Guida per l'insegnante: Similitudine LLL e LAL

Dimostra che due triangoli sono simili con i rapporti dei lati (LLL) o con due rapporti e l'angolo compreso (LAL), poi usa il rapporto di similitudine.

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10 domande su Congruenza & Similitudine. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Enunciare i criteri di similitudine LLL e LAL e usarli per dimostrare che due triangoli sono simili
Abbinare correttamente i lati corrispondenti ordinandoli dal più corto al più lungo
Trovare il rapporto di similitudine e usarlo per calcolare lunghezze mancanti
Usare il rapporto dei perimetri $k$ e il rapporto delle aree $k^2$ di triangoli simili
Decidere se vale la similitudine AA, LLL o LAL, anche in triangoli annidati con un angolo in comune

Prerequisiti

• Introduzione alla similitudine: figure simili e rapporto di similitudine
• Similitudine AA: dimostrare che due triangoli sono simili con due coppie di angoli
• Congruenza LLL e Congruenza LAL: lati uguali e angolo compreso
• Semplificare rapporti e risolvere semplici proporzioni

Spunti di discussione

1. Perché bastano tre rapporti dei lati per dimostrare la similitudine, mentre tre angoli non dicono nulla sulla grandezza?
2. La congruenza LLL e la similitudine LLL hanno lo stesso nome. Che cosa è uguale e che cosa è diverso?
3. Se raddoppi ogni lato di un triangolo, perché la sua area non raddoppia semplicemente?
4. Riesci a disegnare due triangoli diversi con due lati di $4$ e $6$ e un angolo di $30°$ che non stia tra loro?

Idee sbagliate comuni

Abbinare i lati nell'ordine in cui compaiono nel testo

Rimedio: Fai riscrivere agli studenti i lati di entrambi i triangoli ordinati dal più corto al più lungo prima di ogni verifica LLL, e mostra l'esempio $4, 6, 8$ contro $12, 9, 6$ , dove l'ordine dato produce tre rapporti diversi.

Qualsiasi angolo più due lati proporzionali è LAL

Rimedio: Fai costruire agli studenti due triangoli diversi con gli stessi due lati e un angolo non compreso (cannucce o software di geometria). Sottolinea la parola compreso: l'angolo deve stare tra i due lati.

L'area cresce di $k$ come i lati

Rimedio: Disegna un triangolo su carta a quadretti, ingrandiscilo con $k = 2$ e conta i quadretti: l'area è $4$ volte più grande. Ripeti con $k = 3$ per arrivare a $9$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Dare le lunghezze già ordinate e con rapporti di similitudine interi
• Usare una tabella dei rapporti con tre colonne (corto, medio, lungo) per ogni verifica LLL
• Colorare l'angolo compreso e i suoi due lati negli esercizi LAL

Per studenti a livello:

• Mescolare esercizi LLL, LAL e AA e chiedere prima di nominare il criterio
• Trovare lati mancanti in triangoli annidati con un angolo in comune
• Usare il rapporto dei perimetri e il rapporto delle aree nei problemi

Per studenti avanzati:

• Trovare il rapporto di similitudine da un rapporto delle aree, per esempio $k = \sqrt{\frac{75}{12}} = 2{,}5$
• Dimostrare che una parallela a un lato di un triangolo forma un triangolo simile, prima con AA e poi con LAL
• Indagare quando LLA fissa comunque la forma (angolo opposto al lato più lungo)

Allineamento agli standard

HSG.SRT.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.A.2)
Usare la definizione di similitudine tramite trasformazioni per decidere se due figure sono simili
HSG.SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Usare i criteri di congruenza e similitudine dei triangoli per risolvere problemi e dimostrare relazioni nelle figure geometriche
7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)
Risolvere problemi con disegni in scala di figure geometriche, compreso il calcolo di lunghezze e aree reali

Risorse della lezione

visualCoppia di triangoli simili
Gli studenti cambiano il rapporto di similitudine con il cursore e passano tra AA, LLL e LAL per vedere quali elementi segna ogni criterio
activityTriangoli di cannucce
I gruppi tagliano cannucce lunghe 4, 6, 8 e 6, 9, 12 (in cm), costruiscono i due triangoli e controllano che gli angoli coincidano
worksheetQuale criterio?
Dodici coppie di triangoli con dati: gli studenti scelgono AA, LLL, LAL o dati insufficienti, poi trovano il rapporto di similitudine

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Con la similitudine AA hai dimostrato che due triangoli sono simili usando solo gli angoli. Ora lo farai con i lati. Ricorda: i triangoli simili hanno la stessa forma e i loro lati corrispondenti sono nello stesso rapporto, il rapporto di similitudine

k

Similitudine LLL (Lato-Lato-Lato): se tutte e tre le coppie di lati corrispondenti sono nello stesso rapporto, i triangoli sono simili.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Similitudine LAL (Lato-Angolo-Lato): se due coppie di lati corrispondenti sono nello stesso rapporto e l'angolo compreso (l'angolo tra quei due lati) è congruente, i triangoli sono simili.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k \text{ e } \angle B = \angle E \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Come abbinare i lati: quando conosci solo le lunghezze, ordina i lati di ogni triangolo dal più corto al più lungo e abbinali in quest'ordine: il più corto con il più corto, il medio con il medio, il più lungo con il più lungo.

