Introduction à la régression

Apprends à trouver la droite qui s'ajuste le mieux à un ensemble de points et à faire des prédictions avec la régression linéaire.

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Définition

La régression linéaire est une méthode statistique utilisée pour trouver la droite qui s'ajuste le mieux à un ensemble de points. Cette droite est appelée droite de meilleur ajustement ou droite de régression.
L'équation d'une droite de régression est :
y=mx+by = mx + b
où :
  • mm est la pente (l'inclinaison de la droite)
  • bb est l'ordonnée à l'origine (où la droite coupe l'axe des y)
  • xx est la variable d'entrée (variable indépendante)
  • yy est la sortie prédite (variable dépendante)
L'objectif de la régression est de minimiser la distance totale entre les points et la droite, ce qui nous permet de faire des prédictions pour de nouvelles valeurs de xx.

Essaie tout de suite

Que représente le mm dans l'équation y=mx+by = mx + b ?

Exemples résolus

Une étude montre que pour chaque heure d'étude supplémentaire, les résultats aux tests augmentent de 5 points. Si un élève qui étudie 0 heure obtient 50 points, quelle est l'équation de régression ?
1

Identifier la pente

Le score augmente de 5 points par heure d'étude → m=5m = 5
2

Identifier l'ordonnée à l'origine

Quand x=0x = 0 heures, le score est de 50 points → b=50b = 50
3

Écrire l'équation

Substituer m=5m = 5 et b=50b = 50 dans y=mx+by = mx + b → y=5x+50y = 5x + 50

Erreurs courantes

Confondre l'ordre de soustraction dans la formule de la pente

Pourquoi c'est faux: Utiliser x2−x1y2−y1\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} au lieu de y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} donne l'inverse de la pente correcte.

Correct: Rappelle-toi : la pente est 'la montée sur la course' - le changement en yy (vertical) divisé par le changement en xx (horizontal).

Extrapoler trop loin au-delà des données

Pourquoi c'est faux: La droite de régression n'est fiable que dans la plage de tes données. Prédire bien au-delà de cette plage peut conduire à des résultats irréalistes.

Correct: Sois prudent avec les prédictions pour des valeurs de xx beaucoup plus grandes ou plus petites que tes points de données originaux.

Supposer que la corrélation implique la causalité

Pourquoi c'est faux: Le fait que deux variables soient liées (corrélées) ne signifie pas que l'une cause l'autre.

Correct: La régression montre des relations, mais une analyse supplémentaire est nécessaire pour établir la causalité.

Visuel interactif

Explorateur de fonction lineaire

y = 3x + 2
Pente (m)3
Ordonnee a l'origine (b)2
b
course
montée
xy
-2-4
-1-1
02
15
28

Courbe de la fonction

Place ces points :

  • (2 ; 8)
  • (5 ; 17)
-112345678-2-11234567891011121314151617181920212223240xy

Touche la grille pour placer un point. Touche-le encore pour l'enlever.Place au moins 2 points pour voir la droite qui passe par eux.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-20246810020406080100xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 3x + 2

m=3, b=2

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Que représente le mm dans l'équation y=mx+by = mx + b ?

Pourquoi c'est important

La régression linéaire est l'un des outils les plus utilisés en science des données et en statistiques :
  • Commerce : Prédire les ventes en fonction des dépenses publicitaires
  • Médecine : Estimer le dosage d'un médicament en fonction du poids du patient
  • Économie : Prévoir la croissance du PIB à partir de divers indicateurs
  • Sports : Projeter les performances des athlètes à partir des métriques d'entraînement
  • Sciences : Modéliser les relations entre les variables dans les expériences
Comprendre la régression t'aide à prendre des décisions basées sur les données et à faire des prédictions fondées sur des preuves réelles plutôt que sur des suppositions.

Applications dans le monde réel

Prédire les prix des maisons

Les analystes immobiliers utilisent la régression pour estimer la valeur des maisons en fonction de facteurs comme la surface, le nombre de chambres et l'emplacement.

Exemple:

Si les maisons se vendent environ 1500€ par mètre carré avec un prix de base de 50000€, l'équation pourrait être y=1500x+50000y = 1500x + 50000, où xx est la surface en mètres carrés.

1Essaie par toi-même

Un modèle immobilier montre : y=2000x+30000y = 2000x + 30000, où xx est la surface en m² et yy est le prix en euros.

Quel est le prix prédit pour une maison de 150 mètres carrés ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Substitue x=150x = 150 dans l'équation :

Analyse de l'efficacité énergétique

Les ingénieurs automobiles utilisent la régression pour comprendre comment le poids d'une voiture affecte la consommation de carburant.

Exemple:

Les données pourraient montrer que l'efficacité énergétique diminue de 0,005 km/L pour chaque kilogramme de poids supplémentaire.

2Essaie par toi-même

Un modèle de voiture montre : y=−0,01x+25y = -0,01x + 25, où xx est le poids en kg et yy est l'efficacité en km/L.

Quelle efficacité est prédite pour une voiture pesant 1200 kg ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : y=−0,01(1200)+25y = -0,01(1200) + 25

Points clés

  • 1La régression linéaire trouve la droite qui s'ajuste le mieux à un ensemble de points
  • 2L'équation de régression est y=mx+by = mx + b, où mm est la pente et bb est l'ordonnée à l'origine
  • 3La pente est calculée comme m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (la montée sur la course)
  • 4Une fois que tu as l'équation, tu peux faire des prédictions en substituant des valeurs pour xx
  • 5La régression montre une corrélation, mais la corrélation n'implique pas la causalité

Questions fréquentes

Les données réelles tombent rarement parfaitement sur une droite. La droite de régression minimise la distance totale au carré de tous les points à la droite. Certains points seront au-dessus de la droite, certains en dessous - c'est normal !
Les données réelles tombent rarement parfaitement sur une droite. La droite de régression minimise la distance totale au carré de tous les points à la droite. Certains points seront au-dessus de la droite, certains en dessous - c'est normal !
La valeur R2R^2 (coefficient de détermination) mesure la qualité de l'ajustement. Elle varie de 0 à 1 - des valeurs plus élevées signifient un meilleur ajustement. Tu en apprendras plus dans la leçon sur la corrélation.
La régression linéaire ne fonctionne que pour des relations en ligne droite. Pour des relations courbes, tu as besoin de la régression polynomiale ou d'autres méthodes avancées.

Glossaire

Régression linéaire
Une méthode statistique pour trouver la droite qui s'ajuste le mieux à un ensemble de points
Droite de meilleur ajustement
La droite qui minimise la distance entre elle-même et tous les points
Pente
L'inclinaison de la droite, représentant le taux de variation (mm dans y=mx+by = mx + b)
Ordonnée à l'origine
Le point où la droite coupe l'axe des y (bb dans y=mx+by = mx + b)
Prédiction
Utiliser l'équation de régression pour estimer yy pour une valeur donnée de xx
Variable indépendante
La variable d'entrée (xx) que nous utilisons pour faire des prédictions
Variable dépendante
La variable de sortie (yy) que nous essayons de prédire
Défi du jourUn problème, trois essais

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