Introduction aux combinaisons

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle formule représente le nombre de combinaisons en choisissant éléments parmi éléments ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
La formule des combinaisons est . La deuxième option est la formule des permutations. Les options 3 et 4 sont pour d'autres problèmes de dénombrement.
2.
Quand devriez-vous utiliser des combinaisons au lieu de permutations ?
1. a)Quand l'ordre n'a pas d'importance
2. b)Quand les éléments peuvent se répéter
3. c)Quand l'ordre compte
4. d)Lors de la sélection d'un élément
Réponse: Quand l'ordre n'a pas d'importance
Utilise les combinaisons quand l'ordre n'a pas d'importance. Par exemple, sélectionner 3 personnes pour un comité - {A,B,C} est identique à {C,B,A}. Utilise les permutations quand l'ordre compte, comme attribuer la 1ère, 2ème et 3ème place.
3.
Calcule .
Réponse: 6
. Tu peux aussi les lister : {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}.
4.
Calcule .
Réponse: 5
. En général, car il y a n façons de choisir 1 élément.
5.
Un sac contient 6 billes de couleurs différentes. De combien de façons peux-tu choisir 2 billes ?
Réponse: 15
1. Quel est n (total de billes) ? 6
2. Quel est r (billes à choisir) ? 2
3. Calcule . Quel est le résultat ? 15
6.
Pourquoi ?
1. a)Les deux égalent 21 par coïncidence
2. b)La formule a deux solutions
3. c)C'est une erreur de calcul
4. d)Choisir 3 à inclure est identique à choisir 4 à exclure
Réponse: Choisir 3 à inclure est identique à choisir 4 à exclure
C'est la propriété de symétrie des combinaisons : . Quand tu choisis 3 éléments parmi 7 à inclure, tu choisis simultanément 4 éléments à exclure. Les deux actions représentent la même sélection.
7.
Calcule .
Réponse: 35
8.
Une classe a 10 élèves. De combien de façons le professeur peut-il choisir 3 élèves pour un projet de groupe ?
Réponse: 120
façons.
9.
Un restaurant propose 9 entrées. De combien de façons un client peut-il choisir 4 entrées différentes ?
Réponse: 126
1. Quel est n (total d'entrées) ? 9
2. Quel est r (entrées à choisir) ? 4
3. Combien vaut ? 3024
4. Combien vaut ? 24
5. Combien vaut ? 126
10.
Une étagère contient 8 livres différents. De combien de façons peux-tu sélectionner 5 livres pour les vacances ?
Réponse: 56
1. Quel est n (total de livres) ? 8
2. Quel est r (livres à sélectionner) ? 5
3. Par symétrie, 3
4. Calcule 56
11.
Un jeu standard a 52 cartes. Quelle expression donne le nombre de mains de 5 cartes ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Une main de cartes est une sélection où l'ordre n'a pas d'importance - avoir {A,R,D,V,10} est la même main quel que soit l'ordre de réception. Donc on utilise mains possibles.
12.
Calcule .
Réponse: 495
13.
Un comité de 5 personnes doit être choisi parmi 8 hommes et 6 femmes. Combien de comités ont exactement 3 hommes et 2 femmes ?
Réponse: 840
1. Combien de façons de choisir 3 hommes parmi 8 ? Calcule . 56
2. Combien de façons de choisir 2 femmes parmi 6 ? Calcule . 15
3. Multiplie les deux résultats : 840
14.
Dans une loterie, tu choisis 6 numéros de 1 à 45. Combien de billets différents sont possibles ?
Réponse: 8145060
1. Quel est n (total de numéros) ? 45
2. Quel est r (numéros à choisir) ? 6
3. Calcule le numérateur : 5864443200
4. Combien vaut ? 720
5. Divise : 8145060
15.
Si , quelle est la valeur de ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
signifie . Test : . Donc . On peut vérifier : .
16.
Un étudiant doit répondre à 8 questions sur 12 lors d'un examen. De combien de façons peut-il le faire si les 2 premières questions sont obligatoires ?
Réponse: 210
1. Si 2 questions sont obligatoires, combien de questions supplémentaires doivent être choisies ? 6
2. Combien de questions optionnelles sont disponibles ? 10
3. Calcule . Utilise la symétrie : 4
4. Combien vaut ? 210