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Guide de l'enseignant: Introduction aux combinaisons

Apprends à compter les sélections où l'ordre n'a pas d'importance en utilisant la formule des combinaisons.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Principes de Comptage. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Définir les combinaisons et les distinguer des permutations
  • Appliquer la formule de combinaison C(n,r)C(n,r) pour résoudre des problèmes de dénombrement
  • Simplifier efficacement les expressions factorielles
  • Résoudre des problèmes du monde réel impliquant des sélections
Prérequis
  • • Compréhension des factorielles et de la notation factorielle
  • • Connaissance de base des permutations
  • • Aisance avec la simplification des fractions
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu que les chances de gagner à la loterie sont si faibles ?
  • 2. Si tu choisis des garnitures de pizza, l'ordre dans lequel tu les choisis a-t-il de l'importance ?
  • 3. En quoi sélectionner des membres d'équipe diffère-t-il de les classer ?
  • 4. Pourquoi diviser par r!r! donne-t-il le nombre de sélections uniques ?
Idées reçues courantes

Penser que les combinaisons sont toujours plus petites que les permutations

Remédiation: Montre que C(n,r)=P(n,r)÷r!C(n,r) = P(n,r) \div r!. Les combinaisons sont toujours plus petites parce qu'on élimine les ordres en double.

Ne pas reconnaître quand un problème concerne les combinaisons

Remédiation: Demande : 'Si je réarrange ma sélection, est-ce toujours le même résultat ?' Si oui, c'est une combinaison.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer avec de petits nombres comme C(4,2)C(4,2) et lister toutes les possibilités
  • • Utiliser des objets physiques (cartes, jetons) pour visualiser les sélections
  • • Fournir un modèle de formule étape par étape

Pour les élèves au niveau:

  • • Résoudre des problèmes avec des nombres plus grands nécessitant une calculatrice
  • • Comparer les résultats de combinaisons et permutations pour les mêmes valeurs
  • • Appliquer aux calculs de probabilité

Pour les élèves avancés:

  • • Explorer le Triangle de Pascal et sa connexion aux combinaisons
  • • Résoudre des problèmes combinant permutations et combinaisons
  • • Étudier le théorème binomial
Alignement aux standards
  • HSS.CP.B.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.CP.B.9)

    Utiliser les permutations et combinaisons pour calculer les probabilités d'événements composés

  • HSS.MD.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.A.1)

    Définir une variable aléatoire pour une quantité d'intérêt

Ressources de la leçon
  • visualExplorateur Combinaison vs Permutation

    Compare les résultats quand l'ordre compte vs ne compte pas

  • activitySimulateur de sélection de comité

    Construis des comités et vois pourquoi l'ordre n'a pas d'importance

  • worksheetCombinaisons du monde réel

    Pratique avec des problèmes de loterie, cartes et équipes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une combinaison est une sélection d'éléments où l'ordre n'a pas d'importance.
Si tu choisis rr éléments parmi un groupe de nn éléments, le nombre de combinaisons est :
C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Différence clé avec les permutations :
  • Permutation : L'ordre compte (arrangement)
  • Combinaison : L'ordre ne compte pas (sélection)
Exemple : Choisir 2 personnes parmi Alice, Bob et Claire :
  • {Alice, Bob} est identique à {Bob, Alice}
  • Il n'y a que 3 combinaisons : {A,B}, {A,C}, {B,C}

Exemples résolus

Un club a 5 membres. De combien de façons peut-on choisir un comité de 2 personnes ?
1

Identifier n et r

n=5n = 5 (membres au total), r=2r = 2 (à choisir) → n=5n = 5, r=2r = 2
2

Appliquer la formule des combinaisons

C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!×3!C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!} → Formule établie
3

Calculer les factorielles

5×4×3!2×1×3!=5×42\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} → 202\frac{20}{2}
4

Simplifier

202=10\frac{20}{2} = 10 → 1010 façons

Erreurs courantes

Confondre combinaisons et permutations

Pourquoi c'est faux: Les permutations comptent les arrangements (l'ordre compte), les combinaisons comptent les sélections (l'ordre ne compte pas). P(5,2)=20P(5,2) = 20 mais C(5,2)=10C(5,2) = 10.

Correct: Demande-toi : 'Réarranger change-t-il le résultat ?' Pour choisir un comité, {A,B} = {B,A}, donc utilise les combinaisons.