Appena sai che i triangoli sono simili:

ogni lato dell'immagine è $k$ volte il lato corrispondente
il rapporto dei perimetri è $k$
il rapporto delle aree è $k^2$

Confronto con la congruenza: la congruenza LLL e LAL richiede lati uguali (

k = 1

), la similitudine LLL e LAL solo lati proporzionali.

Esempi svolti

\triangle ABC

ha i lati

AB = 4

BC = 6

CA = 8

\triangle DEF

ha i lati

DE = 6

EF = 9

FD = 12

. I triangoli sono simili?

Ordina i lati di ogni triangolo dal più corto al più lungo

\triangle ABC

4, 6, 8

\triangle DEF

6, 9, 12

→ Coppie:

4 \leftrightarrow 6

6 \leftrightarrow 9

8 \leftrightarrow 12

Dividi ogni lato di $\triangle DEF$ per il lato corrispondente di $\triangle ABC$

\frac{6}{4} = 1{,}5

\frac{9}{6} = 1{,}5

\frac{12}{8} = 1{,}5

→ Tutti e tre i rapporti valgono

1{,}5

Applica la similitudine LLL

Tre rapporti uguali, quindi i lati sono proporzionali →

\triangle ABC \sim \triangle DEF

k = 1{,}5

Risposta: Sì, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ per la similitudine LLL con rapporto di similitudine $k = 1{,}5$ .

Errori comuni

Abbinare i lati nell'ordine in cui sono scritti, per esempio $4, 6, 8$ con $12, 9, 6$ , e ottenere i rapporti $3$ , $1{,}5$ , $0{,}75$

Perché è sbagliato: L'ordine in cui sono scritte le lunghezze non dice quali lati si corrispondono. Coppie sbagliate danno rapporti diversi anche per triangoli simili.

Corretto: Ordina prima entrambi i triangoli dal lato più corto al più lungo: $4, 6, 8$ e $6, 9, 12$ . Così tutti i rapporti valgono $1{,}5$ .

Usare LAL con un angolo che non sta tra i due lati

Perché è sbagliato: Due lati proporzionali e un angolo non compreso (LLA) non fissano la forma: due triangoli diversi possono avere gli stessi due lati e lo stesso angolo opposto a uno di essi.

Corretto: Controlla che l'angolo congruente sia formato proprio dai due lati che hai confrontato. Altrimenti la similitudine LAL non si applica.

Pensare che anche il rapporto delle aree sia $k$

Perché è sbagliato: Un'area è lunghezza per lunghezza, quindi entrambi i fattori crescono di $k$ : l'area cresce di $k \cdot k = k^2$ .

Corretto: Rapporto dei perimetri $= k$ , rapporto delle aree $= k^2$ . Con $k = 3$ , l'area è $9$ volte più grande, non $3$ volte.

Dividere il grande per il piccolo in una coppia e il piccolo per il grande in un'altra, per esempio $\frac{6}{4} = 1{,}5$ ma $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Perché è sbagliato: Così i rapporti sembrano diversi anche se i lati sono proporzionali.

Corretto: Dividi sempre nello stesso verso: lato dell'immagine diviso lato dell'originale (o il contrario per ogni coppia).

Perché è importante

Spesso è più facile misurare lunghezze che angoli, e allora servono proprio la similitudine LLL e LAL:

Topografia: per trovare la larghezza di un lago che non si può attraversare, i topografi tracciano un piccolo triangolo che ha un angolo in comune con uno grande e usano la similitudine LAL
Ingegneria: il modellino di una capriata o di un ponte si costruisce con tutte le lunghezze moltiplicate per lo stesso fattore, così ha esattamente la stessa forma dell'originale
Stampa e grafica: quando si ingrandisce un logo, ogni lunghezza è moltiplicata per $k$ , ma l'inchiostro o il materiale necessario è moltiplicato per $k^2$
Controllare un disegno: un falegname può verificare che un telaio triangolare corrisponda al progetto confrontando tre rapporti di lunghezze, senza goniometro

Sapere che l'area cresce con

k^2

(e non con

k

) evita anche errori costosi, come comprare solo il doppio della vernice per una parete larga il doppio e alta il doppio.

Applicazioni nel mondo reale

Ingrandire un logo

I grafici ingrandiscono i loghi in modo che ogni lunghezza cresca con lo stesso rapporto. Il triangolo ingrandito è simile all'originale per la similitudine LLL, quindi mantiene esattamente la stessa forma.

Esempio:

Un logo triangolare con lati di $2$ cm, $3$ cm e $4$ cm viene stampato su un manifesto con $k = 5$ : i lati diventano $10$ cm, $15$ cm e $20$ cm.

1Provaci tu stesso

Un logo triangolare ha i lati di $3$ cm, $4$ cm e $6$ cm. Su uno striscione il lato più corto deve misurare $7{,}5$ cm, e il logo deve mantenere la sua forma.

