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Guida per l'insegnante: Poligoni regolari

Impara che cosa rende regolare un poligono, come trovare gli angoli interni, esterni e al centro, il perimetro e l'area, e quali poligoni regolari pavimentano un piano.

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Quiz di classe

10 domande su Poligoni. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Decidere se un poligono è regolare controllando lati e angoli
  • Calcolare gli angoli interno, esterno e al centro di un poligono regolare
  • Trovare il numero di lati di un poligono regolare da un angolo interno o esterno
  • Calcolare il perimetro e l'area di un poligono regolare usando l'apotema
  • Spiegare perché tra i poligoni regolari solo triangoli, quadrati ed esagoni pavimentano il piano
Prerequisiti
  • • Nomi dei poligoni in base al numero di lati (Introduzione ai poligoni, Classificare i poligoni)
  • • La somma degli angoli interni (n−2)×180°(n-2) \times 180° (Formula della somma degli angoli di un poligono)
  • • Gli angoli esterni e la loro somma di 360°360° (Angoli esterni dei poligoni)
  • • L'area di un triangolo 12⋅b⋅h\frac{1}{2} \cdot b \cdot h e il teorema di Pitagora
Spunti di discussione
  • 1. Il quadrato è l'unico quadrilatero regolare? Come convinceresti un amico?
  • 2. Secondo te perché le api costruiscono esagoni e non quadrati o triangoli?
  • 3. Che cosa succede all'angolo interno quando un poligono regolare ha sempre più lati? Può mai arrivare a 180°180°?
  • 4. Perché è più facile trovare il numero di lati dall'angolo esterno che dall'angolo interno?
Idee sbagliate comuni

Lati uguali bastano perché un poligono sia regolare

Rimedio: Schiaccia un quadrato fatto con 4 bastoncini uguali fino a formare un rombo: i lati restano uguali, gli angoli cambiano. Poi mostra un rettangolo: angoli uguali, lati diversi. Regolare richiede entrambe le cose.

L'apotema e il raggio sono lunghi uguali

Rimedio: Disegna entrambi in un esagono: il raggio finisce in un vertice, l'apotema nel punto medio di un lato. L'apotema è un cateto e il raggio l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, quindi il raggio è sempre più lungo.

Qualsiasi poligono regolare può pavimentare un piano se lo si dispone bene

Rimedio: Fai provare con pentagoni di carta. Poi calcola 360°108°≈3,33\frac{360°}{108°} \approx 3{,}33: gli angoli attorno a un punto devono fare esattamente 360°360°, quindi il numero deve essere intero.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Dare una tabella con n, somma degli angoli e angolo interno già iniziata per n = 3 a 6
  • • Misurare con il goniometro gli angoli di poligoni di carta prima di usare le formule
  • • Dare l'apotema in ogni problema sull'area

Per studenti a livello:

  • • Trovare n da angoli interni ed esterni
  • • Calcolare aree di poligoni regolari con l'apotema data
  • • Spiegare con gli angoli quali poligoni regolari pavimentano il piano

Per studenti avanzati:

  • • Trovare l'apotema di un esagono o di un quadrato partendo solo dal lato
  • • Studiare la tassellazione con ottagoni e quadrati: perché funziona 135°+135°+90°=360°135° + 135° + 90° = 360°?
  • • Mostrare che l'area di un poligono regolare di n lati si avvicina all'area di un cerchio quando n cresce
Allineamento agli standard
  • 7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)

    Usare le proprietà degli angoli supplementari e adiacenti per scrivere e risolvere equazioni con un angolo incognito

  • 7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)

    Risolvere problemi reali sull'area di figure composte da triangoli e poligoni

  • HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)

    Descrivere le rotazioni e le simmetrie assiali che portano un poligono regolare su sé stesso

Risorse della lezione
  • visualEsploratore di poligoni regolari

    Cambia il numero di lati e osserva dal vivo come cambiano gli angoli al centro, interno ed esterno, l'apotema, il perimetro e l'area

  • activityProva di tassellazione

    Gli studenti provano a coprire un foglio con triangoli, quadrati, pentagoni, esagoni e ottagoni di carta e annotano quali lasciano buchi

  • worksheetTabella dei poligoni regolari

    Compilare una tabella per n = 3 a 12 con gli angoli interno, esterno e al centro e cercare regolarità

