Moltiplicazione di espressioni razionali

Impara a moltiplicare espressioni razionali moltiplicando numeratori e denominatori, poi semplificando.

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Definizione

Per moltiplicare espressioni razionali, moltiplica i numeratori insieme e i denominatori insieme, poi semplifica il risultato.
Per espressioni razionali AB\frac{A}{B} e CD\frac{C}{D} dove B≠0B \neq 0 e D≠0D \neq 0:
AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}
Importante: Fattorizza sempre completamente e cancella i fattori comuni prima di moltiplicare per facilitare i calcoli!
AB×CD=A⋅CB⋅D=CB\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{\cancel{A} \cdot C}{B \cdot \cancel{D}} = \frac{C}{B}
(se A=DA = D)

Prova subito

Quanto fa 23×57\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}?

Esempi svolti

Moltiplica: 3x4×89x2\frac{3x}{4} \times \frac{8}{9x^2}
1

Scrivere come una sola frazione

3x×84×9x2\frac{3x \times 8}{4 \times 9x^2} → 24x36x2\frac{24x}{36x^2}
2

Fattorizzare i termini comuni

24x36x2=24⋅x36⋅x⋅x\frac{24x}{36x^2} = \frac{24 \cdot x}{36 \cdot x \cdot x} → Identificare i fattori comuni: 12 e xx
3

Cancellare i fattori comuni

2436=23\frac{24}{36} = \frac{2}{3} e xx2=1x\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} → 23x\frac{2}{3x}
4

Scrivere la risposta finale

Combinare le parti semplificate → 23x\frac{2}{3x}, dove x≠0x \neq 0

Errori comuni

Dimenticare di fattorizzare prima di moltiplicare

Perché è sbagliato: Moltiplicare polinomi non fattorizzati crea espressioni più grandi che sono più difficili da semplificare dopo.

Corretto: Fattorizza sempre ogni numeratore e denominatore completamente PRIMA di moltiplicare. Questo rende la cancellazione molto più facile.

Cancellare termini invece di fattori

Perché è sbagliato: Puoi cancellare solo fattori (cose che si moltiplicano), non termini (cose che si sommano).

Corretto: x+3x+5\frac{x+3}{x+5} non può essere semplificata cancellando xx. Ma x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5} perché xx è un fattore.

Dimenticare le restrizioni del dominio

Perché è sbagliato: Anche dopo la cancellazione, i valori che rendevano l'espressione originale indefinita rimangono esclusi.

Corretto: Indica tutte le restrizioni dai denominatori ORIGINALI, non solo dalla forma semplificata.

Sommare invece di moltiplicare

Perché è sbagliato: La moltiplicazione e l'addizione di frazioni seguono regole diverse.

Corretto: Per la moltiplicazione: moltiplicare in croce. ab×cd=acbd\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Visuale interattivo

Albero dei fattori

Numero:
Composto
Primo

Inserisci un numero per vedere il suo albero dei fattori e la scomposizione in fattori primi.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Quanto fa 23×57\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}?

Perché è importante

Moltiplicare espressioni razionali è essenziale in algebra e oltre:
  • Risolvere equazioni: Molte equazioni algebriche richiedono la moltiplicazione di frazioni per isolare le variabili
  • Formule di fisica: Combinare tassi, come velocità e tempo, spesso comporta la moltiplicazione di espressioni
  • Ingegneria: Calcolare effetti combinati in circuiti o sistemi meccanici
  • Economia: Calcolare tassi di crescita composti e probabilità combinate
Padroneggiare questa abilità rende l'algebra avanzata, il calcolo e la risoluzione di problemi del mondo reale molto più gestibili!

Applicazioni nel mondo reale

Tassi combinati in fisica

Quando si calcolano effetti composti come resistenza o cambiamenti di velocità, moltiplicare espressioni razionali modella come le quantità si combinano.

Esempio:

Se un'auto viaggia a dt1\frac{d}{t_1} km/h per la prima tratta e la sua velocità cambia di un fattore t1t2\frac{t_1}{t_2}, il tasso effettivo è dt1×t1t2=dt2\frac{d}{t_1} \times \frac{t_1}{t_2} = \frac{d}{t_2} km/h.

1Provaci tu stesso

Una fabbrica produce 100h\frac{100}{h} unità all'ora, dove hh è il numero di lavoratori. Se l'efficienza aumenta di un fattore hh−2\frac{h}{h-2}, qual è il nuovo tasso di produzione?

Moltiplica le espressioni e semplifica.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: 100h×hh−2\frac{100}{h} \times \frac{h}{h-2}

Calcoli di probabilità

Trovare la probabilità di eventi indipendenti combinati richiede la moltiplicazione di espressioni razionali.

Esempio:

Se la probabilità dell'evento A è xx+5\frac{x}{x+5} e l'evento B è x+52x\frac{x+5}{2x}, allora P(A e B)=xx+5×x+52x=12P(A \text{ e } B) = \frac{x}{x+5} \times \frac{x+5}{2x} = \frac{1}{2}.

2Provaci tu stesso

Un gioco ha due fasi indipendenti. La probabilità di superare la fase 1 è 3n+1\frac{3}{n+1} e la fase 2 è n+16\frac{n+1}{6}.

Qual è la probabilità di superare entrambe le fasi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: 3n+1×n+16\frac{3}{n+1} \times \frac{n+1}{6}

Punti chiave

  • 1Per moltiplicare espressioni razionali: moltiplicare i numeratori insieme e i denominatori insieme
  • 2Fattorizzare sempre completamente PRIMA di moltiplicare per identificare i fattori comuni
  • 3Cancellare i fattori comuni tra qualsiasi numeratore e qualsiasi denominatore
  • 4Indicare tutte le restrizioni del dominio dalle espressioni originali
  • 5Il prodotto di espressioni razionali è anche un'espressione razionale

Domande frequenti

Sì! Anzi, è consigliato. Puoi cancellare qualsiasi fattore in qualsiasi numeratore con lo stesso fattore in qualsiasi denominatore prima di moltiplicare. Questo mantiene i numeri più piccoli e più facili da gestire.
Sì! Anzi, è consigliato. Puoi cancellare qualsiasi fattore in qualsiasi numeratore con lo stesso fattore in qualsiasi denominatore prima di moltiplicare. Questo mantiene i numeri più piccoli e più facili da gestire.
Moltiplica semplicemente i numeratori e i denominatori così come sono. Non tutte le moltiplicazioni hanno fattori comuni da cancellare.
No! A differenza dell'addizione e sottrazione di frazioni, la moltiplicazione non richiede un denominatore comune. Moltiplica semplicemente in croce.

Glossario

Espressione razionale
Una frazione dove il numeratore e/o il denominatore sono polinomi
Fattore
Un numero o un'espressione che divide uniformemente un altro
Restrizione del dominio
Valori della variabile che rendono l'espressione indefinita (denominatore uguale a zero)
Cancellare
Dividere i fattori comuni dal numeratore e dal denominatore

Scheda formule

Moltiplicazione di espressioni razionali

AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}

Moltiplicare i numeratori insieme e i denominatori insieme, poi semplificare

Processo semplificato

Fattorizzare →\rightarrow Cancellare →\rightarrow Moltiplicare

Fattorizzare tutte le parti, cancellare i fattori comuni, poi moltiplicare i termini rimanenti

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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