Problèmes de corrélation

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Une enquête auprès d'adolescents donne $r = -0{,}85$ entre le temps d'écran quotidien et les heures de sommeil. Quelle description est correcte ?
1. a)Corrélation positive faible
2. b)Corrélation négative très forte
3. c)Corrélation négative modérée
4. d)Aucune corrélation
Réponse: Corrélation négative très forte
$r$ est négatif : plus de temps d'écran va avec moins de sommeil. $|r| = 0{,}85$ est compris entre $0{,}80$ et $1{,}00$ , donc la corrélation est très forte.
2.
Quatre études donnent ces corrélations. Laquelle montre la relation linéaire la plus forte ?
1. a) $r = 0{,}78$
2. b) $r = 0{,}45$
3. c) $r = -0{,}91$
4. d) $r = 0{,}05$
Réponse: $r = -0{,}91$
Les valeurs absolues sont $0{,}91$ , $0{,}45$ , $0{,}78$ et $0{,}05$ . La plus grande est $0{,}91$ , donc $r = -0{,}91$ est la plus forte (corrélation négative très forte).
3.
Pour une série de données, $S_{xy} = 27$ , $S_{xx} = 20$ et $S_{yy} = 45$ . Calcule $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ .
Réponse: 0.9
$r = \frac{27}{\sqrt{20 \cdot 45}} = \frac{27}{\sqrt{900}} = \frac{27}{30} = 0{,}9$ , une corrélation positive très forte.
4.
Cinq élèves ont répété une chanson pendant 2, 3, 4, 5 et 6 heures et ont obtenu ces notes : $50$ , $55$ , $65$ , $70$ , $80$ . La première étape pour trouver $r$ est le calcul des moyennes. Quelle est $\bar{y}$ , la note moyenne ?
Réponse: 64
$\bar{y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ .
5.
Une boulangerie note ses heures d'ouverture sur cinq jours : $2, 4, 6, 8, 10$ . Trouve la moyenne et les écarts nécessaires pour calculer $r$ .
Réponse: 0
1. Quelle est la moyenne $\bar{x}$ ? 6
2. Quel est l'écart de $10$ , c'est-à-dire $10 - \bar{x}$ ? 4
3. Quel est l'écart de $2$ ? -4
4. Quelle est la somme des cinq écarts ? 0
6.
Un café trouve $r = -0{,}72$ entre la température extérieure et le nombre de chocolats chauds vendus par jour. Interprète cette valeur.
Réponse: -0.72
1. Que vaut $|r|$ ? 0.72
2. Quel est le sens de la relation ? négatif
3. Quelle est l'intensité de la corrélation ? forte
4. Quand la température monte, les ventes de chocolat chaud ont tendance à... baisser
7.
Les données de nombreuses villes donnent $r = 0{,}90$ entre le nombre de pharmacies et le nombre de salons de coiffure d'une ville. Quelle conclusion est justifiée ?
1. a)Les grandes villes ont à la fois plus de pharmacies et plus de salons de coiffure, donc une conclusion causale n'est pas justifiée
2. b)Ouvrir une pharmacie attire plus de salons de coiffure
3. c)Une ville peut réduire le nombre de ses salons de coiffure en fermant des pharmacies
4. d) $r = 0{,}90$ prouve la causalité car il est proche de $1$
Réponse: Les grandes villes ont à la fois plus de pharmacies et plus de salons de coiffure, donc une conclusion causale n'est pas justifiée
La taille de la ville (sa population) est une variable confondante : les grandes villes comptent plus d'habitants qui ont besoin à la fois de pharmacies et de coiffeurs. La corrélation est réelle, mais elle ne montre pas que l'un cause l'autre, et aucune valeur de $r$ ne prouve à elle seule la causalité.
8.
Une entreprise veut montrer que son nouvel engrais provoque une croissance plus rapide des plantes. Quelle étude pourrait justifier cette affirmation causale ?
1. a)Un sondage demandant aux jardiniers quel engrais ils utilisent
2. b)Répartir au hasard des plantes identiques entre un groupe avec engrais et un groupe sans, tout le reste étant identique
3. c)Le calcul de $r$ pour six fermes qui ont choisi elles-mêmes leur engrais
4. d)Un sondage en ligne auprès des clients
Réponse: Répartir au hasard des plantes identiques entre un groupe avec engrais et un groupe sans, tout le reste étant identique
Seule une expérience contrôlée avec répartition au hasard peut justifier une affirmation causale. Le hasard répartit les variables confondantes (sol, lumière, soins) de façon équilibrée entre les deux groupes. Des fermes qui choisissent leur engrais peuvent différer sur bien d'autres points.
9.
Pour cinq points, les écarts sont $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ et $y_i - \bar{y}$ : $-4, -2, 1, 3, 2$ . Calcule $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
Réponse: 17
$8 + 2 + 0 + 3 + 4 = 17$ . La somme est positive, donc $r$ sera positif.
10.
Une étude sur l'âge des voitures et leur efficacité énergétique donne $S_{xy} = -36$ , $S_{xx} = 40$ et $S_{yy} = 45$ . Calcule $r$ et arrondis à 2 décimales.
Réponse: -0.85
$r = \frac{-36}{\sqrt{1800}} \approx \frac{-36}{42{,}43} \approx -0{,}85$ . Les voitures plus anciennes ont tendance à être moins économes (corrélation négative très forte).
11.
Un entraîneur de football note les séances d'entraînement et les buts de cinq joueurs : $(1, 2)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 5)$ , $(5, 8)$ . Calcule $r$ à 2 décimales.
