Probabilité des événements composés

Apprends à calculer la probabilité quand deux ou plusieurs événements se produisent ensemble ou en séquence.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un événement composé est constitué de deux ou plusieurs événements simples qui se produisent ensemble ou en séquence. Il existe deux types principaux :
Événements indépendants : Le résultat d'un événement N'affecte PAS l'autre.
P(A et B)=P(A)×P(B)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)
Événements dépendants : Le résultat d'un événement affecte l'autre.
P(A et B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B|A)
Pour les événements mutuellement exclusifs (événements qui ne peuvent pas se produire en même temps) :
P(A ou B)=P(A)+P(B)P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)

Essaie tout de suite

Tu lances une pièce et un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir face ET de lancer un 4 ?

Exemples résolus

Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 sur le premier dé ET un 6 sur le deuxième dé ?
1

Identifier les événements

Événement A : Le premier dé montre 6. Événement B : Le deuxième dé montre 6. → Deux événements séparés
2

Vérifier l'indépendance

Le résultat du premier dé n'affecte pas le deuxième dé. → Événements indépendants
3

Trouver les probabilités individuelles

P(A)=16P(A) = \frac{1}{6} et P(B)=16P(B) = \frac{1}{6} → Chaque dé a 6 faces
4

Appliquer la règle de multiplication

P(A et B)=16×16=136P(A \text{ et } B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

Erreurs courantes

Additionner les probabilités au lieu de multiplier

Pourquoi c'est faux: Quand on trouve la probabilité de A ET B, on doit multiplier. L'addition n'est utilisée que pour A OU B (événements mutuellement exclusifs).

Correct: ET = multiplier : P(A et B)=P(A)×P(B)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B). OU = additionner : P(A ou B)=P(A)+P(B)P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)

Traiter les événements dépendants comme indépendants

Pourquoi c'est faux: Quand un événement affecte un autre (comme tirer sans remise), les probabilités changent. Utiliser la probabilité originale donne des réponses fausses.

Correct: Pour les événements dépendants, recalculer la probabilité après le premier événement. Le total et les résultats favorables changent tous les deux.

Oublier de simplifier les fractions

Pourquoi c'est faux: La réponse 2056\frac{20}{56} est correcte mais pas entièrement simplifiée.

Correct: Toujours simplifier : 2056=514\frac{20}{56} = \frac{5}{14}. Trouver le PGCD et diviser le numérateur et le dénominateur.

Visuel interactif

5 rouges, 3 bleues : deux tirages sans remise

1er tirage2e tirage5/84/73/73/85/72/7RougeRougeBleueBleueRougeBleue(Rouge, Rouge)20/56(Rouge, Bleue)15/56(Bleue, Rouge)15/56(Bleue, Bleue)6/56

Multiplie les possibilités à chaque étape : 2 × 2 = 4 (4 issues)

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

Touche une issue à droite pour suivre son chemin.

Lancer de dés

Clique sur le bouton pour effectuer des essais et voir la probabilité en action !

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Tu lances une pièce et un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir face ET de lancer un 4 ?

Pourquoi c'est important

La probabilité composée est essentielle pour prendre des décisions éclairées :
  • Jeux : Quelles sont les chances d'obtenir un double avec deux dés ?
  • Météo : Quelle est la chance de pluie samedi ET dimanche ?
  • Médecine : Si un test est précis à 95%, que se passe-t-il avec deux tests ?
  • Sécurité : Quelle est la sécurité d'un code PIN à 4 chiffres contre une devinette aléatoire ?
Comprendre les événements composés t'aide à évaluer les risques et à faire des choix plus intelligents !

Applications dans le monde réel

Sécurité des mots de passe

Les banques et les sites web utilisent la probabilité composée pour mesurer la force des mots de passe.

Exemple:

Un code PIN à 4 chiffres a 10 choix par chiffre. La probabilité de le deviner aléatoirement est 110×110×110×110=110000\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10000}.

1Essaie par toi-même

Un mot de passe nécessite 2 lettres (A-Z) suivies de 2 chiffres (0-9).

Combien de combinaisons possibles y a-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 26×26×10×1026 \times 26 \times 10 \times 10

Tests médicaux

Les médecins utilisent la probabilité composée pour évaluer la précision des tests.

Exemple:

Si un test médical est précis à 98%, la probabilité que deux tests indépendants soient tous les deux faux est 0,02×0,02=0,00040,02 \times 0,02 = 0,0004 ou 0,04%.

2Essaie par toi-même

Un test de dépistage est précis à 95%. Une personne fait le test deux fois.

Quelle est la probabilité que les deux tests donnent le résultat correct ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 0,95×0,950,95 \times 0,95

Points clés

  • 1Les événements composés impliquent deux ou plusieurs événements simples se produisant ensemble
  • 2Pour les événements indépendants (pas d'effet l'un sur l'autre) : P(A et B)=P(A)×P(B)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)
  • 3Pour les événements dépendants : recalculer les probabilités après chaque événement
  • 4Pour les événements mutuellement exclusifs (ne peuvent pas se produire ensemble) : P(A ou B)=P(A)+P(B)P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)
  • 5ET signifie multiplier, OU signifie additionner (pour les événements mutuellement exclusifs)

Questions fréquentes

Demande-toi : Est-ce que le premier événement change la situation pour le deuxième événement ? Si tu tires une carte et que tu ne la remets PAS, les événements sont dépendants car le jeu change. Si tu lances une pièce deux fois, les événements sont indépendants car chaque lancer n'a pas d'effet sur le suivant.
Demande-toi : Est-ce que le premier événement change la situation pour le deuxième événement ? Si tu tires une carte et que tu ne la remets PAS, les événements sont dépendants car le jeu change. Si tu lances une pièce deux fois, les événements sont indépendants car chaque lancer n'a pas d'effet sur le suivant.
Pense à ET comme réduisant les possibilités - les deux conditions doivent être remplies, donc la probabilité diminue (la multiplication la rend plus petite). OU élargit les possibilités - l'une ou l'autre condition fonctionne, donc on combine les chances (l'addition la rend plus grande).
P(B|A) signifie 'la probabilité de B sachant que A s'est déjà produit.' C'est la probabilité conditionnelle - quelle est la probabilité de B après que A se soit produit ? Par exemple, P(deuxième rouge | première rouge) est la probabilité de tirer une deuxième bille rouge après avoir déjà tiré une bille rouge.

Glossaire

Événement composé
Un événement constitué de deux ou plusieurs événements simples
Événements indépendants
Événements où le résultat de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre
Événements dépendants
Événements où le résultat de l'un affecte la probabilité de l'autre
Mutuellement exclusifs
Événements qui ne peuvent pas se produire en même temps
Probabilité conditionnelle
La probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est produit, écrite P(B∣A)P(B|A)
Espace échantillon
L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience

Carte des formules

Événements indépendants (ET)

P(A et B)=P(A)×P(B)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)

Multiplier les probabilités quand les événements ne s'affectent pas

Événements dépendants (ET)

P(A et B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B|A)

Utiliser la probabilité conditionnelle quand un événement affecte l'autre

Mutuellement exclusifs (OU)

P(A ou B)=P(A)+P(B)P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)

Additionner les probabilités quand les événements ne peuvent pas se produire ensemble

Règle d'addition générale

P(A ou B)=P(A)+P(B)−P(A et B)P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ et } B)

Utiliser quand les événements peuvent se chevaucher (pas mutuellement exclusifs)

Défi du jourUn problème, trois essais

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