - \log_b N$
3. c) $\dfrac{\log_b M}{\log_b N}$
4. d) $\log_b N - \log_b M$
Réponse: $\log_b M - \log_b N$
Propriété du quotient : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ . Le quotient de logarithmes $\dfrac{\log_b M}{\log_b N}$ est autre chose, et $\log_b N - \log_b M$ est dans le mauvais ordre.
2.
Développe $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right)$ pour $x > 0$ .
1. a) $\log_3 x - \log_3 7$
2. b) $\log_3 7 - \log_3 x$
3. c) $\dfrac{\log_3 x}{\log_3 7}$
4. d) $\log_3(x - 7)$
Réponse: $\log_3 x - \log_3 7$
Le numérateur est $x$ et le dénominateur est $7$ , donc $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$ .
3.
Calcule $\log_2 48 - \log_2 3$ .
Réponse: 4
$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2\left(\dfrac{48}{3}\right) = \log_2 16 = 4$ , car $2^4 = 16$ .
4.
Calcule $\log 5000 - \log 5$ (logarithme décimal, base 10).
Réponse: 3
$\log 5000 - \log 5 = \log\left(\dfrac{5000}{5}\right) = \log 1000 = 3$ , car $10^3 = 1000$ .
5.
Calcule $\log_3 162 - \log_3 2$ .
Réponse: 4
1. Regroupe : $\log_3 162 - \log_3 2 = \log_3 \square$ . Quel nombre va dans la case ? 81
2. $3^{\square} = 81$ . Quel est l'exposant, donc que vaut $\log_3 81$ ? 4
6.
Quelle affirmation est vraie ?
1. a) $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$
2. b) $\dfrac{\log 100}{\log 10} = 1$
3. c) $\log(100 - 10) = \log 100 - \log 10$
4. d) $\log 100 - \log 10 = \log 10$
Réponse: $\log 100 - \log 10 = \log 10$
$\log 100 - \log 10 = 2 - 1 = 1 = \log 10$ (propriété du quotient : $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10$ ). Les autres sont fausses : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = 2$ et $\log 90 \approx 1{,}954 \neq 1$ .
7.
Tu sais que $\log_2 x = 7$ . Trouve $\log_2\left(\dfrac{x}{32}\right)$ .
Réponse: 2
1. Développe : $\log_2\left(\dfrac{x}{32}\right) = \log_2 x - \log_2 32$ . Que vaut $\log_2 32$ ? 5
2. Remplace $\log_2 x$ par $7$ : que vaut $7 - 5$ ? 2
8.
Calcule $\log_6 72 - \log_6 2$ .
Réponse: 2
$\log_6 72 - \log_6 2 = \log_6\left(\dfrac{72}{2}\right) = \log_6 36 = 2$ ( $6^2 = 36$ ).
9.
Écris $\log 300 - \log 3$ sous forme d'un seul logarithme et calcule-le.
Réponse: 2
1. $\log 300 - \log 3 = \log \square$ . Quel nombre va dans la case ? 100
2. Que vaut $\log 100$ ? 2
10.
Écris $\log a + \log b - \log c$ sous forme d'un seul logarithme ( $a, b, c > 0$ ).
1. a) $\log(a + b - c)$
2. b) $\log(abc)$
3. c) $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$
4. d) $\log\left(\dfrac{ac}{b}\right)$
Réponse: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$
Propriété du produit : $\log a + \log b = \log(ab)$ . Propriété du quotient : $\log(ab) - \log c = \log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ .
11.
Utilise $\log 2 \approx 0{,}3$ et $\log 5 \approx 0{,}7$ (logarithme décimal, base 10) pour trouver une valeur approchée de $\log\left(\dfrac{2}{5}\right)$ .
Réponse: -0.4
1. $\log\left(\dfrac{2}{5}\right) = \log 2 - \log 5$ . Quelle est la valeur du premier terme, $\log 2$ ? 0.3
2. Soustrais : que vaut $0{,}3 - 0{,}7$ ? -0.4
12.
Utilise $\log 3 \approx 0{,}477$ et $\log 12 \approx 1{,}079$ (logarithme décimal, base 10) pour trouver une valeur approchée de $\log 4$ . Donne 3 décimales.
Réponse: 0.602
$4 = \dfrac{12}{3}$ , donc $\log 4 = \log 12 - \log 3 \approx 1{,}079 - 0{,}477 = 0{,}602$ (la calculatrice donne $0{,}60206$ ).
13.
Calcule $\log_2 24 + \log_2 4 - \log_2 3$ .
Réponse: 5
1. Propriété du produit : $\log_2 24 + \log_2 4 = \log_2 \square$ . Quel nombre va dans la case ? 96
2. Propriété du quotient : $\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \square$ . Quel nombre va dans la case ? 32
3. Que vaut $\log_2 32$ ? 5
14.
On donne $\log_b x = 4$ , $\log_b y = 1{,}5$ et $\log_b z = 2$ . Trouve $\log_b\left(\dfrac{xy}{z}\right)$ .
Réponse: 3.5
1. Numérateur : $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ . Quelle est sa valeur ? 5.5
2. Soustrais $\log_b z$ : que vaut $5{,}5 - 2$ ? 3.5
15.
Développe complètement $\log_2\left(\dfrac{16}{xy}\right)$ ( $x, y > 0$ ).
1. a) $4 + \log_2 x - \log_2 y$
2. b) $4 - \log_2 x + \log_2 y$
3. c) $4 - \log_2 x - \log_2 y$
4. d) $\dfrac{4}{\log_2 x + \log_2 y}$
Réponse: $4 - \log_2 x - \log_2 y$
$\log_2\left(\dfrac{16}{xy}\right) = \log_2 16 - (\log_2 x + \log_2 y) = 4 - \log_2 x - \log_2 y$
16.
Calcule $\log_5 50 + \log_5 10 - \log_5 4$ .
Réponse: 3
$\log_5 50 + \log_5 10 - \log_5 4 = \log_5\left(\dfrac{500}{4}\right) = \log_5 125 = 3$ ( $5^3 = 125$ )
17.
On donne $\log_b M = 6$ , $\log_b N = 2{,}5$ et $\log_b P = 1$ . Trouve $\log_b\left(\dfrac{M}{NP}\right)$ .
Réponse: 2.5
1. Dénominateur : $\log_b(NP) = \log_b N + \log_b P$ . Quelle est sa valeur ? 3.5
2. $\log_b\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log_b M - \log_b(NP)$ . Que vaut $6 - 3{,}5$ ? 2.5
18.
Montre que $\dfrac{\log 1000}{\log 10}$ n'est pas égal à $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ : que vaut $\dfrac{\log 1000}{\log 10} - \log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ ?
Réponse: 1
1. Que vaut $\dfrac{\log 1000}{\log 10}$ ? 3
2. Que vaut $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ ? 2
3. Que vaut la différence $3 - 2$ ? 1