Guida per l'insegnante: Frazioni improprie

Impara che cosa sono le frazioni improprie, in che cosa si differenziano dalle frazioni proprie e perché sono uguali o maggiori di 1.

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10 domande su Fondamenti delle Frazioni. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Definire una frazione impropria come una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore
Classificare le frazioni in proprie e improprie confrontando numeratore e denominatore
Stabilire se una frazione è minore di 1, uguale a 1 o maggiore di 1
Collocare le frazioni improprie sulla retta numerica oltre l'1
Riconoscere le frazioni improprie che sono numeri interi, come $\frac{6}{3} = 2$

Prerequisiti

• Cosa sono le frazioni: numeratore, denominatore e parti uguali
• Frazioni equivalenti: lo stesso valore scritto in modi diversi
• Tabelline e divisioni di base

Spunti di discussione

1. Si possono mangiare più fette di quante ne abbia una pizza? Come lo scriveresti con una frazione?
2. Perché $\frac{5}{5}$ è uguale a 1? Riesci a trovare altre tre frazioni uguali a 1?
3. $\frac{100}{99}$ è maggiore o minore di 1? Come lo sai senza fare calcoli?
4. Perché qualcuno potrebbe scrivere $\frac{7}{4}$ invece di dire uno e tre quarti?

Idee sbagliate comuni

Una frazione è sempre minore di 1

Rimedio: Contate ad alta voce le frazioni unitarie oltre un intero: un quarto, due quarti, tre quarti, quattro quarti, cinque quarti. Mostrate che i salti continuano su una retta numerica da 0 a 3.

Una frazione con numeratore uguale al denominatore è propria

Rimedio: Colorate tutte le parti di una striscia delle frazioni: $\frac{4}{4}$ riempie l'intera striscia. Le frazioni proprie non riempiono mai tutta la striscia, quindi $\frac{4}{4}$ va con le frazioni improprie.

Un numeratore più grande significa sempre una frazione più grande

Rimedio: Confrontate $\frac{9}{8}$ e $\frac{5}{4}$ sulla retta numerica: $\frac{9}{8}$ è solo un ottavo dopo l'1, mentre $\frac{5}{4}$ è un quarto dopo l'1. Guardate sempre numeratore e denominatore insieme.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Usare strisce delle frazioni o pizze di carta perché gli alunni costruiscano da soli più di un intero
• Lavorare all'inizio solo con mezzi e quarti
• Esercitarsi a contare ad alta voce oltre un intero: quattro quarti, cinque quarti, sei quarti

Per studenti a livello:

• Classificare gruppi misti di frazioni proprie e improprie
• Collocare frazioni improprie con denominatori 2, 3 e 4 su una retta numerica da 0 a 3
• Trovare frazioni improprie che sono numeri interi

Per studenti avanzati:

• Confrontare frazioni improprie con denominatori diversi, come $\frac{9}{4}$ e $\frac{7}{3}$
• Trovare tutte le frazioni con denominatore 5 comprese tra 2 e 3
• Anticipare i numeri misti scomponendo le frazioni improprie in interi e un resto

Allineamento agli standard

3.NF.A.2.B (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.2.B)
Rappresentare una frazione a/b sulla retta numerica riportando a segmenti di lunghezza 1/b a partire da 0
3.NF.A.3.C (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.3.C)
Esprimere i numeri interi come frazioni e riconoscere le frazioni equivalenti a numeri interi
4.NF.B.3.B (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.B.3.B)
Scomporre una frazione in una somma di frazioni con lo stesso denominatore in più di un modo

Risorse della lezione

visualRetta numerica delle frazioni da 0 a 3
Gli alunni contano salti di un quarto oltre l'1 e il 2 e scrivono le frazioni improprie
activityContare le fette di pizza
I gruppi uniscono fette di pizza di carta prese da più pizze e indicano il totale con una frazione impropria
worksheetMinore di 1, uguale a 1 o maggiore di 1?
Ordinare le frazioni in tre colonne e segnare ciascuna su una retta numerica

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una frazione impropria è una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore. Esempi:

\frac{5}{4}

\frac{7}{3}

\frac{6}{6}

Una frazione propria ha il numeratore minore del denominatore, come

\frac{3}{4}

. Una frazione propria è sempre minore di 1.

