Dimostrazioni geometriche

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Le rette $AB$ e $CD$ sono parallele ( $A$ e $C$ a sinistra, $B$ e $D$ a destra). Una trasversale taglia $AB$ in $E$ e $CD$ in $F$ . Si ha $\angle AEF = 72^\circ$ e $\angle EFD = 72^\circ$ . Quale giustificazione permette di scrivere $\angle EFD = \angle AEF$ ?
1. a)Gli angoli coniugati interni sono uguali
2. b)Gli angoli opposti al vertice sono uguali
3. c)Gli angoli alterni interni sono uguali
4. d)Gli angoli corrispondenti sono uguali
Risposta: Gli angoli alterni interni sono uguali
$\angle AEF$ (in $E$ , a sinistra) e $\angle EFD$ (in $F$ , a destra) stanno tra le parallele da parti opposte rispetto alla trasversale: sono angoli alterni interni, uguali con rette parallele.
2.
Le rette $AB$ e $CD$ sono parallele ( $A$ e $C$ a sinistra, $B$ e $D$ a destra). Una trasversale taglia $AB$ in $E$ e $CD$ in $F$ . Si ha $\angle AEF = 72^\circ$ . Quanti gradi misura $\angle CFE$ ?
Risposta: 108
$\angle EFD = \angle AEF = 72^\circ$ (alterni interni). $\angle CFE$ e $\angle EFD$ formano un angolo piatto, quindi $\angle CFE = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ . Verifica con i coniugati interni: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ .
3.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , $\angle A = 47^\circ$ e $\angle B = 68^\circ$ . Quanti gradi misura $\angle C$ ?
Risposta: 65
Per il teorema della somma degli angoli, $\angle C = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ$ .
4.
Quale gruppo di elementi uguali NON dimostra che due triangoli sono congruenti?
1. a)LAL
2. b)AAA
3. c)LLL
4. d)ALA
Risposta: AAA
Tre angoli uguali (AAA) fissano solo la forma, non la grandezza: un triangolo equilatero piccolo e uno grande hanno entrambi tre angoli di $60^\circ$ ma non sono congruenti. LLL, LAL e ALA sono criteri validi.
5.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , $AB = AC$ e $\angle B = 52^\circ$ . Trova $\angle C$ e $\angle A$ .
Risposta: 76
1. Quanti gradi misura $\angle C$ ? 52
2. Quanti gradi fa $\angle B + \angle C$ ? 104
3. Quanti gradi misura $\angle A$ ? 76
6.
Le rette parallele $\ell$ e $m$ ( $\ell$ sopra $m$ ) sono tagliate da una trasversale $t$ . In $\ell$ , l'angolo sopra $\ell$ e a destra di $t$ misura $110^\circ$ . Trova l'angolo sopra $m$ a destra di $t$ , poi l'angolo sopra $m$ a sinistra di $t$ .
Risposta: 70
1. Quanti gradi misura l'angolo sopra $m$ a destra di $t$ ? 110
2. Quanti gradi misura l'angolo sopra $m$ a sinistra di $t$ ? 70
7.
I segmenti $AD$ e $BC$ si incontrano in $M$ , e $M$ è il punto medio di entrambi. Sai che $AM = DM$ , $BM = CM$ e $\angle AMB = \angle DMC$ (opposti al vertice). Quale criterio dimostra $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ ?
1. a)AAL
2. b)ALA
3. c)LAL
4. d)LLL
Risposta: LAL
Due lati ( $AM$ , $BM$ ) e l'angolo compreso (in $M$ ) coincidono con due lati e l'angolo compreso dell'altro triangolo: è il criterio LAL.
8.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , la retta per $A$ parallela a $BC$ forma un angolo di $55^\circ$ con $AB$ (dalla parte di $B$ ) e un angolo di $64^\circ$ con $AC$ (dalla parte di $C$ ). Quanti gradi misura $\angle BAC$ ?
Risposta: 61
I tre angoli in $A$ stanno sulla parallela, quindi $55^\circ + \angle BAC + 64^\circ = 180^\circ$ e $\angle BAC = 61^\circ$ . Per gli alterni interni, $\angle B = 55^\circ$ e $\angle C = 64^\circ$ , e infatti $55^\circ + 61^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ .
9.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , $AB = AC$ e $\angle A = 36^\circ$ . Trova l'angolo alla base $\angle B$ , poi l'angolo esterno in $B$ (tra $AB$ e il prolungamento di $CB$ oltre $B$ ).
Risposta: 108
1. Quanti gradi fa $\angle B + \angle C$ ? 144
2. Quanti gradi misura $\angle B$ ? 72
3. Quanti gradi misura l'angolo esterno in $B$ ? 108
10.
