Inversa e contraria

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è l'inversa dell'implicazione $p \to q$ ?
1. a) $q \to p$
2. b) $\neg q \to \neg p$
3. c) $p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to \neg q$
Risposta: $q \to p$
L'inversa scambia le due parti: $q \to p$ . L'enunciato $\neg p \to \neg q$ è la contraria, e $\neg q \to \neg p$ è la contronominale, che vedrai nella prossima lezione.
2.
L'enunciato Se $x = 5$ , allora $x^2 = 25$ è vero. La sua inversa, Se $x^2 = 25$ , allora $x = 5$ , è falsa. Quale numero negativo è un controesempio all'inversa?
Risposta: -5
$(-5)^2 = 25$ , quindi $x^2 = 25$ è vero per $x = -5$ , ma $x = 5$ è falso. Un controesempio dimostra che l'inversa è falsa.
3.
Originale: Se $x = 2$ , allora $3x = 6$ . Anche l'inversa, Se $3x = 6$ , allora $x = 2$ , è vera? Procedi passo dopo passo.
Risposta: 1
1. Controlla l'originale: quanto fa $3 \times 2$ ? 6
2. Risolvi $3x = 6$ . Quanto vale $x$ ? 2
3. Quanti valori di $x$ risolvono $3x = 6$ ? 1
4.
Qual è la contraria di: Se una figura è un quadrato, allora è un rettangolo?
1. a)Se una figura non è un rettangolo, allora non è un quadrato
2. b)Se una figura è un rettangolo, allora è un quadrato
3. c)Se una figura non è un quadrato, allora non è un rettangolo
4. d)Se una figura è un quadrato, allora non è un rettangolo
Risposta: Se una figura non è un quadrato, allora non è un rettangolo
La contraria nega entrambe le parti e mantiene l'ordine: Se una figura non è un quadrato, allora non è un rettangolo. È falsa: un rettangolo di 5 cm per 3 cm non è un quadrato, ma è un rettangolo.
5.
Inversa: Se un numero è pari, allora è divisibile per 4. Quale numero pari compreso tra 5 e 7 dimostra che questa inversa è falsa?
Risposta: 6
6 è pari, ma $6 \div 4 = 1{,}5$ , quindi 6 non è divisibile per 4. L'ipotesi è vera e la tesi è falsa, quindi 6 è un controesempio.
6.
Originale: Se $x = 6$ , allora $x^2 = 36$ . Trova un controesempio all'inversa, Se $x^2 = 36$ , allora $x = 6$ .
Risposta: -6
1. Quanto fa $6^2$ ? 36
2. Quanto fa $(-6)^2$ ? 36
3. Quale valore di $x$ ha $x^2 = 36$ ma $x \neq 6$ ? -6
7.
Originale: Se un numero è multiplo di 10, allora è multiplo di 5. L'inversa è vera o falsa?
1. a)Falsa, perché 20 è multiplo di 10
2. b)Vera, perché l'originale è vero
3. c)Vera, perché ogni multiplo di 5 è multiplo di 10
4. d)Falsa, perché 15 è multiplo di 5 ma non di 10
Risposta: Falsa, perché 15 è multiplo di 5 ma non di 10
L'inversa è: Se un numero è multiplo di 5, allora è multiplo di 10. 15 è multiplo di 5, ma $15 \div 10 = 1{,}5$ , quindi l'inversa è falsa. Il fatto che l'originale sia vero non dice nulla sull'inversa.
8.
Originale: Se un numero è multiplo di 9, allora è multiplo di 3. La sua inversa è falsa. Qual è il più piccolo multiplo di 3 di due cifre che non è multiplo di 9?
Risposta: 12
I multipli di 3 di due cifre iniziano con 12, 15, 18. Poiché $12 \div 9$ non è un numero intero, 12 è multiplo di 3 ma non di 9. Fa cadere l'inversa, Se un numero è multiplo di 3, allora è multiplo di 9.
9.
Originale: Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2. Verifica la contraria, Se un numero non è divisibile per 4, allora non è divisibile per 2, con il numero 10.
Risposta: 1
1. Qual è il resto della divisione di 10 per 4? 2
2. Quanto fa $10 \div 2$ ? 5
3. 10 non è divisibile per 4 ma è divisibile per 2. Quanti controesempi ti servono per dimostrare che la contraria è falsa? 1
10.
L'inversa di un'implicazione è falsa. Che cosa puoi dire della sua contraria?
1. a)È vera
2. b)Può essere vera o falsa
3. c)È falsa
4. d)È uguale all'originale
Risposta: È falsa
L'inversa e la contraria hanno sempre lo stesso valore di verità: le loro colonne nella tavola di verità sono identiche. Quindi, se l'inversa è falsa, anche la contraria è falsa.
