Il dado a dieci facce (d10) è un solido platonico?

No. Le sue facce sono aquiloni, non poligoni regolari, e in alcuni vertici si incontrano 3 facce mentre nelle due punte se ne incontrano 5. È comunque equo, perché tutte le sue facce sono uguali e disposte allo stesso modo.

Qual è il duale del tetraedro?

Il tetraedro stesso. Ha $V = 4$ e $F = 4$, quindi scambiando vertici e facce si ottiene di nuovo un tetraedro (capovolto).

Esistono solidi regolari in più dimensioni?

Sì. In quattro dimensioni esistono sei figure regolari (chiamate politopi), e in cinque o più dimensioni ne restano solo tre. Il nostro mondo in 3D ne ha cinque.

Risorse per insegnanti

Solidi platonici

Scopri i cinque solidi platonici, conta le loro facce, i loro spigoli e i loro vertici e capisci perché non può mai esisterne un sesto.

Avanzato30 minLezione

Condividi in Classroom

Scheda da stampare

Definizione

Un solido platonico (o poliedro regolare) è un solido che rispetta tre condizioni:

1.Ogni faccia è lo stesso poligono regolare (tutti i lati e tutti gli angoli uguali).
2.In ogni vertice si incontra lo stesso numero di facce.
3.È convesso: niente rientranze, ogni vertice punta verso l'esterno.

Ce ne sono esattamente cinque:

Tetraedro: 4 triangoli equilateri, 3 in ogni vertice. $V = 4$ , $S = 6$ , $F = 4$
Cubo (esaedro): 6 quadrati, 3 in ogni vertice. $V = 8$ , $S = 12$ , $F = 6$
Ottaedro: 8 triangoli equilateri, 4 in ogni vertice. $V = 6$ , $S = 12$ , $F = 8$
Dodecaedro: 12 pentagoni regolari, 3 in ogni vertice. $V = 20$ , $S = 30$ , $F = 12$
Icosaedro: 20 triangoli equilateri, 5 in ogni vertice. $V = 12$ , $S = 30$ , $F = 20$

Tutti e cinque rispettano la formula di Euler

V - S + F = 2

(in inglese si scrive

V - E + F = 2

). Ne esistono solo cinque a causa della somma degli angoli in un vertice: gli angoli delle facce che si incontrano in un vertice devono sommare a meno di

360°

, altrimenti non c'è vertice: con esattamente

360°

le facce restano piatte e con più di

360°

non stanno intorno al punto.

\text{(facce in un vertice)} \times \text{(un angolo della faccia)} < 360°

Prova subito

Quale di questi solidi NON è un solido platonico?

Esempi svolti

Un ottaedro ha 8 facce, ognuna un triangolo equilatero, e in ogni vertice si incontrano 4 facce. Trova il numero di spigoli e di vertici.

Conta tutti i lati dei triangoli

8 \text{ facce} \times 3 \text{ lati} = 24

→ 24 lati in tutto

Ogni spigolo è condiviso da 2 facce

S = 24 \div 2

→

S = 12

Conta tutti gli angoli dei triangoli: ogni vertice ne raccoglie 4

8 \times 3 = 24

angoli,

V = 24 \div 4

→

V = 6

Verifica con la formula di Euler

V - S + F = 6 - 12 + 8

→

2

, corretto

Risposta: L'ottaedro ha $12$ spigoli e $6$ vertici.

Errori comuni

Chiamare solido platonico qualsiasi solido con facce uguali

Perché è sbagliato: La bipiramide triangolare (due tetraedri incollati) ha 6 triangoli equilateri uguali, ma in due vertici si incontrano 3 facce e negli altri tre se ne incontrano 4.

Corretto: Controlla entrambe le condizioni: lo stesso poligono regolare per ogni faccia E lo stesso numero di facce in ogni vertice.

Contare gli spigoli del cubo come $6 \times 4 = 24$

Perché è sbagliato: Ogni spigolo appartiene a due facce, quindi contando i lati di tutte le facce conti ogni spigolo due volte.

Corretto: Dividi per 2: $S = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ . In generale $S = \frac{F \times n}{2}$ , dove $n$ è il numero di lati di una faccia.

Pensare che 6 triangoli o 4 quadrati in un vertice formino un nuovo solido

Perché è sbagliato: $6 \times 60° = 360°$ e $4 \times 90° = 360°$ : le facce riempiono l'intero giro intorno al punto e restano piatte, come piastrelle.

