La formula di Euler per i poliedri

Impara la formula di Euler V - S + F = 2, conta vertici, spigoli e facce in modo ordinato e usa la formula per trovare un numero mancante o scoprire un solido impossibile.

Avanzato25 minLezione
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Definizione

Un poliedro è un solido la cui superficie è formata solo da poligoni piani. Ogni poliedro ha tre numeri caratteristici:
  • VV = numero di vertici
  • SS = numero di spigoli (segmenti in cui si incontrano due facce)
  • FF = numero di facce (i poligoni piani)
La formula di Euler (relazione di Eulero) afferma che per ogni poliedro convesso vale:
V−S+F=2V - S + F = 2
Per un cubo: V=8V = 8, S=12S = 12, F=6F = 6, e 8−12+6=28 - 12 + 6 = 2.
Contare gli spigoli in modo ordinato: ogni spigolo appartiene esattamente a due facce. Quindi, se sommi i lati di tutte le facce, ogni spigolo viene contato due volte:
S=somma dei lati di tutte le facce2S = \frac{\text{somma dei lati di tutte le facce}}{2}
Prismi e piramidi con una base di nn lati seguono schemi semplici:
  • Prisma: V=2nV = 2n, S=3nS = 3n, F=n+2F = n + 2
  • Piramide: V=n+1V = n + 1, S=2nS = 2n, F=n+1F = n + 1
La formula vale solo per i solidi senza buchi. Un solido a forma di cornice (un solido attraversato da un buco) dà V−S+F=0V - S + F = 0 invece di 22.

Prova subito

Quale uguaglianza è la formula di Euler per un poliedro convesso?

Esempi svolti

Conta i vertici, gli spigoli e le facce di un prisma esagonale e verifica la formula di Euler.
1

Conta i vertici livello per livello

L'esagono in alto ha 66 vertici e quello in basso altri 66 → V=6+6=12V = 6 + 6 = 12
2

Conta gli spigoli a gruppi

66 spigoli in alto, 66 in basso e 66 spigoli verticali che li collegano → S=6+6+6=18S = 6 + 6 + 6 = 18
3

Conta le facce

22 basi esagonali e 66 facce laterali rettangolari → F=2+6=8F = 2 + 6 = 8
4

Verifica la formula di Euler

V−S+F=12−18+8V - S + F = 12 - 18 + 8 → 22

Errori comuni

Sommare i lati di tutte le facce e prendere quel totale come numero di spigoli

Perché è sbagliato: Ogni spigolo è la linea in cui si incontrano due facce, quindi viene contato una volta per ciascuna di esse.

Corretto: Dividi per 2 il numero totale di lati delle facce. Un cubo ha 6×4=246 \times 4 = 24 lati di facce, ma solo 24÷2=1224 \div 2 = 12 spigoli.

Confondere i segni, per esempio scrivere V+S−F=2V + S - F = 2

Perché è sbagliato: Sono gli spigoli a essere sottratti. Con i segni sbagliati un cubo dà 8+12−6=148 + 12 - 6 = 14.

Corretto: Vertici e facce si sommano, gli spigoli si sottraggono: V−S+F=2V - S + F = 2. Controlla con un cubo: 8−12+6=28 - 12 + 6 = 2.

Usare la formula per cilindri, coni, sfere o solidi con buchi

Perché è sbagliato: Le superfici curve non sono poligoni e un buco cambia il risultato (una cornice dà 00).

Corretto: Usa V−S+F=2V - S + F = 2 solo per poliedri senza buchi: facce poligonali piane, spigoli dritti, una sola superficie chiusa.

Credere che tre numeri qualsiasi con V−S+F=2V - S + F = 2 descrivano un poliedro vero

Perché è sbagliato: Ogni poliedro supera questo test, ma superarlo non basta. Per esempio anche V=4,5V = 4{,}5, S=7,5S = 7{,}5, F=5F = 5 dà 22.

Corretto: Controlla anche che i numeri siano interi e che la somma dei lati delle facce sia pari (2S2S). Cinque triangoli hanno 1515 lati, un numero dispari, quindi nessun poliedro è formato solo da cinque triangoli (un poliedro ha sempre un numero pari di facce con un numero dispari di lati).

Visuale interattivo

Conta V, S e F: prismi, piramidi e un ottaedro

Scegli un solido nella tabella, poi conta qui sotto i suoi vertici (V), spigoli (S) e facce (F). Tocca ? per scoprire un numero.

SolidoVSFV − S + F
…
…
…
…
…
…
…

Contali

Tocca il solido o Inizia a contare: ogni vertice si illumina uno dopo l'altro.

Scorri gli spigoli uno alla volta

Contali

Tocca il solido o Inizia a contare: ogni spigolo si illumina uno dopo l'altro.

Facce

8

Spigoli

18

Vertici

12

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

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Quale uguaglianza è la formula di Euler per un poliedro convesso?

Perché è importante

La formula di Euler collega tre numeri che sembrano non avere nulla in comune, e funziona per ogni poliedro convesso, qualunque sia la sua grandezza o la sua forma.
  • Controllare i conteggi: se conti VV, SS e FF e non ottieni 22, hai sbagliato a contare (oppure il solido ha un buco)
  • Trovare un numero mancante: conoscendo due dei numeri ottieni il terzo senza contare
  • Verificare progetti: ingegneri e grafici 3D la usano per controllare che una mesh chiusa non abbia fessure o buchi
  • Sport e scienza: i pannelli di un pallone da calcio classico, le forme dei cristalli e le strutture delle cupole geodetiche la rispettano tutti
È anche il tuo primo passo nella topologia, la parte della matematica che studia ciò che resta uguale quando una figura viene stirata o piegata.

