Completare il quadrato
Padroneggia la tecnica di completare il quadrato per risolvere equazioni quadratiche e riscriverle in forma di vertice.
Definizione
Prova subito
Esempi svolti
Completa il quadrato:
Identifica il coefficiente di x
→ Il coefficiente è 8
Prendi la metà di b
→ La metà è 4
Eleva il risultato al quadrato
→ Dobbiamo aggiungere 16
Aggiungi e sottrai questo valore
→ Equilibrio mantenuto
Fattorizza il trinomio quadrato perfetto
→ Forma del quadrato completato
Risposta:
Errori comuni
Dimenticare di aggiungere a entrambi i lati quando si risolve un'equazione
Perché è sbagliato: Quando si completa il quadrato in un'equazione, ciò che si aggiunge da un lato deve essere aggiunto dall'altro per mantenere l'uguaglianza.
Corretto: Dopo aver aggiunto a sinistra, aggiungi lo stesso valore a destra.
Non fattorizzare prima il coefficiente principale
Perché è sbagliato: Quando in , completare il quadrato direttamente dà risultati errati.
Corretto: Prima fattorizza dai termini e , poi completa il quadrato dentro.
Usare invece di per completare il quadrato
Perché è sbagliato: La formula richiede la metà del coefficiente di , al quadrato.
Corretto: Usa sempre , non .
Dimenticare di moltiplicare quando si distribuisce
Perché è sbagliato: Quando è fattorizzato, il valore sottratto dentro viene moltiplicato per .
Corretto: In , il diventa distribuendo: .
Visuale interattivo
Esplora funzioni lineari
Clicca su cerchio per cambiare la frazione
Sandbox interattivo
Graficatore interattivo
Prova questi esempi:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calcolatrice di espressioni
Prova questi:
Cronologia
Ancora nessun calcolo
Esercizi pratici
16 eserciziQuale valore completa il quadrato per ?
Perché è importante
- Risolve qualsiasi equazione quadratica (anche quando la fattorizzazione non funziona)
- Rivela il vertice di una parabola direttamente dall'equazione
- Deriva la formula quadratica (che viene da completare il quadrato!)
- Trasforma i cerchi dalla forma generale alla forma standard in geometria
Applicazioni nel mondo reale
Moto dei proiettili
Gli ingegneri usano completare il quadrato per trovare l'altezza massima dei proiettili.
Esempio:
L'altezza di una palla è piedi. Completando il quadrato: . L'altezza massima è 69 piedi a secondi.
L'altezza di un razzo è data da metri.
Qual è l'altezza massima?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Completa il quadrato per trovare il vertice:
Architettura e design
Gli architetti usano completare il quadrato per progettare archi parabolici e determinare i loro punti più alti.
Esempio:
L'arco di un ponte segue . In forma di vertice: . L'arco raggiunge 100 metri di altezza al centro.
Un'antenna parabolica è modellata da .
A quale coordinata x l'antenna è più profonda?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Trova la coordinata x del vertice:
Economia e ottimizzazione dei profitti
Le aziende usano modelli quadratici per trovare il prezzo ottimale per il massimo profitto.
Esempio:
Il profitto di un'azienda è euro dove è il prezzo. Forma di vertice: . Il profitto massimo di 50€ si verifica al prezzo di 10€.
Il ricavo è modellato da dove sono le unità vendute in migliaia.
Quante unità massimizzano il ricavo?
Passo 1: Scrivi l'espressione matematica
Trova il vertice:
Punti chiave
- 1Completare il quadrato trasforma in
- 2Il valore chiave da aggiungere è sempre
- 3Quando , fattorizza prima dai termini in
- 4La forma di vertice rivela direttamente il vertice
- 5Questa tecnica può risolvere qualsiasi equazione quadratica, anche quando la fattorizzazione fallisce
Domande frequenti
Glossario
- Completare il quadrato
- Un metodo per riscrivere un'espressione quadratica come un quadrato perfetto più o meno una costante
- Trinomio quadrato perfetto
- Un trinomio che si fattorizza come o , come
- Forma di vertice
- La forma dove è il vertice della parabola
- Forma standard
- La forma per un'espressione quadratica
Scheda formule
Formula per completare il quadrato
La trasformazione fondamentale per completare il quadrato
Valore da aggiungere
Il valore che aggiungi e sottrai per creare un quadrato perfetto
Forma di vertice
Il vertice della parabola è nel punto (h, k)
Schemi dei quadrati perfetti
Espandere un binomio al quadrato crea un trinomio quadrato perfetto