Per distinguerle, confronta il numeratore con il denominatore:

Numeratore minore del denominatore: propria, minore di 1 ( $\frac{3}{4} < 1$ )
Numeratore uguale al denominatore: impropria, esattamente 1 ( $\frac{4}{4} = 1$ )
Numeratore maggiore del denominatore: impropria, più di 1 ( $\frac{7}{4} > 1$ )

Pensa a

\frac{7}{4}

come a sette quarti. Quattro quarti formano un intero e avanzano tre quarti:

\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4}

Quando il numeratore è un multiplo del denominatore, la frazione impropria è un numero intero:

\frac{6}{3} = 6 \div 3 = 2

. A scuola queste frazioni si chiamano anche frazioni apparenti.

Esempi svolti

Classifica queste frazioni: $\frac{3}{5}$ , $\frac{8}{5}$ e $\frac{5}{5}$ . Quali sono proprie e quali improprie?

Guarda $\frac{3}{5}$

Numeratore $3$ , denominatore $5$ : $3 < 5$ → Propria, minore di 1

Guarda $\frac{8}{5}$

Numeratore $8$ , denominatore $5$ : $8 > 5$ → Impropria, più di 1

Guarda $\frac{5}{5}$

$5 = 5$ , quindi tutti e cinque i quinti insieme formano un intero → Impropria, esattamente 1

Risposta: $\frac{3}{5}$ è propria. $\frac{8}{5}$ e $\frac{5}{5}$ sono improprie, e $\frac{5}{5} = 1$ .

Errori comuni

Pensare che una frazione non possa mai essere maggiore di 1

Perché è sbagliato: Spesso le frazioni vengono presentate come parti di un solo intero, quindi sembra impossibile avere più parti di quante ne abbia l'intero. Ma una frazione conta parti uguali, e si possono contare più parti di quante ne stiano in un intero.

Corretto: $\frac{7}{4}$ significa sette quarti: un intero (quattro quarti) più altri tre quarti, quindi $\frac{7}{4} > 1$ .

Dire che $\frac{4}{4}$ è una frazione propria

Perché è sbagliato: Sembra una frazione qualsiasi, ma una frazione propria deve essere minore di 1, e $\frac{4}{4}$ è esattamente 1.

Corretto: Quando il numeratore è uguale al denominatore, la frazione è impropria e vale 1: $\frac{4}{4} = \frac{9}{9} = 1$ .

Mettere $\frac{5}{4}$ tra 0 e 1 sulla retta numerica

Perché è sbagliato: Molti alunni smettono di contare i quarti arrivati a 1. Ma dopo $\frac{4}{4}$ i salti continuano semplicemente, e $\frac{5}{4}$ è la tacca successiva.

Corretto: Continua a contare dopo l'1: $\frac{4}{4} = 1$ , quindi $\frac{5}{4}$ è un quarto a destra di 1.

Pensare che impropria voglia dire sbagliata

Perché è sbagliato: Nel linguaggio di tutti i giorni improprio fa pensare a un errore, ma in matematica è solo il nome delle frazioni che valgono 1 o più.

Corretto: $\frac{9}{4}$ è una risposta del tutto corretta. Spesso è persino la forma più utile per fare i calcoli.

Perché è importante

Le quantità maggiori di un intero sono dappertutto, e le frazioni improprie le descrivono contando parti uguali:

Cucina: sei quarti di tazza di farina sono $\frac{6}{4}$ di tazza, cioè più di una tazza
Tempo: cinque quarti d'ora sono $\frac{5}{4}$ di ora, cioè 75 minuti
Dividere il cibo: mangiare 9 fette di pizze tagliate ciascuna in 8 fette vuol dire mangiare $\frac{9}{8}$ di pizza
Sommare frazioni: $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4}$ , quindi i risultati sono spesso frazioni improprie

Le frazioni improprie sono anche la forma più comoda per fare i calcoli. Per questo le incontrerai ancora e ancora quando sommerai, moltiplicherai e dividerai le frazioni.

Applicazioni nel mondo reale

Cucinare con i misurini

Nelle ricette si misura spesso con piccoli misurini, e qualche misurino supera facilmente una tazza.

Esempio:

Tre misurini da $\frac{1}{2}$ tazza di latte sono $\frac{3}{2}$ di tazza, cioè più di 1 tazza.

1Provaci tu stesso

Il tuo unico misurino contiene $\frac{1}{4}$ di tazza. Una ricetta per i pancake richiede 6 misurini di farina.

