Completare il quadrato

Padroneggia la tecnica di completare il quadrato per risolvere equazioni quadratiche e riscriverle in forma di vertice.

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Definizione

Completare il quadrato è una tecnica per riscrivere un'espressione quadratica ax2+bx+cax^2 + bx + c nella forma a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k, chiamata forma di vertice.
L'idea chiave: aggiungiamo e sottraiamo lo stesso valore per creare un trinomio quadrato perfetto.
x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2
Per esempio:
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Qui, (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 completa il quadrato.

Prova subito

Quale valore completa il quadrato per x2+6xx^2 + 6x?

Esempi svolti

Completa il quadrato: x2+8xx^2 + 8x
1

Identifica il coefficiente di x

b=8b = 8 → Il coefficiente è 8
2

Prendi la metà di b

82=4\frac{8}{2} = 4 → La metà è 4
3

Eleva il risultato al quadrato

42=164^2 = 16 → Dobbiamo aggiungere 16
4

Aggiungi e sottrai questo valore

x2+8x+16−16x^2 + 8x + 16 - 16 → Equilibrio mantenuto
5

Fattorizza il trinomio quadrato perfetto

(x+4)2−16(x + 4)^2 - 16 → Forma del quadrato completato

Errori comuni

Dimenticare di aggiungere a entrambi i lati quando si risolve un'equazione

Perché è sbagliato: Quando si completa il quadrato in un'equazione, ciò che si aggiunge da un lato deve essere aggiunto dall'altro per mantenere l'uguaglianza.

Corretto: Dopo aver aggiunto (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2 a sinistra, aggiungi lo stesso valore a destra.

Non fattorizzare prima il coefficiente principale

Perché è sbagliato: Quando a≠1a \neq 1 in ax2+bx+cax^2 + bx + c, completare il quadrato direttamente dà risultati errati.

Corretto: Prima fattorizza aa dai termini x2x^2 e xx, poi completa il quadrato dentro.

Usare bb invece di b2\frac{b}{2} per completare il quadrato

Perché è sbagliato: La formula richiede la metà del coefficiente di xx, al quadrato.

Corretto: Usa sempre (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2, non b2b^2.

Dimenticare di moltiplicare quando si distribuisce

Perché è sbagliato: Quando aa è fattorizzato, il valore sottratto dentro viene moltiplicato per aa.

Corretto: In 2(x2+6x+9−9)2(x^2 + 6x + 9 - 9), il −9-9 diventa −18-18 distribuendo: 2(−9)=−182(-9) = -18.

Visuale interattivo

Modello ad area: completamento del quadrato

x² + bx è un quadrato a cui manca un angolo. Aggiungere (b/2)² lo completa.

x2x^2
4x4x
4x4x
+16+16
xx
44
xx
44

Lunghezza × larghezza = area

x2+8x=(x+4)2−16x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16

Aggiungi 16 per riempire l'angolo e ottenere un quadrato perfetto.

Risolutore di equazioni

Risolvi per xx:

x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
1
x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
Sottrai 22 da entrambi i latiLascia a sinistra solo i termini con la variabile

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = x^2 - 4x + 7

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quale valore completa il quadrato per x2+6xx^2 + 6x?

Perché è importante

Completare il quadrato è una delle tecniche algebriche più potenti perché:
  • Risolve qualsiasi equazione quadratica (anche quando la fattorizzazione non funziona)
  • Rivela il vertice di una parabola direttamente dall'equazione
  • Deriva la formula quadratica (che viene da completare il quadrato!)
  • Trasforma i cerchi dalla forma generale alla forma standard in geometria
Senza questa tecnica, molte equazioni quadratiche sarebbero irrisolvibili a mano!

Applicazioni nel mondo reale

Moto dei proiettili

Gli ingegneri usano completare il quadrato per trovare l'altezza massima dei proiettili.

Esempio:

L'altezza di una palla è h=−16t2+64t+5h = -16t^2 + 64t + 5 piedi. Completando il quadrato: h=−16(t−2)2+69h = -16(t - 2)^2 + 69. L'altezza massima è 69 piedi a t=2t = 2 secondi.

