Solidi platonici

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale di questi solidi NON è un solido platonico?
1. a)Piramide a base quadrata
2. b)Icosaedro
3. c)Cubo
4. d)Ottaedro
Risposta: Piramide a base quadrata
Una piramide a base quadrata ha una faccia quadrata e quattro facce triangolari. Le facce non sono tutte lo stesso poligono, quindi non è un solido platonico.
2.
Quante facce ha un icosaedro?
Risposta: 20
Un icosaedro ha $20$ facce, tutte triangoli equilateri, e in ogni vertice se ne incontrano 5.
3.
Trova il numero di spigoli di un cubo contando i lati delle sue facce.
Risposta: 12
1. Quante facce ha un cubo? 6
2. Quanti lati ha ogni faccia (un quadrato)? 4
3. Quanti lati di facce sono in tutto? 24
4. Ogni spigolo è condiviso da 2 facce. Quanti spigoli ci sono? 12
4.
Che forma hanno le facce di un dodecaedro?
1. a)Triangoli equilateri
2. b)Pentagoni regolari
3. c)Esagoni regolari
4. d)Quadrati
Risposta: Pentagoni regolari
Un dodecaedro ha 12 pentagoni regolari, 3 in ogni vertice. Gli esagoni sono impossibili, perché $3 \times 120° = 360°$ resta piatto.
5.
Un tetraedro ha 4 facce, ognuna un triangolo equilatero. Quanti spigoli ha?
Risposta: 6
$4 \times 3 = 12$ lati di triangoli, e ogni spigolo è condiviso da due facce: $12 \div 2 = 6$ spigoli.
6.
Qual è il numero massimo di quadrati che possono incontrarsi in un vertice di un solido?
Risposta: 3
1. Quanti gradi misura un angolo di un quadrato? 90
2. Qual è la somma degli angoli di 3 quadrati in un vertice? 270
3. Qual è la somma degli angoli di 4 quadrati in un vertice? 360
4. La somma deve essere minore di 360°. Qual è il numero massimo di quadrati? 3
7.
Lanci un dado equo a 8 facce (un ottaedro) numerato da 1 a 8. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari?
Risposta: 1/2
1. Quante facce (casi possibili) ha il dado? 8
2. Quanti numeri da 1 a 8 sono pari? 4
3. Qual è la probabilità come frazione ridotta ai minimi termini? 1/2
8.
Perché 6 triangoli equilateri non possono mai incontrarsi in un vertice di un solido platonico?
1. a)Il solido avrebbe troppi spigoli
2. b)I triangoli sarebbero troppo piccoli
3. c)La formula di Euler non permette 6 facce
4. d)I loro angoli sommano a 360°, quindi restano piatti
Risposta: I loro angoli sommano a 360°, quindi restano piatti
$6 \times 60° = 360°$ , un giro completo. I sei triangoli riempiono il piano intorno al punto (come un esagono), quindi non c'è nessun vertice che sporge.
9.
In ogni vertice di un dodecaedro si incontrano 3 pentagoni regolari. Ogni angolo di un pentagono regolare misura $108°$ . Qual è la somma degli angoli in un vertice, in gradi?
Risposta: 324
$3 \times 108° = 324°$ , che è meno di $360°$ , quindi i pentagoni formano un vero vertice. Con 4 pentagoni sarebbero $432°$ , troppo.
10.
Dimostra che in un vertice di un solido possono incontrarsi al massimo 3 pentagoni regolari.
Risposta: 3
1. Qual è la somma degli angoli interni di un pentagono, $(5 - 2) \times 180$ ? 540
2. Quanti gradi misura un angolo di un pentagono regolare? 108
3. Qual è la somma degli angoli di 3 pentagoni in un vertice? 324
4. Qual è la somma degli angoli di 4 pentagoni in un vertice? 432
5. La somma deve essere minore di 360°. Qual è il numero massimo di pentagoni? 3
11.
Quale coppia di solidi platonici è duale (vertici e facce si scambiano)?