Oublier de diviser par r!r! dans la formule

Pourquoi c'est faux: La division par r!r! élimine les ordres en double de la même sélection.

Correct: Utilise toujours la formule complète : C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Calculer incorrectement les factorielles

Pourquoi c'est faux: Les grandes factorielles peuvent être accablantes. Rappelle-toi que la plupart des termes se simplifient.

Correct: Simplifie avant de multiplier : 7!5!×2!=7×62=21\frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21

Pourquoi c'est important

Les combinaisons sont essentielles pour comprendre les probabilités et prendre des décisions dans la vie réelle :
  • Loterie : Combien de façons de tirer 6 numéros parmi 49 ?
  • Sélection d'équipe : Combien de façons de choisir 5 joueurs parmi 12 pour l'équipe titulaire ?
  • Planification de menus : Combien de menus 3 plats parmi 10 plats ?
  • Science : Combien de façons de sélectionner des échantillons pour des expériences ?
Comprendre les combinaisons t'aide à calculer les probabilités et à faire des choix éclairés !

Applications dans le monde réel

Sélection d'équipe sportive

Les entraîneurs utilisent les combinaisons pour comprendre combien de compositions différentes sont possibles.

Exemple:

Un entraîneur de basket choisissant 5 titulaires parmi 12 joueurs : C(12,5)=792C(12,5) = 792 compositions possibles.

1Essaie par toi-même

Un entraîneur de football a 18 joueurs et doit en choisir 11 pour la composition de départ.

Combien de compositions de départ différentes sont possibles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise C(18,11)C(18, 11) :

Jeux de cartes

Les combinaisons calculent le nombre de mains possibles dans les jeux de cartes.

Exemple:

Une main de poker de 5 cartes parmi 52 : C(52,5)=2 598 960C(52,5) = 2\,598\,960 mains possibles.

2Essaie par toi-même

Combien de mains différentes de 7 cartes sont possibles dans un jeu ?

Calcule C(52,7)C(52,7).

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis la formule :

Planification de menus

Les restaurants utilisent les combinaisons pour calculer les options de repas et les formules.

Exemple:

Choisir 3 entrées parmi 10 options : C(10,3)=120C(10,3) = 120 sélections différentes.

3Essaie par toi-même

Une entreprise de traiteur propose 15 plats différents. Un client veut en sélectionner 4 pour son événement.

Combien de sélections différentes de 4 plats sont possibles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule C(15,4)C(15, 4) :

Points clés

  • 1Les combinaisons comptent les sélections où l'ordre n'a pas d'importance
  • 2Formule : C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}, lu 'n parmi r'
  • 3Différence clé : Permutations = arrangements (ordre compte), Combinaisons = sélections (ordre ne compte pas)
  • 4C(n,r)=C(n,n−r)C(n,r) = C(n, n-r) : Choisir ce qu'on inclut équivaut à choisir ce qu'on exclut

Questions fréquentes

Quand utiliser combinaisons vs permutations ?

Utilise les combinaisons quand l'ordre n'a pas d'importance (sélectionner un comité, choisir des garnitures). Utilise les permutations quand l'ordre compte (attribuer des positions, ranger une composition dans l'ordre).

Pourquoi C(n,r)=C(n,n−r)C(n,r) = C(n, n-r) ?

Choisir rr éléments à inclure revient à choisir n−rn-r éléments à exclure. Par exemple, C(5,2)=C(5,3)=10C(5,2) = C(5,3) = 10.

Que signifie le '!' dans la formule ?

Le point d'exclamation signifie factorielle. 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. Il compte tous les arrangements possibles d'un ensemble.

Glossaire

Combinaison
Une sélection d'éléments où l'ordre n'a pas d'importance
Factorielle
Le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n, écrit n!n!
Coefficient binomial
Autre nom pour C(n,r)C(n,r), écrit (nr)\binom{n}{r}
n parmi r
Façon courante de lire C(n,r)C(n,r), signifiant 'le nombre de façons de choisir r parmi n'

Carte des formules

Formule des combinaisons

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

n = éléments totaux, r = éléments choisis. Symétrie : $C(n,r) = C(n, n-r)$. Cas spéciaux : $C(n,0) = C(n,n) = 1$

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