1Provaci tu stesso

L'altezza di un razzo è data da h=−5t2+30t+10h = -5t^2 + 30t + 10 metri.

Qual è l'altezza massima?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Completa il quadrato per trovare il vertice:

Architettura e design

Gli architetti usano completare il quadrato per progettare archi parabolici e determinare i loro punti più alti.

Esempio:

L'arco di un ponte segue y=−0,01x2+2xy = -0,01x^2 + 2x. In forma di vertice: y=−0,01(x−100)2+100y = -0,01(x - 100)^2 + 100. L'arco raggiunge 100 metri di altezza al centro.

2Provaci tu stesso

Un'antenna parabolica è modellata da y=−0,25x2+4x+3y = -0,25x^2 + 4x + 3.

A quale coordinata x l'antenna è più profonda?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova la coordinata x del vertice:

Economia e ottimizzazione dei profitti

Le aziende usano modelli quadratici per trovare il prezzo ottimale per il massimo profitto.

Esempio:

Il profitto di un'azienda è P=−2x2+40x−150P = -2x^2 + 40x - 150 euro dove xx è il prezzo. Forma di vertice: P=−2(x−10)2+50P = -2(x - 10)^2 + 50. Il profitto massimo di 50€ si verifica al prezzo di 10€.

3Provaci tu stesso

Il ricavo è modellato da R=−3x2+24xR = -3x^2 + 24x dove xx sono le unità vendute in migliaia.

Quante unità massimizzano il ricavo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova il vertice:

Punti chiave

  • 1Completare il quadrato trasforma x2+bxx^2 + bx in (x+b2)2−(b2)2(x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2
  • 2Il valore chiave da aggiungere è sempre (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2
  • 3Quando a≠1a \neq 1, fattorizza prima aa dai termini in xx
  • 4La forma di vertice a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k rivela direttamente il vertice (h,k)(h, k)
  • 5Questa tecnica può risolvere qualsiasi equazione quadratica, anche quando la fattorizzazione fallisce

Domande frequenti

Usa completare il quadrato quando: (1) la quadratica non si fattorizza bene con numeri interi, (2) devi trovare il vertice di una parabola, o (3) stai derivando la formula quadratica. La fattorizzazione è più veloce quando funziona, ma completare il quadrato funziona sempre.
Usa completare il quadrato quando: (1) la quadratica non si fattorizza bene con numeri interi, (2) devi trovare il vertice di una parabola, o (3) stai derivando la formula quadratica. La fattorizzazione è più veloce quando funziona, ma completare il quadrato funziona sempre.
Aggiungere e sottrarre lo stesso valore è come aggiungere zero, il che non cambia il valore dell'espressione. Questo ci permette di creare un trinomio quadrato perfetto senza cambiare ciò che vale l'espressione.
La formula quadratica è derivata completando il quadrato sulla forma generale ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. La formula x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} viene direttamente da questo processo!

Glossario

Completare il quadrato
Un metodo per riscrivere un'espressione quadratica come un quadrato perfetto più o meno una costante
Trinomio quadrato perfetto
Un trinomio che si fattorizza come (x+a)2(x + a)^2 o (x−a)2(x - a)^2, come x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Forma di vertice
La forma a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k dove (h,k)(h, k) è il vertice della parabola
Forma standard
La forma ax2+bx+cax^2 + bx + c per un'espressione quadratica

Scheda formule

Formula per completare il quadrato

x2+bx=(x+b2)2−(b2)2x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2

La trasformazione fondamentale per completare il quadrato

Valore da aggiungere

(b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2

Il valore che aggiungi e sottrai per creare un quadrato perfetto

Forma di vertice

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Il vertice della parabola è nel punto (h, k)

Schemi dei quadrati perfetti

(x+a)2=x2+2ax+a2(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Espandere un binomio al quadrato crea un trinomio quadrato perfetto

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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