Guide de l'enseignant: Problèmes de corrélation

Résous de vrais problèmes de corrélation : calcule r étape par étape à partir d'une petite série, interprète-le en contexte, juge une affirmation causale et vois l'effet d'une valeur aberrante.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Corrélation. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer à la main le coefficient de corrélation $r$ pour une série de 4 à 6 points
Interpréter le sens et l'intensité de $r$ dans le contexte d'un problème
Décider si une affirmation causale est justifiée et nommer une variable confondante possible
Décrire comment une valeur aberrante modifie $r$ et décider quand on peut la retirer
Vérifier les calculs grâce à la somme nulle des écarts et à l'intervalle $-1 \le r \le 1$

Prérequis

• Introduction à la corrélation : corrélation positive, négative ou nulle dans un nuage de points
• Coefficient de corrélation : la formule de $r$ et l'échelle d'intensité
• Calculer la moyenne d'une petite série
• Carrés et racines carrées à la calculatrice

Amorces de discussion

1. La corrélation entre les ventes de parapluies et les accidents vaut $r = 0{,}95$ . Comment pourrais-tu vérifier que c'est la pluie, et non les parapluies, qui l'explique ?
2. Si tu mesurais le temps de révision en minutes au lieu d'heures, $r$ changerait-il ? Pourquoi ?
3. Quand est-il honnête de retirer une valeur aberrante, et quand est-ce de la triche ?
4. Pourquoi une corrélation entre les deux mêmes variables pourrait-elle être très forte dans une ville et faible dans une autre ?

Idées reçues courantes

Un $S_{xy}$ plus grand signifie toujours une corrélation plus forte

Remédiation: Montre deux séries avec le même $r$ mais des unités différentes : $S_{xy}$ grandit avec les unités, $r$ non. Seul le quotient $\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ mesure l'intensité.

Si $r$ est proche de $1$ , l'affirmation de cause à effet est forcément vraie

Remédiation: Rassemble des exemples classiques (parapluies et accidents de la route, téléviseurs et espérance de vie, pointure et lecture) et fais trouver la variable confondante de chacun.

Un seul point ne peut pas compter beaucoup dans une série

Remédiation: Utilise l'exemple de l'engrais : calcule $r$ pour quatre points ( $r = 1$ ), puis ajoute le cinquième point et recalcule ( $r = 0$ ).

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner un tableau d'écarts avec les colonnes déjà nommées : $x_i - \bar{x}$ , $y_i - \bar{y}$ , produit, carrés
• Utiliser des séries dont les moyennes sont des nombres entiers
• Faire vérifier chaque étape à la calculatrice avant de continuer

Pour les élèves au niveau:

• Calculer $r$ pour 4 à 6 points et arrondir à 2 décimales
• Écrire pour chaque $r$ une phrase complète en contexte (sens, intensité, variables)
• Juger des affirmations causales et nommer une variable confondante

Pour les élèves avancés:

• Trouver un cinquième point qui rend négatif un $r$ positif
• Démontrer qu'ajouter une constante à chaque valeur de $y$ ne change pas $r$
• Concevoir une expérience contrôlée qui pourrait tester une affirmation causale lue dans la presse

Alignement aux standards

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calculer (avec un outil numérique) et interpréter le coefficient de corrélation d'un ajustement linéaire
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguer corrélation et causalité
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Représenter des données de deux variables quantitatives par un nuage de points et décrire leur relation

Ressources de la leçon

visualNuages de points avec droite de tendance
Les données des heures de révision et la série avec valeur aberrante, avec la droite de tendance tracée
activityCourse au tableau des écarts
Par deux, les élèves remplissent un tableau d'écarts, de produits et de carrés pour une série de 5 points et comparent leur $r$
worksheetDétective des gros titres
Les élèves jugent six titres de presse fondés sur des corrélations et nomment une variable confondante pour chacun

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un problème de corrélation te donne des données appariées issues d'une situation réelle et te demande de mesurer, d'interpréter et de juger la relation. Tu connais déjà la formule du coefficient de corrélation

r

grâce à la leçon *Coefficient de corrélation*. Ici, tu l'utilises comme une méthode complète.

La méthode en cinq étapes pour une petite série :

1.Calcule les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$ .
2.Calcule chaque écart $x_i - \bar{x}$ et $y_i - \bar{y}$ .
3.Additionne les produits : $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
4.Additionne les carrés : $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$ et $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$ .
5.Divise :
$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$

Ensuite, réponds à la question en contexte :

Sens : le signe de $r$ (positif : les deux augmentent ensemble ; négatif : l'un augmente quand l'autre diminue).
Intensité : la taille de $|r|$ (échelle ci-dessous).
Causalité : un $r$ élevé ne prouve jamais à lui seul qu'une variable cause l'autre. Cherche une variable confondante et demande-toi si les données viennent d'une expérience contrôlée.
Valeurs aberrantes : un seul point inhabituel peut rendre $r$ beaucoup plus fort, beaucoup plus faible ou même changer son signe.

	r		Intensité
$0{,}00$ à $0{,}19$	très faible
$0{,}20$ à $0{,}39$	faible
$0{,}40$ à $0{,}59$	modérée
$0{,}60$ à $0{,}79$	forte
$0{,}80$ à $1{,}00$	très forte

Exemples résolus

Cinq élèves ont noté leurs heures de révision et leurs notes :

(1, 64)

(2, 63)

(3, 77)

(4, 71)

(5, 75)

. Calcule

r

et interprète-le.