11.
In quante delle quattro righe della tavola di verità $p \to q$ e la sua inversa $q \to p$ hanno valori di verità diversi?
Risposta: 2
$p \to q$ è falsa solo nella riga $p$ vero, $q$ falso. $q \to p$ è falsa solo nella riga $p$ falso, $q$ vero. In queste 2 righe i valori sono diversi, nelle altre 2 sono entrambi veri.
12.
Trova il valore dell'inversa $q \to p$ nella riga in cui $p$ è falso e $q$ è vero. Scrivi 1 per vero e 0 per falso.
Risposta: 0
1. Che valore ha $q$ in questa riga (1 o 0)? 1
2. Che valore ha $p$ in questa riga (1 o 0)? 0
3. Un'implicazione è falsa solo quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa. Quanto vale qui $q \to p$ (1 o 0)? 0
13.
Originale: Se $x > 5$ , allora $x > 3$ . Verifica l'inversa, Se $x > 3$ , allora $x > 5$ , con numeri interi.
Risposta: 2
1. Qual è il più piccolo numero intero maggiore di 3? 4
2. È vero che $4 > 5$ ? Scrivi 1 per sì e 0 per no. 0
3. Quanti numeri interi sono maggiori di 3 ma non maggiori di 5? 2
14.
Quale enunciato si può scrivere come bicondizionale vero (se e solo se)?
1. a)Se $x = 4$ , allora $x^2 = 16$
2. b)Se una figura è un quadrato, allora ha quattro lati
3. c)Se un triangolo ha un angolo di $90^\circ$ , allora è rettangolo
4. d)Se un numero è multiplo di 4, allora è pari
Risposta: Se un triangolo ha un angolo di $90^\circ$ , allora è rettangolo
Solo l'enunciato sul triangolo rettangolo è vero in entrambi i sensi, perché è la definizione di triangolo rettangolo. Gli altri hanno inverse false: $x = -4$ dà $x^2 = 16$ , 6 è pari ma non è multiplo di 4, e un rettangolo di 5 cm per 3 cm ha quattro lati ma non è un quadrato.
15.
Originale: Se $x > 4$ , allora $x^2 > 16$ . La sua inversa è: Se $x^2 > 16$ , allora $x > 4$ . Trova il controesempio intero all'inversa più vicino allo zero.
Risposta: -5
Un controesempio richiede $x^2 > 16$ e $x \le 4$ . Per $x = -4$ si ha $(-4)^2 = 16$ , che non è maggiore di 16. Per $x = -5$ si ha $(-5)^2 = 25 > 16$ , ma $-5$ non è maggiore di 4. Quindi $-5$ è il controesempio più vicino allo zero.
16.
Originale: Se un numero è multiplo di 3, allora è multiplo di 6. Dimostra che l'originale è falso ma l'inversa è vera.
Risposta: 2
1. Qual è il resto della divisione di 9 per 6? 3
2. 12 è multiplo di 6. Quanto fa $12 \div 3$ ? 4
3. Ogni multiplo di 6 si può scrivere come $6k = 3 \times 2k$ . Quanto fa $6 \div 3$ ? 2
17.
Confronta l'inversa $q \to p$ e la contraria $\neg p \to \neg q$ nella tavola di verità. Scrivi 1 per vero e 0 per falso.
Risposta: 4
1. Riga $p = 1$ , $q = 0$ : quanto vale $q \to p$ , cioè $0 \to 1$ ? 1
2. Stessa riga: $\neg p = 0$ e $\neg q = 1$ . Quanto vale $\neg p \to \neg q$ , cioè $0 \to 1$ ? 1
3. Riga $p = 0$ , $q = 1$ : quanto vale $q \to p$ , cioè $1 \to 0$ ? 0
4. Stessa riga: $\neg p = 1$ e $\neg q = 0$ . Quanto vale $\neg p \to \neg q$ , cioè $1 \to 0$ ? 0
5. Nelle righe $p = q = 1$ e $p = q = 0$ valgono entrambe 1. In quante delle 4 righe l'inversa e la contraria hanno lo stesso valore? 4
18.
Il bicondizionale $x^2 = 4x$ se e solo se $x = 4$ è vero? Controlla entrambi i sensi.
Risposta: 0
1. Senso Se $x = 4$ , allora $x^2 = 4x$ : quanto fa $4^2$ ? 16
2. Quanto fa $4 \times 4$ , il valore di $4x$ per $x = 4$ ? 16
3. Senso Se $x^2 = 4x$ , allora $x = 4$ : quale altro numero risolve $x^2 = 4x$ ? 0