Congruenza LAL

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Nel $\triangle ABC$ , quale angolo è compreso tra i lati $AB$ e $BC$ ?
1. a)Nessuno
2. b) $\angle A$
3. c) $\angle C$
4. d) $\angle B$
Risposta: $\angle B$
$AB$ e $BC$ si incontrano in $B$ , quindi l'angolo compreso è $\angle B$ .
2.
Quali informazioni dimostrano $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LAL?
1. a) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $CA = FD$
2. b) $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
3. c) $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $AB = DE$
4. d) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle A = \angle D$
Risposta: $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
$AB$ e $BC$ si incontrano in $B$ , $DE$ ed $EF$ in $E$ , quindi $\angle B = \angle E$ è l'angolo compreso. La seconda scelta è LLA, la terza ALA e la quarta LLL.
3.
$\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ hanno $AB = DE = 5$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ e $BC = EF = 12$ cm. Nel $\triangle ABC$ , $AC = 13$ cm. Quanto misura $DF$ , in cm?
Risposta: 13
Gli angoli retti sono compresi tra i lati uguali, quindi $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LAL. $DF$ corrisponde ad $AC$ , quindi $DF = 13$ cm.
4.
I segmenti $AE$ e $BD$ si incontrano in $C$ . $\angle ACB = 48°$ . Quanto misura $\angle DCE$ , in gradi?
Risposta: 48
$\angle ACB$ e $\angle DCE$ sono opposti al vertice, quindi uguali: $\angle DCE = 48°$ . È l'angolo nascosto che usano le dimostrazioni LAL con segmenti che si incrociano.
5.
Due triangoli hanno due coppie di lati uguali e una coppia di angoli uguali, ma l'angolo non è compreso tra i lati uguali. Che cosa puoi concludere?
1. a)Congruenti per ALA
2. b)Niente di certo: è LLA
3. c)Congruenti per LAL
4. d)Congruenti per LLL
Risposta: Niente di certo: è LLA
È LLA, che non è un criterio di congruenza: gli stessi dati possono dare due triangoli diversi. Non c'è nulla di certo.
6.
Nei triangoli $\triangle PQR$ e $\triangle XYZ$ : $PQ = XY$ , $\angle Q = \angle Y$ e $\angle R = \angle Z$ . Quale criterio dimostra $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ ?
1. a)LLL
2. b)ALA
3. c)AAL
4. d)LAL
Risposta: AAL
Il lato tra $\angle Q$ e $\angle R$ sarebbe $QR$ , ma il lato noto è $PQ$ . Due angoli e un lato non compreso: AAL.
7.
Nei triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ : $AB = DE$ , $AC = DF$ e $\angle A = \angle D$ . Quale affermazione è corretta?
1. a) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LAL
2. b) $\triangle ABC \cong \triangle EDF$ per LAL
3. c) $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ per LAL
4. d)Informazioni insufficienti: è LLA
Risposta: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LAL
$AB$ e $AC$ si incontrano in $A$ , quindi $\angle A$ è compreso: è LAL, non LLA. Con $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ (da $AB = DE$ ) e $C \leftrightarrow F$ si ottiene $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .
8.
Nel quadrilatero $ABCD$ , $AB = CB$ e $\angle ABD = \angle CBD$ . Se $\angle BAD = 95°$ , quanto misura $\angle BCD$ , in gradi?
Risposta: 95
$AB = CB$ , $\angle ABD = \angle CBD$ e il lato in comune $BD$ danno $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ per LAL. $\angle BCD$ corrisponde a $\angle BAD$ , quindi misura $95°$ .
9.
I segmenti $AE$ e $BD$ si incontrano in $C$ , punto medio di entrambi. $AB = 3x + 1$ ed $ED = 2x + 6$ (in cm). Trova $x$ .
Risposta: 5
$AC = CE$ , $BC = CD$ e gli angoli opposti al vertice in $C$ danno $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ per LAL, quindi $AB = ED$ : $3x + 1 = 2x + 6$ , cioè $x = 5$ (entrambi i lati misurano allora 16 cm).
10.
Quanti triangoli $ABC$ diversi hanno $\angle A = 30°$ , $AB = 12$ e $BC = 8$ ?