Calcule les moyennes

\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3

\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70

→

\bar{x} = 3

\bar{y} = 70

Calcule les écarts

x_i - \bar{x}

-2, -1, 0, 1, 2

y_i - \bar{y}

-6, -7, 7, 1, 5

→ Chaque somme d'écarts vaut

0

(vérification rapide)

Multiplie les écarts et additionne

(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10

→

S_{xy} = 30

Élève les écarts au carré et additionne

S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160

→

S_{xx} = 10

S_{yy} = 160

Applique la formule

r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}

→

r = 0{,}75

Interprète en contexte

Signe positif,

|r| = 0{,}75

est dans l'intervalle de

0{,}60

0{,}79

→ Corrélation positive forte

Réponse: $r = 0{,}75$ : une corrélation positive forte. Les élèves qui ont révisé plus longtemps ont en général eu de meilleures notes, mais l'élève qui a révisé 1 heure a fait mieux que celui qui a révisé 2 heures : la tendance n'est pas parfaite.

Erreurs courantes

Multiplier les valeurs brutes $x_i y_i$ au lieu des écarts

Pourquoi c'est faux: La formule $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ utilise les distances aux moyennes. Les produits bruts sont toujours grands et positifs pour des données positives et donnent un $r$ faux.

Correct: Soustrais d'abord les moyennes. Vérification rapide : les écarts de chaque variable ont une somme égale à $0$ .

Oublier la racine carrée ou arrondir trop tôt

Pourquoi c'est faux: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ n'est pas $r$ . Arrondir $\sqrt{520}$ à $23$ donne $0{,}957$ au lieu de $0{,}965$ .

Correct: Prends la racine carrée de $S_{xx} \cdot S_{yy}$ et n'arrondis que le résultat final à 2 décimales.

Prendre un $r$ élevé pour la preuve qu'une variable cause l'autre

Pourquoi c'est faux: Des données d'observation peuvent montrer une forte corrélation parce qu'une variable confondante agit sur les deux, comme le temps pluvieux agit sur les ventes de parapluies et les accidents de la route.

Correct: Dis "est associé à". Seule une expérience contrôlée avec répartition au hasard peut justifier une affirmation causale.

Ignorer une valeur aberrante ou la supprimer sans raison

Pourquoi c'est faux: Un seul point peut faire passer $r$ de $1$ à $0$ . L'ignorer cache le problème ; la supprimer seulement parce qu'elle dérange est malhonnête.

Correct: Trace les données, calcule $r$ avec et sans la valeur aberrante et ne la retire qu'avec une raison claire (erreur de mesure, escargot), en le précisant.

Pourquoi c'est important

Des valeurs de corrélation apparaissent chaque jour dans les journaux, les bulletins scolaires et les projets scientifiques, et beaucoup sont mal lues :

Actualité santé : "Les buveurs de café vivent plus longtemps" est en général une corrélation tirée d'une enquête, pas une preuve.
Sport : les entraîneurs vérifient si plus d'heures d'entraînement vont vraiment avec de meilleurs temps avant de changer un programme.
Commerce et énergie : un magasin compare la température et les ventes, une famille compare la température extérieure et le chauffage.
Projets scientifiques : une seule mesure ratée (une valeur aberrante) peut gâcher un résultat si personne ne regarde le nuage de points.

Si tu sais calculer

r

toi-même, le décrire avec des mots simples et repérer une fausse affirmation causale ou une valeur aberrante trompeuse, tu peux juger les statistiques au lieu de simplement les croire.

Applications dans le monde réel

Sciences du sport

Les entraîneurs comparent les heures d'entraînement par semaine et les temps de course pour vérifier si plus d'entraînement va avec des courses plus rapides.

Exemple:

Pour un club de course, les sommes sont $S_{xy} = -45$ , $S_{xx} = 25$ et $S_{yy} = 100$ . Un $r$ négatif signifie : plus d'entraînement, des temps plus bas (plus rapides).

1Essaie par toi-même

Un club de course note pour ses membres les heures d'entraînement par semaine et les temps sur 5 km (minutes). Les sommes sont $S_{xy} = -45$ , $S_{xx} = 25$ et $S_{yy} = 100$ .

Que vaut le coefficient de corrélation $r$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ :

Lire l'actualité avec un œil critique

Journalistes et lecteurs doivent décider si une corrélation publiée soutient une affirmation de cause à effet.