Corretto: La somma degli angoli in un vertice deve essere strettamente minore di $360°$ .

Pensare che ogni dado da gioco sia un solido platonico

Perché è sbagliato: Il dado a dieci facce (d10) ha facce a forma di aquilone, che non sono poligoni regolari, e i suoi vertici non sono tutti uguali.

Corretto: Solo d4, d6, d8, d12 e d20 sono solidi platonici. Il d10 è comunque equo, perché tutte le sue facce hanno la stessa forma e la stessa posizione.

Visuale interattivo

I cinque solidi platonici: tocca per contare le facce

Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Lunghezza dello spigolo (4)

Contali

Tocca il solido o Inizia a contare: ogni faccia si illumina una dopo l'altra.

Facce

Spigoli

Vertici

Forma delle facce

Triangolo equilatero

Facce in ogni vertice

Volume

V = (√2/12)a³

7,54 unità³

Area di superficie

SA = √3a²

27,71 unità²

Sviluppi piani dei cinque solidi platonici

Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Lunghezza dello spigolo (4)

Sviluppo piano

8 facce uguali

Facce

Spigoli

Vertici

Forma delle facce

Triangolo equilatero

Facce in ogni vertice

Volume

V = (√2/3)a³

30,17 unità³

Area di superficie

SA = 2√3a²

55,43 unità²

Visualizzatore 3D

Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Lunghezza dello spigolo (3)

Facce

Spigoli

Vertici

Forma delle facce

Triangolo equilatero

Facce in ogni vertice

Formula di Euler: V − S + F = 4 − 6 + 4 = 2

Volume

V = (√2/12)a³

V = √2/12 · 3³ ≈ 3,18

3,18 cm³

Area di superficie

SA = √3a²

SA = √3 · 3² ≈ 15,59

15,59 cm²

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale di questi solidi NON è un solido platonico?

Perché è importante

I solidi platonici affascinano l'umanità da più di 2000 anni, e li incontri ancora ovunque:

Giochi: i dadi d4, d6, d8, d12 e d20 sono esattamente i cinque solidi platonici. Poiché ogni faccia è uguale e disposta allo stesso modo, ogni numero ha la stessa probabilità.
Biologia: molti virus (come il virus dell'herpes e l'adenovirus) costruiscono il loro involucro di proteine a forma di icosaedro, perché 20 triangoli uguali formano un involucro robusto e chiuso a partire da molte copie dello stesso piccolo pezzo.
Chimica e cristalli: una molecola di metano ha la forma di un tetraedro, il sale da cucina e la pirite crescono come cubi, la fluorite e il diamante spesso come ottaedri.
Architettura: le cupole geodetiche partono da un icosaedro le cui facce vengono divise in triangoli più piccoli.
Storia: Platone collegò quattro solidi al fuoco, alla terra, all'aria e all'acqua e il dodecaedro all'intero universo. Euclide dimostrò che sono solo cinque, e Giovanni Keplero (1596) cercò di spiegare le orbite dei pianeti inserendo i solidi uno dentro l'altro.

La dimostrazione che sono solo cinque è uno dei ragionamenti più antichi e più belli della matematica, e puoi seguirla usando soltanto gli angoli.

Applicazioni nel mondo reale

Dadi equi per i giochi da tavolo

I giochi di ruolo usano tutti e cinque i solidi platonici come dadi. Poiché ogni faccia è lo stesso poligono regolare e ogni vertice è uguale, nessuna faccia esce più spesso delle altre.

Esempio:

Su un d20 (icosaedro) ogni numero ha probabilità $\frac{1}{20} = 0{,}05$ , quindi ottenere 15 o più (da 15 a 20, sei numeri) ha probabilità $\frac{6}{20} = 0{,}3$ .

1Provaci tu stesso

Lanci un dado equo a 12 facce (un dodecaedro) numerato da 1 a 12.

Qual è la probabilità di ottenere un numero maggiore di 9?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Casi favorevoli diviso casi possibili:

Gli involucri dei virus

Molti virus racchiudono i loro geni in un involucro (capside) a forma di icosaedro. La natura lo usa perché 20 triangoli uguali si chiudono in un involucro robusto fatto di molte copie della stessa piccola proteina.

Esempio:

Un capside icosaedrico ha 12 vertici in cui si incontrano 5 triangoli. Gli scienziati descrivono la struttura con questi 12 punti di simmetria di ordine cinque.

