Similitudine LLL e LAL

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale triangolo è simile a un triangolo con lati $2$ , $3$ e $4$ ?
1. a)4; 6; 8
2. b)4; 5; 6
3. c)3; 4; 5
4. d)4; 6; 9
Risposta: 4; 6; 8
$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$ , quindi il triangolo con lati $4$ , $6$ , $8$ è simile per la similitudine LLL con $k = 2$ . Per $3$ , $4$ , $5$ i rapporti sono $1{,}5$ , $1{,}33$ , $1{,}25$ , per $4$ , $5$ , $6$ sono $2$ , $1{,}67$ , $1{,}5$ e per $4$ , $6$ , $9$ sono $2$ , $2$ , $2{,}25$ .
2.
$\triangle ABC$ ha i lati $5$ , $7$ , $8$ e $\triangle DEF$ ha i lati $15$ , $21$ , $24$ . I triangoli sono simili. Qual è il rapporto di similitudine $k$ da $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ ?
Risposta: 3
$\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{24}{8} = 3$ , quindi $k = 3$ .
3.
Un triangolo ha i lati $3$ , $5$ , $6$ e un altro ha i lati $9$ , $15$ , $18$ . Verifica i tre rapporti con la similitudine LLL e trova il rapporto di similitudine.
Risposta: 3
1. Quanto vale il rapporto dei lati più corti, $\frac{9}{3}$ ? 3
2. Quanto vale il rapporto dei lati medi, $\frac{15}{5}$ ? 3
3. Quanto vale il rapporto dei lati più lunghi, $\frac{18}{6}$ ? 3
4. Sono uguali tutti e tre i rapporti, così che i triangoli siano simili? Scrivi 1 per sì o 0 per no. 1
4.
Di $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ sai che $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = 2$ e $\angle A = \angle D$ . Quale criterio dimostra che i triangoli sono simili?
1. a)Similitudine LAL
2. b)Similitudine AA
3. c)Similitudine LLL
4. d)Dati insufficienti
Risposta: Similitudine LAL
Due coppie di lati hanno lo stesso rapporto $2$ , e $\angle A$ è l'angolo compreso tra $AB$ e $AC$ ( $\angle D$ tra $DE$ e $DF$ ). È la similitudine LAL. AA richiede due angoli, LLL tre lati.
5.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con rapporto di similitudine $k = 2$ da $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ . Se $AB = 6$ , quanto misura $DE$ ?
Risposta: 12
$DE = k \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ .
6.
$\triangle ABC$ ha i lati $8$ , $4$ , $6$ e $\triangle DEF$ ha i lati $9$ , $12$ , $6$ . Abbina correttamente i lati e trova il rapporto di similitudine da $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ .
Risposta: 1.5
1. Qual è il lato più corto di $\triangle ABC$ ? 4
2. Qual è il lato più corto di $\triangle DEF$ ? 6
3. Quanto vale il rapporto dei lati più corti, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
4. Controlla con i lati più lunghi: quanto vale $\frac{12}{8}$ ? 1.5
7.
Due triangoli sono simili con rapporto di similitudine $k = 3$ . Il più piccolo ha un'area di $5$ cm². Qual è l'area del più grande?
1. a)45 cm²
2. b)30 cm²
3. c)15 cm²
4. d)9 cm²
Risposta: 45 cm²
Il rapporto delle aree è $k^2 = 3^2 = 9$ , quindi l'area è $5 \cdot 9 = 45$ cm². $15$ cm² sarebbe l'errore di usare $k$ invece di $k^2$ .
8.
Due triangoli simili hanno rapporto di similitudine $k = 2{,}5$ dal più piccolo al più grande. Il più piccolo ha un perimetro di $18$ cm. Qual è il perimetro del più grande, in cm?
Risposta: 45
I perimetri crescono dello stesso fattore dei lati: $18 \cdot 2{,}5 = 45$ cm.
9.
$\triangle ABC$ : $AB = 3$ , $AC = 5$ , $\angle A = 120°$ , $BC = 7$ . $\triangle DEF$ : $DE = 9$ , $DF = 15$ , $\angle D = 120°$ . Dimostra che i triangoli sono simili e trova $EF$ .
Risposta: 21
1. Quanto vale $\frac{DE}{AB}$ ? 3
2. Quanto vale $\frac{DF}{AC}$ ? 3
3. $\angle A$ è l'angolo compreso tra $AB$ e $AC$ ? Scrivi 1 per sì o 0 per no. 1
4. I triangoli sono simili per LAL con $k = 3$ . Quanto vale $EF = 3 \cdot BC$ ? 21
10.
$\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $AC = 9$ , $\angle A = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $DF = 12$ , $\angle D = 40°$ . Che cosa puoi concludere?