Exemple:

Un rapport trouve $r = 0{,}83$ entre le nombre de téléviseurs pour 100 habitants d'un pays et l'espérance de vie, et un blog affirme que les téléviseurs font vivre plus longtemps.

2Essaie par toi-même

Sur de nombreux pays, le nombre de téléviseurs pour 100 habitants et l'espérance de vie ont $r = 0{,}83$ . Un blog conclut qu'acheter plus de téléviseurs fait vivre plus longtemps.

L'affirmation causale est-elle justifiée ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis ton verdict :

Contrôle qualité des capteurs

Les ingénieurs vérifient les mesures pour repérer les relevés erronés, car une seule mauvaise valeur peut masquer une relation parfaite.

Exemple:

Un capteur de température est testé à cinq réglages : $(2, 10)$ , $(4, 14)$ , $(6, 18)$ , $(8, 22)$ et un relevé erroné $(10, 6)$ .

3Essaie par toi-même

Un capteur donne les relevés $(2, 10)$ , $(4, 14)$ , $(6, 18)$ , $(8, 22)$ , $(10, 6)$ . Le dernier relevé est une erreur connue. Les moyennes sont $\bar{x} = 6$ et $\bar{y} = 14$ .

Que vaut $r$ une fois le relevé erroné retiré ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compare $r$ avec et sans l'erreur :

Points clés

1Pour calculer $r$ à la main : moyennes, écarts, $S_{xy}$ , $S_{xx}$ , $S_{yy}$ , puis $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$
2Vérifie ton travail : les écarts de chaque variable ont une somme nulle, et $r$ doit être compris entre $-1$ et $1$
3N'arrondis que la valeur finale de $r$ , en général à 2 décimales
4Interprète $r$ en contexte : le signe donne le sens, $|r|$ donne l'intensité
5Une forte corrélation issue de données d'observation ne justifie pas une affirmation causale ; cherche les variables confondantes
6Une seule valeur aberrante peut renforcer, affaiblir ou même inverser $r$ : trace les données et compare $r$ avec et sans elle

Questions fréquentes

Pourquoi les écarts ont-ils toujours une somme nulle ?

La moyenne est le point d'équilibre des données : les valeurs au-dessus et en dessous se compensent exactement. Si tes écarts n'ont pas une somme égale à

0

, il y a une erreur dans la moyenne ou dans une soustraction.

Ajouter le même nombre à chaque valeur change-t-il $r$ ?

Non. Ajouter une constante déplace tous les points ensemble, donc les écarts restent les mêmes. Multiplier par un nombre positif (par exemple passer des heures aux minutes) ne change pas non plus

r

. Multiplier une variable par un nombre négatif change le signe de

r

Quand peut-on retirer une valeur aberrante ?

Quand on a une raison claire qui ne dépend pas du résultat : une erreur de mesure, une faute de frappe, une plante mangée par un escargot. Dis toujours que tu l'as retirée et, si possible, donne

r

avec et sans le point.

Comment peut-on prouver une causalité ?

Avec une expérience contrôlée et randomisée : on attribue le traitement (par exemple l'engrais) au hasard à certains sujets et pas à d'autres, on garde tout le reste identique et on compare. La répartition au hasard répartit les variables confondantes de façon équilibrée entre les deux groupes.

Glossaire

Écart: La distance d'une valeur à la moyenne, $x_i - \bar{x}$ ; il peut être positif ou négatif
$S_{xy}$: La somme des produits des écarts, $\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ ; son signe est le signe de $r$
$S_{xx}$ et $S_{yy}$: Les sommes des carrés des écarts de $x$ et de $y$ ; elles ne sont jamais négatives
Valeur aberrante: Un point de données loin de la tendance des autres ; il peut beaucoup modifier $r$
Variable confondante: Une variable absente de l'étude qui agit sur les deux variables et peut créer une corrélation trompeuse
Expérience contrôlée: Une étude où le chercheur attribue le traitement au hasard ; le seul type d'étude qui peut justifier une affirmation causale

Carte des formules

Coefficient de corrélation

r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}

$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$

Vérifications

\sum(x_i - \bar{x}) = 0, \quad -1 \le r \le 1

Si une somme d'écarts n'est pas $0$ ou si $|r| > 1$, il y a une erreur de calcul

Échelle d'intensité

|r| : \ 0{,}2 \ \text{faible}, \ 0{,}4 \ \text{modérée}, \ 0{,}6 \ \text{forte}, \ 0{,}8 \ \text{très forte}

Chaque niveau commence à sa valeur ; en dessous de $0{,}20$, la corrélation est très faible

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Problèmes de corrélation

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Sciences du sport

Lire l'actualité avec un œil critique

Contrôle qualité des capteurs

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Coefficient de corrélation

Vérifications

Échelle d'intensité

Plus sur ce sujet

Introduction à la corrélation

Coefficient de corrélation

Interpréter la corrélation

Corrélation et causalité