I segmenti $AE$ e $BD$ si incontrano in $C$ , $AB \parallel DE$ e $C$ è il punto medio di $AE$ . Inoltre $\angle BAC = 40^\circ$ , $\angle ACB = 75^\circ$ e $AB = 9$ cm. Trova gli angoli di $\triangle EDC$ e la lunghezza $DE$ .
Risposta: 9
1. Quanti gradi misura $\angle CED$ ? 40
2. Quanti gradi misura $\angle ECD$ ? 75
3. Quanti gradi misura $\angle CDE$ ? 65
4. Quanti cm misura $DE$ ? 9
11.
In $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ : $AB = DE$ , $\angle A = \angle D$ e $\angle B = \angle E$ . Quale criterio dimostra $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
1. a)LLL
2. b)AAL
3. c)LAL
4. d)ALA
Risposta: ALA
Il lato uguale $AB$ unisce i vertici dei due angoli uguali, quindi è compreso tra loro: angolo, lato, angolo, cioè ALA.
12.
$AD$ è la bisettrice di $\angle BAC$ e $\angle BAD = 34^\circ$ . Quanti gradi misura $\angle BAC$ ?
Risposta: 68
Per la definizione di bisettrice, $\angle CAD = \angle BAD = 34^\circ$ , quindi $\angle BAC = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$ .
13.
Due rette parallele sono tagliate da una trasversale. Una coppia di angoli alterni interni misura $(3x + 10)^\circ$ e $(5x - 30)^\circ$ . Trova $x$ , l'angolo e l'angolo adiacente supplementare.
Risposta: 110
1. Risolvi $3x + 10 = 5x - 30$ . Quanto vale $x$ ? 20
2. Quanti gradi misura ciascun angolo alterno interno? 70
3. Quanti gradi misura l'angolo adiacente supplementare? 110
14.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , $AB = AC$ , $\angle B = (2x + 10)^\circ$ e $\angle C = (3x - 15)^\circ$ . Quanti gradi misura $\angle A$ ?
Risposta: 60
$2x + 10 = 3x - 15$ dà $x = 25$ , quindi $\angle B = \angle C = 60^\circ$ . Allora $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ : il triangolo è addirittura equilatero.
15.
Nel quadrilatero $ABCD$ , $AB = AD$ e $CB = CD$ , con $\angle BAD = 80^\circ$ e $\angle BCD = 60^\circ$ . Usa $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (LLL) per trovare $\angle ABC$ e $\angle ADC$ .
Risposta: 110
1. Quanti gradi misura $\angle BAC$ ? 40
2. Quanti gradi misura $\angle BCA$ ? 30
3. Quanti gradi misura $\angle ABC$ ? 110
4. Quanti gradi misura $\angle ADC$ ? 110
16.
Dimostrazione che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali. Ipotesi: $AB = AC$ , e $AD$ è la bisettrice di $\angle BAC$ con $D$ su $BC$ . Passo 1: $AB = AC$ (ipotesi). Passo 2: $\angle BAD = \angle CAD$ (definizione di bisettrice). Passo 3: $AD = AD$ . Passo 4: $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (LAL). Passo 5: $\angle B = \angle C$ (elementi corrispondenti). Qual è la giustificazione del passo 3?
1. a)Definizione di punto medio
2. b)Proprietà riflessiva
3. c)Proprietà transitiva
4. d)Angoli opposti al vertice
Risposta: Proprietà riflessiva
$AD$ è un lato comune di $\triangle ABD$ e $\triangle ACD$ . Ogni segmento è uguale a se stesso: è la proprietà riflessiva. Fornisce la seconda coppia di lati necessaria per LAL.
17.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , $\angle A = 50^\circ$ e $\angle B = 60^\circ$ . Il lato $BC$ è prolungato oltre $C$ fino a un punto $D$ . Trova $\angle ACB$ , l'angolo esterno $\angle ACD$ , e confrontalo con $\angle A + \angle B$ .
Risposta: 110
1. Quanti gradi misura $\angle ACB$ ? 70
2. Quanti gradi misura $\angle ACD$ ? 110
3. Quanti gradi fa $\angle A + \angle B$ ? 110
18.
Nel triangolo $\triangle ABC$ , $AB = AC$ e $\angle A = 44^\circ$ . Un segmento $DE$ con $D$ su $AB$ ed $E$ su $AC$ è parallelo a $BC$ . Trova $\angle ABC$ , $\angle ADE$ e $\angle BDE$ .
Risposta: 112
1. Quanti gradi misura $\angle ABC$ ? 68
2. Quanti gradi misura $\angle ADE$ ? 68
3. Quanti gradi misura $\angle BDE$ ? 112