Quante tazze di farina sono, scritte come frazione?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Conta i quarti di tazza:

Il tempo in quarti d'ora

Un quarto d'ora dura 15 minuti, per questo orari e calendari contano spesso il tempo in quarti d'ora.

Esempio:

Un film che dura 6 quarti d'ora dura $\frac{6}{4}$ di ora, cioè 90 minuti.

2Provaci tu stesso

L'allenamento di nuoto dura 5 quarti d'ora.

Che frazione di ora è, e quanti minuti sono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cinque quarti d'ora da 15 minuti ciascuno:

Bottiglie d'acqua per una squadra

Le bevande sono spesso vendute in bottiglie da mezzo litro, e poche bottiglie fanno presto diversi litri.

Esempio:

Due bottiglie da mezzo litro contengono $\frac{2}{2} = 1$ litro d'acqua.

3Provaci tu stesso

Una squadra di calcio porta 7 bottiglie, ognuna con $\frac{1}{2}$ litro d'acqua.

Quanti litri d'acqua sono, scritti come frazione?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Conta i mezzi litri:

Punti chiave

1Una frazione impropria ha il numeratore maggiore o uguale al denominatore, come $\frac{7}{4}$ o $\frac{5}{5}$
2Una frazione propria ha il numeratore minore del denominatore ed è sempre minore di 1
3Se il numeratore è uguale al denominatore, la frazione vale esattamente 1: $\frac{6}{6} = 1$
4Se il numeratore è maggiore, la frazione vale più di 1 e si trova a destra di 1 sulla retta numerica
5Se il numeratore è un multiplo del denominatore, la frazione è un numero intero: $\frac{6}{3} = 2$
6Impropria è solo un nome, non un errore. $\frac{7}{4}$ si può scrivere anche come numero misto $1\frac{3}{4}$ , che vedrai nelle prossime lezioni

Domande frequenti

$\frac{4}{4}$ è una frazione propria o impropria?

È impropria. Una frazione propria deve essere minore di 1, ma

\frac{4}{4}

è esattamente 1. Ogni frazione con il numeratore uguale al denominatore è impropria e vale 1.

Perché si chiamano improprie?

Il nome è molto antico. Una frazione propria era vista come una vera parte di un intero, e una frazione che vale un intero o più non corrispondeva a questa idea, quindi fu chiamata impropria. Non vuol dire sbagliata.

Ogni numero intero si può scrivere come frazione impropria?

Sì. Moltiplica il numero intero per un denominatore qualsiasi per ottenere il numeratore:

3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{12}{4}

Devo sempre trasformare una frazione impropria in un numero misto?

No. Entrambe le forme sono corrette. Con le frazioni improprie di solito è più facile calcolare, mentre i numeri misti come

1\frac{3}{4}

mostrano la grandezza a colpo d'occhio. Passare da una forma all'altra è l'argomento delle prossime lezioni.

Glossario

Frazione propria: Una frazione il cui numeratore è minore del denominatore, come $\frac{3}{4}$ . È sempre minore di 1.
Frazione impropria: Una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore, come $\frac{7}{4}$ o $\frac{4}{4}$ . Vale 1 o più.
Numeratore: Il numero in alto di una frazione; conta quante parti uguali ci sono
Denominatore: Il numero in basso di una frazione; dice quante parti uguali formano un intero
Numero intero: Uno dei numeri 0, 1, 2, 3 e così via. Alcune frazioni improprie sono numeri interi, come $\frac{6}{3} = 2$ : a scuola si chiamano anche frazioni apparenti.
Numero misto: Un numero intero e una frazione propria scritti insieme, come $1\frac{3}{4}$ . È un altro modo di scrivere una frazione impropria.

Scheda formule

Frazione propria

\frac{a}{b} < 1 \text{ se } a < b

Il numeratore è minore del denominatore

Uguale a uno

\frac{a}{a} = 1

Il numeratore è uguale al denominatore, quindi la frazione è impropria e vale 1

Maggiore di uno

\frac{a}{b} > 1 \text{ se } a > b

Il numeratore è maggiore del denominatore, quindi la frazione è impropria

Numero intero

\frac{a}{b} = a \div b

Se $b$ divide $a$ esattamente, la frazione è un numero intero, per esempio $\frac{12}{4} = 3$

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