2Provaci tu stesso

Un museo della scienza costruisce un modello gigante del capside di un virus con 20 pannelli triangolari uniti da aste metalliche lungo gli spigoli.

Quante aste (spigoli) servono per il modello?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Conta tutti i lati dei pannelli, poi ricorda che ogni asta è condivisa:

Lampade di carta e modellini

I designer piegano lampade, scatole regalo e decorazioni partendo dagli sviluppi piani dei solidi platonici. L'area totale dice loro quanta carta o materiale serve.

Esempio:

Una lampada a cubo con spigoli di 20 cm richiede $6 \times 20^2 = 2400$ cm² di carta (più le linguette per incollare).

3Provaci tu stesso

Pieghi una lampada di carta a forma di ottaedro. Ogni spigolo è lungo 10 cm.

Quanta carta coprono le 8 facce? Arrotonda a una cifra decimale.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $A_t = 2\sqrt{3}\,a^2$ :

Punti chiave

1Un solido platonico ha facce che sono poligoni regolari uguali, lo stesso numero di facce in ogni vertice e nessuna rientranza (convesso)
2Ce ne sono esattamente cinque: tetraedro (4 triangoli), cubo (6 quadrati), ottaedro (8 triangoli), dodecaedro (12 pentagoni), icosaedro (20 triangoli)
3Ne esistono solo cinque perché gli angoli delle facce in un vertice devono sommare a meno di $360°$ : 3, 4 o 5 triangoli, 3 quadrati o 3 pentagoni
4Spigoli e vertici si ricavano dalle facce: $S = \frac{F \times n}{2}$ e $V = \frac{F \times n}{k}$ ( $n$ lati per faccia, $k$ facce per vertice), e $V - S + F = 2$
5I duali scambiano $V$ e $F$ : cubo e ottaedro, dodecaedro e icosaedro; il tetraedro è duale di sé stesso
6Area totale con spigolo $a$ : tetraedro $\sqrt{3}a^2$ , cubo $6a^2$ , ottaedro $2\sqrt{3}a^2$ , icosaedro $5\sqrt{3}a^2$

Domande frequenti

Il filosofo greco Platone li descrisse intorno al 360 a.C. nel dialogo Timeo. Collegò il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l'ottaedro all'aria, l'icosaedro all'acqua e il dodecaedro all'universo. Erano già noti prima di lui, e più tardi Euclide dimostrò che sono esattamente cinque.

Glossario

Solido platonico (poliedro regolare): Un poliedro convesso le cui facce sono poligoni regolari uguali, con lo stesso numero di facce in ogni vertice
Poligono regolare: Un poligono con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali, come un triangolo equilatero, un quadrato o un pentagono regolare
Convesso: Senza rientranze: il segmento tra due punti qualsiasi del solido resta dentro il solido
Somma degli angoli in un vertice: La somma degli angoli delle facce che si incontrano in un vertice; in un solido deve essere minore di $360°$
Solido duale: Il solido che si ottiene mettendo un vertice al centro di ogni faccia; vertici e facce si scambiano
Sviluppo piano: Un disegno piatto di tutte le facce che, piegato, forma il solido

Scheda formule

Condizione in un vertice

k \times \alpha < 360°

$k$ = facce in un vertice, $\alpha$ = un angolo della faccia

Spigoli dalle facce

S = \frac{F \times n}{2}

$n$ = lati di una faccia; ogni spigolo è condiviso da 2 facce

Vertici dalle facce

V = \frac{F \times n}{k}

$k$ = facce che si incontrano in ogni vertice

Formula di Euler

V - S + F = 2

Vale per tutti e cinque i solidi platonici

Aree totali (spigolo $a$)

\sqrt{3}a^2,\ 6a^2,\ 2\sqrt{3}a^2,\ 5\sqrt{3}a^2

Tetraedro, cubo, ottaedro, icosaedro

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

Altro su questo argomento

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Visuale interattivo

I cinque solidi platonici: tocca per contare le facce

Sviluppi piani dei cinque solidi platonici

Visualizzatore 3D

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Dadi equi per i giochi da tavolo

Gli involucri dei virus

Lampade di carta e modellini

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Condizione in un vertice

Spigoli dalle facce

Vertici dalle facce

Formula di Euler

Aree totali (spigolo $a$)

Altro su questo argomento

Introduzione ai solidi 3D

Prismi

La formula di Euler per i poliedri