Démontrer des identités trigonométriques

Réponse: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ est l'identité pythagoricienne fondamentale et elle est vraie pour tout $x$. Les trois autres sont des équations : $\sin x = \cos x$ est vraie en $45°$, $\sin x + \cos x = 1$ en $0°$ et $90°$, $\tan x = 1$ en $45°$, mais aucune n'est vraie pour tout angle.

Réponse: 1

$(1 + 3) \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, exactement le membre de droite. Ce test est cohérent avec la démonstration $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = \sec^2 x \cos^2 x = 1$.

Réponse: $\tan 30° \cos 30° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

1. Combien vaut le membre de droite $\sin 30°$ ? 1/2
2. Combien vaut le membre de gauche $\tan 30° \cdot \cos 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ ? 1/2
3. Combien vaut le membre de gauche moins le membre de droite ? 0

Réponse: Diviser les deux membres par $\cos x$

Diviser les deux membres par $\cos x$ traite l'identité comme une équation déjà vraie. Les autres étapes ne modifient qu'un membre sans changer sa valeur : identité du quotient, multiplication par une forme de 1, simplification d'un facteur commun.

Réponse: -2

Membre de gauche : $\sin 180° = 0$. Membre de droite : $2\sin 90° = 2$. La différence $0 - 2 = -2$ n'est pas $0$, donc $x = 90°$ est un contre-exemple et l'affirmation n'est pas une identité.

Réponse: $\sin x \cot x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$

1. Écris $\cot x$ avec sinus et cosinus. Quelle expression est-ce ? $\dfrac{\cos x}{\sin x}$
2. Le membre de gauche est maintenant $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. Que reste-t-il après simplification ? $\cos x$
3. Vérification en $x = 60°$ : quelle valeur doivent donner les deux membres ($\cos 60°$) ? 1/2

Réponse: Multiplier le numérateur et le dénominateur par $1 - \cos x$

Multiplier par l'expression conjuguée $\frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}$ donne $\frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. Élever au carré ou ajouter aux deux membres viole la règle d'un seul membre.

Réponse: 3/2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. Le membre de gauche donne la même valeur : $\sec 60° - \cos 60° = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.

Réponse: $\cos x\,(\sec x - \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

1. En développant, on obtient $\cos x \sec x - \cos^2 x$. Quel nombre vaut $\cos x \sec x$ ? 1
2. Le membre de gauche vaut donc $1 - \cos^2 x$. À quelle expression est-ce égal ? $\sin^2 x$
3. Vérification en $x = 30°$ : combien vaut $\sin^2 30°$ ? 1/4

Réponse: $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$

1. Avec le dénominateur commun, le numérateur est $(1 + \cos x) + (1 - \cos x)$. Quel nombre est-ce ? 2
2. À quelle expression est égal le dénominateur $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$ ? $\sin^2 x$
3. Le membre de gauche vaut donc $\frac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$. Quelle est sa valeur en $x = 30°$ ? 8

Réponse: $45°$

En $0°$, $90°$ et $360°$, la somme vaut exactement 1. En $45°$, elle vaut $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \neq 1$, donc $45°$ est un contre-exemple.

Réponse: 3

$\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$. En $30°$ : $\cot 30° = \sqrt{3}$, donc $\cot^2 30° = 3$. Directement : $\frac{1 - \frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.

Réponse: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

1. En $x = 45°$, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Combien vaut le membre de gauche $(\sqrt{2})^2$ ? 2
2. Le membre de droite vaut 1. Combien vaut le membre de gauche moins le membre de droite en $45°$ ? 1
3. En développant, on obtient $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$. Combien vaut $2\sin 45° \cos 45°$ ? 1

Réponse: $2\tan x \sec x$

$\frac{(1 + \sin x) - (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\tan x \sec x$. Vérification en $60°$ : $\frac{1}{1 - 0{,}866} - \frac{1}{1{,}866} \approx 7{,}46 - 0{,}54 = 6{,}93$ et $2\tan 60° \sec 60° = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \approx 6{,}93$. La réponse $2\sec^2 x$ correspond à la somme des deux fractions, pas à la différence.

Réponse: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$, donc le membre de gauche vaut $\sec^2 x + \tan^2 x = (1 + \tan^2 x) + \tan^2 x = 1 + 2\tan^2 x$. Donc $A = 2$. Vérification en $45°$ : $4 - 1 = 3 = 1 + 2 \cdot 1$.

Réponse: $\dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$

1. Par quelle forme de 1 faut-il multiplier le membre de gauche pour pouvoir simplifier le dénominateur avec une identité pythagoricienne ? $\dfrac{1 - \sin x}{1 - \sin x}$
2. À quelle expression est égal le nouveau dénominateur $(1 + \sin x)(1 - \sin x)$ ? $\cos^2 x$
3. Le membre de gauche vaut maintenant $\frac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x}$. Qu'obtiens-tu après avoir simplifié par $\cos x$ ? $\dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$
4. Vérification en $x = 0°$ : quelle valeur donnent les deux membres ? 1

Réponse: $\cot^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x \cdot \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x \cos^2 x$

1. Écris $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ et factorise $\cos^2 x$ dans le membre de gauche. Quelle expression obtiens-tu ? $\cos^2 x\left(\dfrac{1}{\sin^2 x} - 1\right)$
2. Avec un dénominateur commun, $\frac{1}{\sin^2 x} - 1 = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$. À quelle expression le numérateur $1 - \sin^2 x$ est-il égal ? $\cos^2 x$
3. Le membre de gauche vaut maintenant $\cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. Quelle expression est-ce ? $\cot^2 x \cos^2 x$
4. Vérification en $x = 45°$ : quelle valeur donnent les deux membres ? 1/2

Réponse: $(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = 1 - 2\cos^2 x$

1. Factorise le membre de gauche. Quelle factorisation est correcte ? $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
2. Quel nombre vaut le deuxième facteur $\sin^2 x + \cos^2 x$ ? 1
3. Remplace $\sin^2 x$ par $1 - \cos^2 x$ dans $\sin^2 x - \cos^2 x$. Tu obtiens $1 + k\cos^2 x$. Combien vaut $k$ ? -2
4. Vérification en $x = 60°$ : combien vaut $\sin^4 60° - \cos^4 60° = \frac{9}{16} - \frac{1}{16}$ ? 1/2