1. a)Dati insufficienti
2. b)Simili per la similitudine LLL, $k = \frac{4}{3}$
3. c)Simili per la similitudine LAL, $k = \frac{4}{3}$
4. d)Non simili, i rapporti dei lati sono diversi
Risposta: Simili per la similitudine LAL, $k = \frac{4}{3}$
$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ e $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ , e gli angoli di $40°$ stanno tra questi lati. Quindi i triangoli sono simili per la similitudine LAL con $k = \frac{4}{3}$ . LLL non è possibile perché i terzi lati non sono dati.
11.
$\triangle ABC$ ha i lati $6$ , $8$ , $10$ . Un triangolo simile ha i lati $9$ , $12$ e $x$ , dove $x$ è il suo lato più lungo. Trova $x$ .
Risposta: 15
$k = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ , quindi $x = 10 \cdot 1{,}5 = 15$ .
12.
I triangoli con lati $4$ , $6$ , $9$ e $6$ , $x$ , $13{,}5$ sono simili (lati dal più corto al più lungo). Trova $x$ .
Risposta: 9
1. Quanto vale $k$ dai lati più corti, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
2. Controlla con i lati più lunghi: quanto vale $\frac{13{,}5}{9}$ ? 1.5
3. Quanto misura il lato medio $x = 6 \cdot k$ ? 9
13.
Nel $\triangle ABC$ , il punto $D$ sta su $AB$ e il punto $E$ su $AC$ . $AD = 3$ , $AB = 9$ , $AE = 4$ , $AC = 12$ e $DE = 5$ . Trova $BC$ .
Risposta: 15
1. Quanto vale $\frac{AD}{AB}$ ? Scrivilo come frazione. 1/3
2. Quanto vale $\frac{AE}{AC}$ ? Scrivilo come frazione. 1/3
3. Per LAL, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . Qual è il rapporto di similitudine da $\triangle ADE$ a $\triangle ABC$ ? 3
4. Quanto vale $BC = 3 \cdot DE$ ? 15
14.
$\triangle ABC$ : $AB = 4$ , $BC = 6$ , $\angle C = 30°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $EF = 12$ , $\angle F = 30°$ . I triangoli sono simili?
1. a)Sì, per la similitudine LAL
2. b)No, i rapporti dei lati sono diversi
3. c)Non si può decidere: l'angolo non sta tra i due lati dati
4. d)Sì, per la similitudine LLL
Risposta: Non si può decidere: l'angolo non sta tra i due lati dati
Entrambi i rapporti valgono $2$ , ma l'angolo tra $AB$ e $BC$ è $\angle B$ , non $\angle C$ . Due lati e un angolo non compreso (LLA) non fissano la forma: qui $\angle A$ potrebbe essere circa $49°$ o circa $131°$ . Quindi la similitudine LAL non si applica e non puoi decidere.
15.
$\triangle ABC$ : $AB = 8$ , $BC = 12$ , $\angle B = 55°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 6$ , $EF = x$ , $\angle E = 55°$ . Per quale valore di $x$ i triangoli sono simili per la similitudine LAL (con $AB \leftrightarrow DE$ e $BC \leftrightarrow EF$ )?
Risposta: 9
$k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = 0{,}75$ . Gli angoli compresi $B$ ed $E$ sono uguali, quindi serve $\frac{x}{12} = 0{,}75$ , cioè $x = 9$ .
16.
$\triangle ABC$ ha i lati $5$ , $12$ , $13$ e un angolo retto tra i lati $5$ e $12$ . Un triangolo simile $\triangle DEF$ ha il lato più corto lungo $15$ . Trova il perimetro e poi l'area di $\triangle DEF$ .
Risposta: 270
1. Qual è il rapporto di similitudine $k$ da $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ ? 3
2. Qual è il perimetro di $\triangle ABC$ ? 30
3. Qual è il perimetro di $\triangle DEF$ ? 90
4. Qual è l'area di $\triangle ABC$ ? (I cateti $5$ e $12$ sono base e altezza.) 30
5. Qual è l'area di $\triangle DEF$ ? 270
17.
Nel $\triangle ABC$ , il punto $D$ sta su $AB$ e il punto $E$ su $AC$ . $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ , $EC = 6$ e $DE = 12$ . Dimostra che $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ e trova $BC$ .
Risposta: 20
1. Quanto misura il lato intero $AB$ ? 10
2. Quanto misura il lato intero $AC$ ? 15
3. Quanto vale $\frac{AD}{AB}$ come numero decimale? 0.6
4. Quanto vale $\frac{AE}{AC}$ come numero decimale? 0.6
5. Stesso rapporto e angolo in comune $A$ : LAL. Quanto vale $BC = \frac{DE}{0{,}6}$ ? 20
18.
Due triangoli simili hanno aree di $20$ cm² e $45$ cm². Il lato più corto del triangolo più piccolo misura $4$ cm. Quanto misura il lato più corto del triangolo più grande, in cm?
Risposta: 6
1. Quanto vale il rapporto delle aree $\frac{45}{20}$ ? 2.25
2. Il rapporto delle aree è $k^2$ . Quanto vale $k$ ? 1.5
3. Quanto misura il lato più corto del triangolo più grande, $4 \cdot k$ ? 6