La formula risolutiva

Impara a risolvere qualsiasi equazione di secondo grado con la formula risolutiva.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

La formula risolutiva (o formula quadratica) risolve qualsiasi equazione della forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Dove:
  • aa, bb e cc sono i coefficienti dell'equazione
  • a≠0a \neq 0 (altrimenti non è un'equazione di secondo grado)
  • Il simbolo ±\pm significa che ci sono di solito due soluzioni
L'espressione sotto la radice, b2−4acb^2 - 4ac, si chiama discriminante.

Prova subito

Nell'equazione x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, quali sono i valori di aa, bb e cc?

Esempi svolti

Risolvi x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0 usando la formula risolutiva.
1

Identifica a, b e c

Confrontando con ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0: a=1a = 1, b=6b = 6, c=5c = 5
2

Calcola il discriminante

b2−4ac=62−4(1)(5)=36−20=16b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 → D=16D = 16
3

Applica la formula

x=−6±162(1)=−6±42x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2} → x=−6±42x = \frac{-6 \pm 4}{2}
4

Trova entrambe le soluzioni

x1=−6+42=−22=−1x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 x2=−6−42=−102=−5x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 → x=−1x = -1 o x=−5x = -5

Errori comuni

Dimenticare di rendere b negativo quando è già negativo

Perché è sbagliato: Se b=−7b = -7, allora −b=−(−7)=7-b = -(-7) = 7, non −7-7. La formula dice −b-b, quindi neghi qualunque cosa sia b.

Corretto: Scrivi sempre −b-b prima, poi sostituisci: se b=−7b = -7, scrivi −(−7)=7-(-7) = 7

Calcolare erroneamente b2b^2 quando b è negativo

Perché è sbagliato: Gli studenti a volte scrivono −72=−49-7^2 = -49 invece di (−7)2=49(-7)^2 = 49

Corretto: L'intero coefficiente viene elevato al quadrato: (−7)2=(−7)×(−7)=49(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49

Dividere solo parte del numeratore per 2a

Perché è sbagliato: Scrivere −b2a±b2−4ac\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac} invece di −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Corretto: L'intero numeratore (−b±...)(-b \pm \sqrt{...}) viene diviso per 2a2a

Fermarsi a una sola soluzione

Perché è sbagliato: Il ±\pm significa più O meno, dando due soluzioni potenziali

Corretto: Calcola sempre entrambe: x1=−b+D2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} e x2=−b−D2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

Visuale interattivo

Esploratore quadratico

y = x² + 6x + 5

Controlla larghezza e direzione

Sposta la parabola

Intercetta Y

xy

Vertice

(-3, -4)

Asse di simmetria

x = -3

Radici (intersezioni con asse X)

x = -1, x = -5

Intercetta Y

(0, 5)

Direzione

Apre verso l'alto

Discriminante

b² - 4ac = 16

Tabella dei valori

x-3-2-10123
y-4-305122132
VerticeRadiciIntercetta YAsse di simmetria

Risolutore di equazioni

Risolvi per xx:

x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
1
x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
Individua a, b e cUn'equazione di secondo grado si risolve in forma normale

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = x^2 + 6x + 5

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Nell'equazione x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, quali sono i valori di aa, bb e cc?

Perché è importante

La formula risolutiva è uno degli strumenti più potenti dell'algebra perché:
  • Universale: Funziona per QUALSIASI equazione di secondo grado, anche quando la fattorizzazione non funziona
  • Prevedibile: Segui sempre gli stessi passaggi
  • Applicazioni reali: Fisica (moto dei proiettili), ingegneria (strutture paraboliche), finanza (ottimizzazione dei profitti)
Mentre la fattorizzazione è più veloce quando funziona, molti problemi reali hanno numeri "difficili" che non si fattorizzano facilmente. La formula risolutiva li gestisce tutti!

Applicazioni nel mondo reale

Moto dei proiettili

Quando lanci una palla, la sua altezza segue un'equazione di secondo grado. La formula aiuta a trovare quando atterra.

Esempio:

Una palla lanciata verso l'alto ha altezza h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1 metri dopo tt secondi. Per trovare quando tocca il suolo (h=0h = 0), risolvi −5t2+20t+1=0-5t^2 + 20t + 1 = 0 usando la formula.

1Provaci tu stesso

L'altezza di un razzo è modellata da h=−4t2+32th = -4t^2 + 32t metri.

Quando ritorna il razzo al suolo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta h=0h = 0 e identifica i coefficienti:

Ottimizzazione dei profitti aziendali

Le aziende usano equazioni di secondo grado per modellare i profitti e trovare i punti di pareggio.

Esempio:

Il profitto di un'azienda è P=−2x2+100x−800P = -2x^2 + 100x - 800 euro, dove xx sono le unità vendute. Per trovare i punti di pareggio (dove P=0P = 0), usa la formula risolutiva.

2Provaci tu stesso

Il profitto settimanale di un negozio è P=−x2+50x−400P = -x^2 + 50x - 400 euro per xx articoli venduti.

A quali livelli di vendite il negozio raggiunge il pareggio?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi −x2+50x−400=0-x^2 + 50x - 400 = 0:

Punti chiave

  • 1La formula risolutiva è x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • 2Funziona per qualsiasi equazione della forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 3Il discriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac indica quante soluzioni esistono
  • 4Se D>0D > 0: due soluzioni reali distinte; se D=0D = 0: una soluzione ripetuta; se D<0D < 0: nessuna soluzione reale
  • 5Verifica sempre le tue risposte sostituendole nell'equazione originale

Domande frequenti

Usa la formula risolutiva quando: (1) l'equazione non si fattorizza facilmente, (2) i coefficienti sono grandi o decimali, o (3) vuoi un metodo affidabile che funziona sempre. La fattorizzazione è più veloce quando funziona, ma la formula è più universale.
Usa la formula risolutiva quando: (1) l'equazione non si fattorizza facilmente, (2) i coefficienti sono grandi o decimali, o (3) vuoi un metodo affidabile che funziona sempre. La fattorizzazione è più veloce quando funziona, ma la formula è più universale.
Quando b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0, l'equazione ha esattamente una soluzione (chiamata radice doppia o ripetuta). Graficamente, la parabola tocca l'asse x in un solo punto.
Il ±\pm deriva dall'estrazione della radice quadrata. Poiché 52=255^2 = 25 e (−5)2=25(-5)^2 = 25, la radice quadrata di 25 potrebbe essere +5 o -5. Questo ci dà due valori possibili per x.

Glossario

Equazione di secondo grado
Un'equazione della forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 dove a≠0a \neq 0
Discriminante
L'espressione b2−4acb^2 - 4ac che determina il numero e il tipo di soluzioni
Coefficiente
Il fattore numerico di un termine (es: in 3x23x^2, il coefficiente è 3)
Radice/Soluzione
Un valore di xx che rende vera l'equazione (dove la parabola interseca l'asse x)

Scheda formule

Formula risolutiva

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Risolve qualsiasi equazione $ax^2 + bx + c = 0$

Discriminante

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Determina il numero e il tipo di soluzioni

Due soluzioni

D>0D > 0

Discriminante positivo: due radici reali distinte

Una soluzione

D=0D = 0

Discriminante nullo: una radice doppia

Nessuna soluzione reale

D<0D < 0

Discriminante negativo: nessuna radice reale

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