Quanto misura il lato più lungo del logo sullo striscione (in cm)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica il lato più lungo per il rapporto di similitudine:

Misurare la larghezza di un lago

I topografi non possono stendere un metro a nastro sopra l'acqua. Segnano due punti su linee che partono da un vertice e usano il triangolo piccolo che ha in comune con quello grande l'angolo in quel vertice.

Esempio:

Dal punto $A$ partono due sentieri rettilinei che costeggiano il lago. Un triangolo piccolo i cui lati lungo i due sentieri sono $\frac{1}{4}$ di quelli del grande ha in comune l'angolo in $A$ , quindi la larghezza del lago è $4$ volte la breve distanza misurata sulla terraferma.

2Provaci tu stesso

Dal punto $A$ , lungo un sentiero $AD = 20$ m e $AB = 60$ m, lungo l'altro $AE = 25$ m e $AC = 75$ m. $B$ e $C$ si trovano su sponde opposte del lago. Sulla terraferma si misura $DE = 18$ m.

Quanto è largo il lago, cioè la distanza $BC$ (in m)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica la distanza misurata $DE$ per il rapporto di similitudine:

Tessuto per una vela più grande

I velai ingrandiscono o rimpiccioliscono modelli di vele collaudati. La vela nuova è simile a quella vecchia, ma il tessuto necessario cresce con il rapporto delle aree $k^2$, non con $k$.

Esempio:

Una vela che è $1{,}5$ volte più lunga su ogni lato richiede $1{,}5^2 = 2{,}25$ volte più tessuto.

3Provaci tu stesso

Una piccola vela triangolare ha i lati di $3$ m, $4$ m e $5$ m e un'area di $6$ m². Una vela nuova ha i lati di $6$ m, $8$ m e $10$ m.

Quanto tessuto (in m²) serve per la vela nuova?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica l'area vecchia per il rapporto delle aree:

Punti chiave

1Similitudine LLL: se tutte e tre le coppie di lati corrispondenti hanno lo stesso rapporto $k$ , i triangoli sono simili
2Similitudine LAL: due coppie di lati con lo stesso rapporto $k$ e un angolo compreso congruente rendono simili i triangoli
3Se hai solo le lunghezze, ordina i lati dal più corto al più lungo e abbinali in quest'ordine
4Il rapporto di similitudine $k$ è lato dell'immagine diviso lato dell'originale; ogni lato mancante è $k$ volte il suo corrispondente
5Rapporto dei perimetri $= k$ , rapporto delle aree $= k^2$
6Scegli il criterio in base ai dati: due angoli significa AA, tre lati significa LLL, due lati e l'angolo tra loro significa LAL

Domande frequenti

In che cosa la similitudine LLL è diversa dalla congruenza LLL?

La congruenza LLL richiede tre coppie di lati uguali. La similitudine LLL richiede solo tre coppie di lati nello stesso rapporto. La congruenza è il caso particolare

k = 1

Perché l'angolo di LAL deve essere l'angolo compreso?

I due lati e l'angolo tra loro fissano completamente la forma. Se l'angolo sta altrove (LLA), due triangoli diversi possono avere gli stessi dati, quindi non puoi concludere che i triangoli sono simili.

Quando uso AA, LLL o LAL?

Guarda che cosa è dato. Due coppie di angoli congruenti: AA. Tre coppie di lunghezze: LLL. Due coppie di lunghezze e l'angolo tra loro: LAL. Nei triangoli annidati un angolo in comune ti regala spesso l'angolo per AA o LAL.

Conta per quale triangolo divido?

Solo per il valore di

k

. Il grande diviso il piccolo dà

k > 1

(ingrandimento), il piccolo diviso il grande dà

k < 1

(riduzione). Vanno bene entrambi, purché tu divida nello stesso verso per ogni coppia.

Glossario

Similitudine LLL: Se tutte e tre le coppie di lati corrispondenti di due triangoli sono nello stesso rapporto, i triangoli sono simili
Similitudine LAL: Se due coppie di lati corrispondenti sono nello stesso rapporto e gli angoli compresi sono congruenti, i triangoli sono simili
Angolo compreso: L'angolo formato da due lati dati di un triangolo, nel vertice in cui si incontrano
Rapporto di similitudine: Il rapporto $k$ tra un lato di una figura e il lato corrispondente di una figura simile
Lati corrispondenti: Lati che occupano la stessa posizione in due figure simili o congruenti (detti anche lati omologhi)
Rapporto delle aree: Il rapporto tra le aree di due figure simili, uguale a $k^2$

Scheda formule

Similitudine LLL

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Tutti e tre i rapporti dei lati sono uguali (lati ordinati dal più corto al più lungo)

Similitudine LAL

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k,\ \angle B = \angle E \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Due rapporti dei lati sono uguali e gli angoli compresi sono congruenti

Rapporto dei perimetri

\frac{P_2}{P_1} = k

I perimetri crescono dello stesso fattore dei lati

Rapporto delle aree

\frac{A_2}{A_1} = k^2

Le aree crescono del quadrato del rapporto di similitudine

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Errori comuni

Perché è importante

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