Réponse: 0.78
1. Que vaut $\bar{x}$ ? 3
2. Que vaut $\bar{y}$ ? 5
3. Les écarts de $y$ sont $-3, 1, -1, 0, 3$ . Que vaut $S_{xy}$ ? 11
4. Que vaut $S_{xx}$ ? 10
5. Que vaut $S_{yy}$ ? 20
6. Que vaut $r$ , arrondi à 2 décimales ? 0.78
12.
Une enseignante compare les jours d'absence et les notes (sur 10) de quatre élèves : $(1, 9)$ , $(3, 8)$ , $(5, 4)$ , $(7, 3)$ . Calcule $r$ à 2 décimales.
Réponse: -0.96
1. Que vaut $\bar{x}$ ? 4
2. Que vaut $\bar{y}$ ? 6
3. Les écarts sont $x$ : $-3, -1, 1, 3$ et $y$ : $3, 2, -2, -3$ . Que vaut $S_{xy}$ ? -22
4. Que vaut $S_{xx}$ ? 20
5. Que vaut $S_{yy}$ ? 26
6. Que vaut $r$ , arrondi à 2 décimales ? -0.96
13.
Dans une école primaire avec des enfants de 6 à 12 ans, la pointure et le score en lecture ont $r = 0{,}88$ . Un parent dit : "Avoir de plus grands pieds fait mieux lire." Juge cette affirmation.
Réponse: 0.88
1. Quel est le sens de la corrélation ? positif
2. Quelle est son intensité ? très forte
3. Quelle variable confondante influence à la fois la pointure et la lecture ? l'âge
4. L'affirmation causale est-elle justifiée ? non
14.
Cinq points sont proches d'une droite croissante et ont $r = 0{,}95$ . On ajoute un sixième point loin à droite et très en dessous de la droite. Que devient $r$ ?
1. a) $r$ devient beaucoup plus faible et peut même devenir négatif
2. b) $r$ monte à exactement $1$
3. c) $r$ devient plus grand que $1$
4. d) $r$ reste à $0{,}95$ , un seul point ne compte pas
Réponse: $r$ devient beaucoup plus faible et peut même devenir négatif
Le nouveau point a un grand écart positif en $x$ et un grand écart négatif en $y$ : il ajoute un grand produit négatif à $S_{xy}$ . $r$ devient beaucoup plus faible et peut même devenir négatif, comme dans la leçon où une valeur aberrante a fait passer $r$ de $1$ à $0$ . $r$ ne peut jamais dépasser $1$ .
15.
Un magasin vend quatre modèles de parapluie et compare chaque prix (en dizaines d'euros) avec le nombre vendu par semaine : $(2, 9)$ , $(4, 7)$ , $(6, 3)$ , $(8, 1)$ . Calcule $r$ et arrondis à 2 décimales.
Réponse: -0.99
$\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 5$ . Écarts : $x$ : $-3, -1, 1, 3$ ; $y$ : $4, 2, -2, -4$ . $S_{xy} = -12 - 2 - 2 - 12 = -28$ , $S_{xx} = 20$ , $S_{yy} = 40$ . $r = \frac{-28}{\sqrt{800}} \approx \frac{-28}{28{,}28} \approx -0{,}99$ : une corrélation négative très forte.
16.
Un entraîneur de basket note les heures d'entraînement supplémentaires et les points marqués de cinq joueurs : $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ , $(4, 8)$ , $(10, 0)$ . Le dernier joueur s'est blessé au début du match. Calcule $r$ avec et sans ce joueur.
Réponse: -0.45
1. Que vaut $\bar{x}$ pour les cinq joueurs ? 4
2. Que vaut $\bar{y}$ pour les cinq joueurs ? 4
3. Les écarts sont $x$ : $-3, -2, -1, 0, 6$ et $y$ : $-2, 0, 2, 4, -4$ . Que vaut $S_{xy}$ ? -20
4. Que vaut $S_{xx}$ ? 50
5. Que vaut $S_{yy}$ ? 40
6. Que vaut $r$ avec les cinq joueurs, arrondi à 2 décimales ? -0.45
7. Les quatre autres points sont sur $y = 2x$ . Que vaut $r$ sans le joueur blessé ? 1
17.
Une urbaniste compare la distance au centre-ville (km) avec le nombre de cafés accessibles à pied : $(2, 8)$ , $(4, 10)$ , $(6, 5)$ , $(8, 5)$ . Calcule $r$ et arrondis à 2 décimales.
Réponse: -0.74
1. Que vaut $\bar{x}$ ? 5
2. Que vaut $\bar{y}$ ? 7
3. Les écarts sont $x$ : $-3, -1, 1, 3$ et $y$ : $1, 3, -2, -2$ . Que vaut $S_{xy}$ ? -14
4. Que vaut $S_{xx}$ ? 20
5. Que vaut $S_{yy}$ ? 18
6. Que vaut $r$ , arrondi à 2 décimales ? -0.74
18.
Pour les heures de révision et les notes de cinq élèves, $S_{xy} = 45$ , $S_{xx} = 10$ et $S_{yy} = 250$ . Calcule $r$ , puis regarde ce qui se passe quand on modifie les données.
Réponse: 0.9
1. Que vaut $\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}$ ? 50
2. Que vaut $r$ ? 0.9
3. Le professeur ajoute 5 points de bonus à chaque note. Que vaut le nouveau $r$ ? 0.9
4. Le temps de révision est maintenant noté en minutes au lieu d'heures. Que vaut le nouveau $r$ ? 0.9