Risposta: 2
L'altezza è $12 \div 2 = 6$ . Poiché $6 < 8 < 12$ , il lato $BC$ raggiunge la retta $AC$ in due punti: 2 triangoli. Per questo LLA non è un criterio.
11.
$\triangle ABC$ : $AB = BC = 7$ cm e $\angle B = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = EF = 7$ cm e $\angle E = 40°$ . Trova $\angle D$ .
Risposta: 70
1. In quale vertice si trova l'angolo tra i lati AB e BC? B
2. Quale criterio dimostra che i triangoli sono congruenti? LAL
3. Poiché AB = BC, gli angoli in A e in C sono uguali. Quanto misura ∠A, in gradi? 70
4. ∠D corrisponde a ∠A. Quanto misura ∠D, in gradi? 70
12.
I segmenti $AE$ e $BD$ si incontrano in $C$ , con $AC = CE = 6$ cm e $BC = CD = 4$ cm. Se $AB = 8$ cm, quanto misura $DE$ ?
Risposta: 8
1. ∠ACB e ∠ECD sono uguali? sì
2. Quale criterio dimostra △ACB ≅ △ECD? LAL
3. Quanto misura DE, in cm? 8
13.
Nel quadrilatero $ABCD$ : $AB = AD$ , $\angle BAC = \angle DAC = 32°$ e $\angle ABC = 118°$ . Trova $\angle BCD$ .
Risposta: 60
1. Quale lato hanno in comune △ABC e △ADC? AC
2. Quanto misura ∠ACB, in gradi? 30
3. △ABC ≅ △ADC per LAL. Quanto misura ∠ACD, in gradi? 30
4. Quanto misura ∠BCD, in gradi? 60
14.
$\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ hanno $AB = DE = 6$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ e $BC = EF = 8$ cm. Trova il perimetro di $\triangle DEF$ .
Risposta: 24
1. Quale criterio dimostra △ABC ≅ △DEF? LAL
2. Quanto misura AC, in cm? 10
3. Quanto misura DF, in cm? 10
4. Qual è il perimetro di △DEF, in cm? 24
15.
$\triangle PQR$ e $\triangle STU$ hanno $PQ = ST = 10$ e $\angle Q = \angle T = 55°$ . Inoltre $QR = 2y + 3$ e $TU = 15$ . Per quale valore di $y$ i triangoli sono congruenti per LAL?
Risposta: 6
1. Quale lato di △PQR deve essere uguale a TU? QR
2. Quanto deve valere QR? 15
3. Risolvi 2y + 3 = 15. Quanto vale y? 6
16.
Due triangoli diversi hanno $\angle A = 30°$ , $AB = 8$ e $BC = 5$ . Di quanto $AC$ è più lungo nel triangolo più grande che in quello più piccolo?
Risposta: 6
1. Quanto misura l'altezza di B sopra la retta AC? 4
2. Quanti triangoli diversi sono possibili? 2
3. A che distanza dal piede dell'altezza si trova ogni punto C possibile? 3
4. Di quanto l'AC più lungo supera quello più corto? 6
17.
Le diagonali $AC$ e $BD$ del quadrilatero $ABCD$ si incontrano in $M$ , punto medio di entrambe. $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 8$ cm e $BC = 5$ cm. Trova il perimetro di $ABCD$ .
Risposta: 26
1. Quanto misura CM, in cm? 4.5
2. Quale criterio dimostra △AMB ≅ △CMD? LAL
3. Quanto misura CD, in cm? 8
4. Allo stesso modo △BMC ≅ △DMA. Quanto misura AD, in cm? 5
5. Qual è il perimetro di ABCD, in cm? 26
18.
Qui sotto sono descritte quattro coppie di triangoli. Per ogni coppia decidi se i triangoli sono sicuramente congruenti, poi conta quante coppie lo sono.
Risposta: 2
1. Coppia 1: due lati e l'angolo compreso tra essi sono uguali. Sicuramente congruenti? sì
2. Coppia 2: due lati e un angolo non compreso tra essi sono uguali. Sicuramente congruenti? no
3. Coppia 3: tutti e tre gli angoli sono uguali. Sicuramente congruenti? no
4. Coppia 4: due angoli e un lato non compreso tra essi sono uguali. Sicuramente congruenti? sì
5. Quante delle quattro coppie sono sicuramente congruenti? 2