Introduzione alle espressioni razionali

Impara cosa sono le espressioni razionali, come identificarle e comprendi le loro proprietà chiave, incluse le restrizioni di dominio.

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Definizione

Un'espressione razionale è una frazione dove sia il numeratore che il denominatore sono polinomi.
Espressione razionale=polinomiopolinomio\text{Espressione razionale} = \frac{\text{polinomio}}{\text{polinomio}}
Come per le frazioni numeriche, il denominatore non può mai essere uguale a zero.
Esempi di espressioni razionali:
x+3x−2x2−4x+152x−63x2+2x−1x2+5\frac{x + 3}{x - 2} \quad \frac{x^2 - 4}{x + 1} \quad \frac{5}{2x - 6} \quad \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}
Concetto chiave - Restrizioni di dominio: Quando il denominatore è uguale a zero, l'espressione è indefinita. I valori che rendono il denominatore zero sono chiamati valori esclusi o restrizioni.

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Quale delle seguenti è un'espressione razionale?

Esempi svolti

Quali di queste sono espressioni razionali? a) x2+3xx−1\frac{x^2 + 3x}{x - 1} b) xx+2\frac{\sqrt{x}}{x + 2} c) 5x3−8\frac{5}{x^3 - 8}
1

Verifica l'espressione (a)

Numeratore: x2+3xx^2 + 3x (polinomio). Denominatore: x−1x - 1 (polinomio) → SÌ - espressione razionale
2

Verifica l'espressione (b)

Numeratore: x\sqrt{x} (NON è un polinomio - ha una radice) → NO - non è un'espressione razionale
3

Verifica l'espressione (c)

Numeratore: 55 (polinomio costante). Denominatore: x3−8x^3 - 8 (polinomio) → SÌ - espressione razionale

Errori comuni

Porre il numeratore uguale a zero invece del denominatore

Perché è sbagliato: Per trovare le restrizioni, dobbiamo trovare quando l'espressione è indefinita. La divisione per zero è indefinita, non la divisione di zero.

Corretto: Poni sempre il DENOMINATORE uguale a zero per trovare le restrizioni. Quando il numeratore è zero, l'espressione è semplicemente uguale a zero.

Dimenticare di fattorizzare completamente il denominatore

Perché è sbagliato: Un denominatore quadratico come x2−9x^2 - 9 ha DUE radici, quindi ci sono DUE restrizioni.

Corretto: Fattorizza sempre completamente il denominatore prima di risolvere. x2−9=(x+3)(x−3)x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) dà restrizioni a x=−3x = -3 E x=3x = 3.

Pensare che 05\frac{0}{5} e 50\frac{5}{0} siano uguali

Perché è sbagliato: 05=0\frac{0}{5} = 0 (zero diviso qualsiasi numero è zero), ma 50\frac{5}{0} è indefinito (non si può dividere per zero).

Corretto: Zero al numeratore dà zero. Zero al denominatore è indefinito.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-8-6-4-202468-4-2024xyx = -3x = 3

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = (x + 5)/(x² - 9)Asintoto

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Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi
Problema 1 di 18
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Quale delle seguenti è un'espressione razionale?

Perché è importante

Le espressioni razionali appaiono nella matematica avanzata e nelle applicazioni reali:
  • Fisica: La formula per l'ingrandimento delle lenti è hiho=−dido\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}
  • Chimica: I calcoli di concentrazione usano rapporti di polinomi
  • Economia: Il costo per unità si esprime spesso come costo totalequantitaˋ\frac{\text{costo totale}}{\text{quantità}}
  • Ingegneria: La resistenza elettrica nei circuiti paralleli usa 1RT=1R1+1R2\frac{1}{R_T} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
Capire le espressioni razionali è essenziale per l'analisi matematica, dove i limiti di funzioni razionali sono un concetto centrale.

Applicazioni nel mondo reale

Problemi di velocità media

Quando si percorrono diverse distanze a diverse velocità, la velocità media è un'espressione razionale.

Esempio:

Se guidi 100 km alla velocità vv e torni alla velocità v+20v + 20, la velocità media per l'intero viaggio è 2×100100v+100v+20\frac{2 \times 100}{\frac{100}{v} + \frac{100}{v+20}}

Problemi di tasso di lavoro

Quando due persone lavorano insieme, il loro tasso combinato coinvolge espressioni razionali.

Esempio:

Se Alice completa un lavoro in xx ore e Marco in yy ore, lavorando insieme lo completano in xyx+y\frac{xy}{x + y} ore.

Circuiti elettrici

Le formule per la resistenza in parallelo usano espressioni razionali.

Esempio:

Per due resistenze in parallelo: Rtotale=R1×R2R1+R2R_{totale} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}

Punti chiave

  • 1Un'espressione razionale è una frazione con polinomi al numeratore e al denominatore
  • 2Il denominatore non può MAI essere uguale a zero (la divisione per zero è indefinita)
  • 3Per trovare le restrizioni di dominio, poni il denominatore uguale a zero e risolvi
  • 4Fattorizza completamente il denominatore per trovare TUTTE le restrizioni
  • 5Verifica sempre le restrizioni prima di valutare un'espressione razionale

Domande frequenti

Il termine 'razionale' viene da 'rapporto'. Un'espressione razionale è un rapporto (frazione) di due polinomi, proprio come un numero razionale è un rapporto di due interi.
Il termine 'razionale' viene da 'rapporto'. Un'espressione razionale è un rapporto (frazione) di due polinomi, proprio come un numero razionale è un rapporto di due interi.
La divisione chiede 'quante volte il divisore sta nel dividendo?' Zero sta in qualsiasi numero infinite volte, rendendo la risposta indefinita. Non esiste alcun numero che, moltiplicato per zero, dia un risultato diverso da zero.
Sì! Il numero 55 è un polinomio costante (grado 0), e xx è un polinomio (grado 1). Quindi 5x\frac{5}{x} è un'espressione razionale con restrizione x≠0x \neq 0.

Glossario

Espressione razionale
Una frazione dove sia il numeratore che il denominatore sono polinomi
Restrizione di dominio
Un valore della variabile che rende l'espressione indefinita (quando il denominatore è uguale a zero)
Valore escluso
Altro termine per restrizione di dominio; un valore che deve essere escluso dal dominio
Indefinito
Quando un'espressione non ha un valore numerico valido, tipicamente a causa della divisione per zero
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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