Applicazioni nel mondo reale

Progettare un pallone da calcio

Il pallone da calcio classico è cucito con $12$ pentagoni e $20$ esagoni. Con i lati delle facce e la formula di Euler i progettisti sanno quante cuciture e quanti punti di cucitura ci saranno prima di tagliare il materiale.

Esempio:

Ogni cucitura unisce due pannelli, quindi il numero di cuciture è la metà del numero di lati dei pannelli.

1Provaci tu stesso

Un pallone da calcio ha 1212 pannelli pentagonali e 2020 esagonali. Le cuciture sono gli spigoli, i punti in cui si incontrano tre cuciture sono i vertici.

Quanti vertici ha il pallone?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa V=2+S−FV = 2 + S - F con il numero di cuciture SS e di pannelli FF:

Modelli 3D nei videogiochi e nell'animazione

Personaggi e oggetti dei videogiochi sono costruiti con mesh chiuse di triangoli. I programmi controllano la formula di Euler per scovare mesh con fessure, vertici doppi o buchi accidentali prima che causino errori grafici.

Esempio:

Una mesh chiusa di 44 triangoli (un tetraedro) ha 66 spigoli e 44 vertici: 4−6+4=24 - 6 + 4 = 2.

2Provaci tu stesso

Un'artista 3D costruisce un modello chiuso, senza buchi, con 500500 triangoli.

Quanti vertici dovrebbe avere il modello?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova SS dai lati dei triangoli, poi V=2+S−FV = 2 + S - F:

I cristalli dei minerali

Molti cristalli crescono a forma di poliedro. Un cristallo di quarzo attaccato a una roccia ha la forma di un prisma esagonale con una piramide esagonale all'estremità libera, e i mineralogisti descrivono le forme cristalline con conteggi come questi.

Esempio:

Una punta di quarzo ha 66 facce laterali rettangolari, 66 facce triangolari in cima e 11 faccia esagonale appoggiata sulla roccia.

3Provaci tu stesso

Un cristallo di quarzo è un prisma esagonale con sopra una piramide esagonale. Ha 1313 facce e 2424 spigoli.

Quanti vertici ha il cristallo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Ricava VV da V−S+F=2V - S + F = 2:

Punti chiave

  • 1Un poliedro è un solido con facce poligonali piane; conta i suoi vertici VV, spigoli SS e facce FF
  • 2Formula di Euler: V−S+F=2V - S + F = 2 per ogni poliedro convesso (e ogni poliedro senza buchi)
  • 3Conta con ordine a gruppi (sopra, sotto, lati) e controlla i conteggi con la formula
  • 4Ogni spigolo appartiene a due facce, quindi SS = (somma dei lati di tutte le facce) ÷2\div 2
  • 5Prisma con base di nn lati: V=2nV = 2n, S=3nS = 3n, F=n+2F = n + 2; piramide: V=n+1V = n + 1, S=2nS = 2n, F=n+1F = n + 1
  • 6Numeri che non danno 22 non possono appartenere a un poliedro convesso; un solido con un buco dà V−S+F=0V - S + F = 0

Domande frequenti

Sì, purché il solido non abbia buchi (si potrebbe gonfiare come un palloncino fino a diventare una sfera). Un blocco a forma di L, per esempio, dà comunque V−S+F=2V - S + F = 2. I solidi con buchi, come una cornice, danno un valore diverso.
Sì, purché il solido non abbia buchi (si potrebbe gonfiare come un palloncino fino a diventare una sfera). Un blocco a forma di L, per esempio, dà comunque V−S+F=2V - S + F = 2. I solidi con buchi, come una cornice, danno un valore diverso.
Immagina di togliere una faccia e di schiacciare il resto su un tavolo. Dividere le facce in triangoli e poi togliere i triangoli del bordo uno alla volta non cambia mai V−S+FV - S + F, e alla fine resta un solo triangolo (3−3+1=13 - 3 + 1 = 1). Rimettendo la faccia tolta si ottiene 1+1=21 + 1 = 2. Il numero 22 dipende dalla forma a sfera della superficie, non dal singolo solido.
No. Hanno superfici curve, quindi non sono poliedri, e le loro facce e i loro spigoli non si contano allo stesso modo. La formula di Euler riguarda i solidi formati solo da poligoni piani.
Leonhard Euler la descrisse in una lettera nel 1750 e la pubblicò negli anni successivi. René Descartes aveva annotato un risultato molto simile verso il 1630, ma i suoi appunti furono ritrovati solo molto più tardi.

Glossario

Poliedro
Un solido la cui superficie è formata solo da poligoni piani
Faccia
Uno dei poligoni piani che formano la superficie di un poliedro
Spigolo
Un segmento in cui si incontrano due facce di un poliedro
Vertice
Un punto in cui si incontrano gli spigoli (un angolo del solido); plurale: vertici
Poliedro convesso
Un poliedro senza rientranze: il segmento tra due suoi punti qualsiasi resta al suo interno
Formula di Euler
La regola V−S+F=2V - S + F = 2 per ogni poliedro convesso

Scheda formule

Formula di Euler

V−S+F=2V - S + F = 2

$V$ = vertici, $S$ = spigoli, $F$ = facce di un poliedro convesso

Spigoli dalle facce

S=somma dei lati delle facce2S = \frac{\text{somma dei lati delle facce}}{2}

Ogni spigolo è condiviso esattamente da due facce

Prisma con base di n lati

V=2n,  S=3n,  F=n+2V = 2n,\; S = 3n,\; F = n + 2

$n$ = numero di lati della base

Piramide con base di n lati

V=n+1,  S=2n,  F=n+1V = n + 1,\; S = 2n,\; F = n + 1

$n$ = numero di lati della base

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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