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un poligono regolare ha tutti i lati uguali E tutti gli angoli uguali. Servono entrambe le condizioni:
  • Un rombo ha quattro lati uguali, ma i suoi angoli non sono tutti uguali (per esempio 60°60° e 120°120°), quindi non è regolare.
  • Un rettangolo ha quattro angoli uguali (90°90°), ma i suoi lati non sono tutti uguali, quindi non è regolare.
  • Un quadrato ha entrambe le cose, è un quadrilatero regolare.
Ogni poligono regolare ha un centro OO, alla stessa distanza da tutti i vertici. I segmenti dal centro ai vertici dividono un poligono regolare di nn lati in nn triangoli isosceli congruenti.
**Angoli di un poligono regolare di nn lati** (la somma (n−2)×180°(n-2) \times 180° viene dalla lezione sulla somma degli angoli):
angolo interno=(n−2)×180°nangolo esterno=360°nangolo al centro=360°n\text{angolo interno} = \frac{(n-2) \times 180°}{n} \qquad \text{angolo esterno} = \frac{360°}{n} \qquad \text{angolo al centro} = \frac{360°}{n}
L'angolo al centro è l'angolo nel centro tra i segmenti verso due vertici vicini. In un poligono regolare è uguale all'angolo esterno.
Lunghezze: il raggio rr va dal centro a un vertice, l'apotema aa va dal centro al punto medio di un lato ed è perpendicolare a esso.
Perimetro e area (lato ss):
P=n⋅sA=12⋅P⋅aP = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a
Tassellazione: un poligono regolare pavimenta il piano da solo soltanto se il suo angolo interno divide 360°360°. Funziona per esattamente tre: il triangolo equilatero (60°60°), il quadrato (90°90°) e l'esagono regolare (120°120°).

Esempi svolti

Decidi quali figure sono poligoni regolari: un rombo con angoli di 70°70° e 110°110°, un rettangolo di 3 cm per 5 cm e un triangolo equilatero.
1

Controlla il rombo

I 4 lati sono uguali, ma gli angoli misurano 70°70° e 110°110° → Angoli diversi: non è regolare
2

Controlla il rettangolo

I 4 angoli misurano 90°90°, ma i lati misurano 3 cm e 5 cm → Lati diversi: non è regolare
3

Controlla il triangolo equilatero

I 3 lati sono uguali e i 3 angoli misurano 60°60° → Regolare

Errori comuni

Dire che un rombo è regolare perché tutti i suoi lati sono uguali

Perché è sbagliato: Lati uguali sono solo metà della definizione. Un rombo può avere angoli di 60°60° e 120°120°.

Corretto: Un poligono è regolare solo se tutti i lati E tutti gli angoli sono uguali. Controlla sempre entrambe le cose.

Dimenticare di dividere per nn: dare (n−2)×180°(n-2) \times 180° come un solo angolo interno

Perché è sbagliato: (n−2)×180°(n-2) \times 180° è la SOMMA di tutti gli angoli interni, 720°720° in un esagono, troppo per un solo angolo.

Corretto: Un angolo interno di un poligono regolare di nn lati è (n−2)×180°n\frac{(n-2) \times 180°}{n}, in un esagono 720°6=120°\frac{720°}{6} = 120°.

Trovare nn dividendo 360°360° per l'angolo INTERNO

Perché è sbagliato: Con un angolo interno di 144°144° si ottiene 360144=2,5\frac{360}{144} = 2{,}5 lati, il che è impossibile. Solo l'angolo esterno soddisfa 360°n\frac{360°}{n}.

Corretto: Trova prima l'angolo esterno 180°−144°=36°180° - 144° = 36°, poi n=360°36°=10n = \frac{360°}{36°} = 10.

Usare il lato o il raggio invece dell'apotema in A=12PaA = \frac{1}{2} P a

Perché è sbagliato: Il raggio arriva a un vertice ed è più lungo dell'apotema. Solo l'apotema è perpendicolare al lato, quindi solo lei è l'altezza di ogni triangolo.

Corretto: Usa l'apotema: la distanza perpendicolare dal centro al punto medio di un lato.

Perché è importante

I poligoni regolari sono le forme che si scelgono quando tutto deve essere equo, robusto o facile da ripetere:
  • Natura: le api costruiscono celle esagonali nei favi. Gli esagoni riempiono lo spazio senza buchi e usano la minima quantità di cera per le pareti.
  • Segnali stradali: il segnale di stop è un ottagono regolare, così i conducenti ne riconoscono la forma anche da dietro.
  • Pavimenti e pareti: le piastrelle sono quadrati, triangoli o esagoni, gli unici poligoni regolari che coprono un pavimento senza buchi.
  • Meccanica: dadi e teste di bulloni sono esagoni regolari, così una chiave si adatta da sei direzioni.
  • Design ed edilizia: gazebo, tavoli e finestre usano ottagoni e pentagoni regolari; l'angolo al centro dice al falegname come tagliare ogni pezzo.
Con le formule di questa lezione trovi ogni angolo, il perimetro e l'area di un poligono regolare partendo solo dal numero di lati e da una lunghezza.

Applicazioni nel mondo reale

Favi e piastrelle esagonali

Le api e i produttori di piastrelle usano esagoni regolari, perché esattamente tre si incastrano attorno a un punto senza lasciare buchi.

