Dimostrazione per assurdo

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Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Vuoi dimostrare per assurdo che $\sqrt{3}$ è irrazionale. Qual è la prima riga corretta?
1. a)Supponiamo che $3$ sia irrazionale
2. b)Supponiamo che $\sqrt{3}$ sia razionale
3. c)Supponiamo che $\sqrt{3} = 3$
4. d)Supponiamo che $\sqrt{3}$ sia irrazionale
2.
Qual è il numero minimo di persone che servono per essere sicuri che almeno due siano nate nello stesso mese?
3.
Quale enunciato è falso per ogni valore di verità di $p$ , e quindi è una contraddizione?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
4.
Qualcuno afferma che $N = 100$ è il numero pari più grande. Segui la dimostrazione per mostrare che l'affermazione è falsa.
5.
Nella dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale, elevi al quadrato $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ e moltiplichi per $b^2$ . Ottieni $a^2 = k \cdot b^2$ . Quanto vale $k$ ?
6.
Mostra con il principio dei cassetti che in un gruppo di 13 persone un mese di nascita è condiviso.
7.
Qual è la negazione corretta di "Ogni numero primo è dispari"?
1. a)Ogni numero primo è pari
2. b)Ogni numero dispari è primo
3. c)Nessun numero primo è dispari
4. d)Almeno un numero primo non è dispari
8.
Vuoi dimostrare $x > 5$ per assurdo. Che cosa supponi?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
9.
Una scatola contiene guanti spaiati di 7 colori diversi. Quanti guanti devi prendere senza guardare per essere sicuro di averne due dello stesso colore?
10.
Mostra con la calcolatrice che $\sqrt{2}$ è strettamente compresa tra $1{,}4142$ e $1{,}4143$ , quindi non è uguale a nessuno dei due.
11.
Qualcuno afferma che $\frac{1}{1000}$ è il più piccolo numero razionale positivo. Dividilo per 2 come nella dimostrazione. Quale razionale positivo più piccolo ottieni? Scrivilo come frazione.
12.
Quante persone garantiscono che due di loro compiano gli anni lo stesso giorno (giorno e mese), contando il 29 febbraio come compleanno possibile?
13.
Applica la dimostrazione di Euclide alla lista di primi $2, 3, 5$ : costruisci $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ e verifica che nessun primo della lista lo divide.
14.
Nella dimostrazione di Euclide, calcola $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ per i primi cinque numeri primi.
15.
Con i primi $2, 3, 5, 7, 11, 13$ , il numero di Euclide è $N = 30031 = 59 \times 509$ , che non è primo. Che cosa significa questo per la dimostrazione?
1. a)La dimostrazione fallisce, perché $N$ non è primo
2. b)Esistono solo sei numeri primi
3. c) $N$ ha fattori primi che non sono nella lista, quindi la dimostrazione funziona
4. d) $59$ è il numero primo più grande
16.
Segui la dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale. Supponi $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini e completa i numeri.
17.
Dimostra allo stesso modo che $\sqrt{3}$ è irrazionale. Supponi $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini e completa i numeri. Usa il fatto che se un primo divide $a^2$ , allora divide $a$ .
18.
Applica la dimostrazione di Euclide con i primi $2, 3, 5, 7, 11, 13$ e trova i fattori primi di $N$ .