1. a)Ottaedro e icosaedro
2. b)Tetraedro e cubo
3. c)Cubo e ottaedro
4. d)Dodecaedro e cubo
Risposta: Cubo e ottaedro
Il cubo ha 8 vertici, 12 spigoli, 6 facce; l'ottaedro ha 6 vertici, 12 spigoli, 8 facce. Vertici e facce si scambiano e gli spigoli restano uguali, quindi sono duali.
12.
L'area totale di un ottaedro è $2\sqrt{3}\,a^2$ . Con spigolo $a = 5$ cm l'area è $k\sqrt{3}$ cm². Quanto vale $k$ ?
Risposta: 50
$2\sqrt{3} \times 25 = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ cm², quindi $k = 50$ . Verifica: 8 triangoli da $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25$ ciascuno.
13.
Trova l'area totale di un tetraedro con spigolo $a = 6$ cm. Arrotonda a una cifra decimale.
Risposta: 62.4
1. Quanto vale $a^2$ ? 36
2. Una faccia ha area $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = k\sqrt{3}$ . Quanto vale $k$ ? 9
3. Le 4 facce insieme hanno area $m\sqrt{3}$ . Quanto vale $m$ ? 36
4. Scrivi $36\sqrt{3}$ come numero decimale, arrotondato a una cifra decimale. 62.4
14.
Un icosaedro ha 20 facce triangolari, e in ogni vertice si incontrano 5 facce. Trova il numero di spigoli e il numero di vertici.
Risposta: 30, 12
1. Quanti lati di triangolo ci sono in tutto? 60
2. Ogni spigolo è condiviso da 2 facce. Quanti spigoli? 30
3. Ci sono anche 60 angoli di triangolo, e ogni vertice ne raccoglie 5. Quanti vertici? 12
4. Verifica: vertici - spigoli + facce = ? 2
15.
Incolla due tetraedri regolari lungo una faccia. Il nuovo solido ha come facce 6 triangoli equilateri uguali. È un solido platonico?
1. a)Sì, perché tutte le facce sono triangoli equilateri uguali
2. b)No, perché i triangoli non possono formare un solido chiuso
3. c)Sì, è l'ottaedro
4. d)No, perché in alcuni vertici si incontrano 3 facce e in altri 4
Risposta: No, perché in alcuni vertici si incontrano 3 facce e in altri 4
Questa bipiramide triangolare ha 5 vertici: in ciascuna delle due punte si incontrano 3 facce, in ciascuno dei tre vertici centrali 4. La seconda condizione non vale, quindi non è platonico (l'ottaedro ha 8 facce, non 6).
16.
Metti un punto al centro di ogni faccia di un icosaedro e unisci i punti delle facce vicine per ottenere il suo duale. Quanti vertici ha il duale?
Risposta: 20
L'icosaedro ha 20 facce, quindi il duale ha $20$ vertici. Ha anche 12 facce (una per ogni vertice dell'icosaedro) e 30 spigoli: è il dodecaedro.
17.
Il dodecaedro ha 20 vertici, 30 spigoli e 12 facce. Trova il numero di facce, vertici e spigoli del suo duale e verifica la formula di Euler.
Risposta: 20, 12, 30
1. Ogni vertice del dodecaedro diventa una faccia del duale. Quante facce ha il duale? 20
2. Ogni faccia del dodecaedro diventa un vertice del duale. Quanti vertici? 12
3. Quanti spigoli ha il duale? 30
4. Verifica per il duale: vertici - spigoli + facce = ? 2
18.
Il difetto angolare in un vertice è $360°$ meno la somma degli angoli in quel vertice. Trova il difetto angolare totale del cubo e dell'icosaedro.
Risposta: 720
1. In un vertice del cubo si incontrano 3 quadrati. Qual è il difetto, $360 - 3 \times 90$ ? 90
2. Il cubo ha 8 vertici. Qual è il difetto totale? 720
3. In un vertice dell'icosaedro si incontrano 5 triangoli. Qual è il difetto, $360 - 5 \times 60$ ? 60
4. L'icosaedro ha 12 vertici. Qual è il difetto totale? 720