Esempio:

I quadrati si incastrano a 4 attorno a un punto (4⋅90°=360°4 \cdot 90° = 360°), i triangoli equilateri a 6 (6⋅60°=360°6 \cdot 60° = 360°).

1Provaci tu stesso

Un piastrellista vuole coprire il pavimento di un bagno solo con esagoni regolari.

Quanti esagoni si incontrano in ogni vertice?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi l'angolo giro attorno a un punto per un angolo interno:

Segnali di stop

Un segnale di stop è un ottagono regolare. I produttori usano l'area per sapere quanta pellicola rifrangente serve per ogni segnale.

Esempio:

Un ottagono regolare di lato 25 cm ha un'apotema di circa 30,2 cm.

2Provaci tu stesso

Un segnale di stop è un ottagono regolare con lati di 25 cm e un'apotema di 30,2 cm.

Quanti centimetri quadrati di pellicola rifrangente coprono tutto il segnale?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa A=12⋅P⋅aA = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a:

Il pavimento di un gazebo

Il pavimento di un gazebo ottagonale è fatto di 8 sezioni triangolari di legno uguali che si incontrano nel centro.

Esempio:

Ogni sezione ha nella punta, al centro, l'angolo al centro 360°8=45°\frac{360°}{8} = 45°.

3Provaci tu stesso

Una falegname taglia gli 8 triangoli isosceli per il pavimento di un gazebo ottagonale regolare.

Con quale angolo deve tagliare ciascuno dei due angoli alla base di un triangolo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sottrai l'angolo al centro da 180°180° e dividi il resto in parti uguali:

Punti chiave

  • 1Un poligono regolare ha tutti i lati uguali E tutti gli angoli uguali; rombo e rettangolo non sono regolari
  • 2Angolo interno di un poligono regolare di nn lati: (n−2)×180°n\frac{(n-2) \times 180°}{n}
  • 3Angolo esterno e angolo al centro valgono entrambi 360°n\frac{360°}{n}
  • 4Per trovare nn da un angolo interno, prendi prima l'angolo esterno 180°−interno180° - \text{interno}, poi n=360°esternon = \frac{360°}{\text{esterno}}
  • 5Perimetro P=n⋅sP = n \cdot s e area A=12⋅P⋅aA = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a, dove l'apotema aa va dal centro al punto medio di un lato
  • 6Solo il triangolo equilatero, il quadrato e l'esagono regolare pavimentano un piano da soli, perché 60°60°, 90°90° e 120°120° dividono 360°360°

Domande frequenti

Ogni triangolo con tre lati uguali è regolare?

Sì. Nei triangoli, lati uguali obbligano ad avere angoli uguali, quindi ogni triangolo equilatero ha tre angoli di 60°60°. Da quattro lati in su non è più vero: un rombo ha lati uguali ma può avere angoli diversi.

Perché l'angolo esterno e l'angolo al centro sono uguali?

Entrambi dividono i 360°360° di un giro completo in nn parti uguali: gli angoli esterni sono le nn svolte di una passeggiata attorno al poligono, gli angoli al centro sono le nn fette attorno al centro. Per questo valgono entrambi 360°n\frac{360°}{n}.

Perché un pentagono regolare non può pavimentare un piano?

Il suo angolo interno misura 108°108°. Tre angoli fanno 324°324° e lasciano un buco di 36°36°, quattro farebbero 432°432° e si sovrapporrebbero. Poiché 360108\frac{360}{108} non è un numero intero, i pentagoni non si incastrano senza buchi.

Quanti assi di simmetria ha un poligono regolare?

Un poligono regolare di nn lati ha nn assi di simmetria, per esempio 6 un esagono regolare. La lezione sulla simmetria nei poligoni studia questi assi e le rotazioni in dettaglio.

Glossario

Poligono regolare
Un poligono con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
Centro
Il punto interno di un poligono regolare che ha la stessa distanza da tutti i vertici.
Angolo al centro
L'angolo nel centro tra i segmenti verso due vertici vicini: 360°n\frac{360°}{n}.
Raggio
La distanza dal centro di un poligono regolare a un vertice.
Apotema
La distanza perpendicolare dal centro di un poligono regolare al punto medio di un lato.
Tassellazione
Un motivo di figure che copre una superficie piana senza buchi e senza sovrapposizioni.

Scheda formule

Angolo interno

(n−2)×180°n\frac{(n-2) \times 180°}{n}

Un angolo dentro un poligono regolare di $n$ lati

Angolo esterno e angolo al centro

360°n\frac{360°}{n}

La svolta in ogni vertice e l'angolo nel centro per un lato

Numero di lati

n=360°angolo esternon = \frac{360°}{\text{angolo esterno}}

Angolo esterno $= 180° - $ angolo interno

Perimetro

P=n⋅sP = n \cdot s

Numero di lati per la lunghezza del lato

Area

A=12⋅P⋅aA = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

Metà del perimetro per l'apotema $a$

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