Dimostrazione per assurdo

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Vuoi dimostrare per assurdo che $\sqrt{3}$ è irrazionale. Qual è la prima riga corretta?
1. a)Supponiamo che $3$ sia irrazionale
2. b)Supponiamo che $\sqrt{3}$ sia razionale
3. c)Supponiamo che $\sqrt{3} = 3$
4. d)Supponiamo che $\sqrt{3}$ sia irrazionale
Risposta: Supponiamo che $\sqrt{3}$ sia razionale
L'enunciato è " $\sqrt{3}$ è irrazionale", quindi la sua negazione è " $\sqrt{3}$ è razionale". Supporre l'enunciato stesso sarebbe un ragionamento circolare.
2.
Qual è il numero minimo di persone che servono per essere sicuri che almeno due siano nate nello stesso mese?
Risposta: 13
Con 12 persone tutti i mesi possono essere diversi. Con 13, supporre che i mesi siano tutti diversi richiederebbe 13 mesi, ma ce ne sono solo 12. Quindi la risposta è $13$ .
3.
Quale enunciato è falso per ogni valore di verità di $p$ , e quindi è una contraddizione?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
Risposta: $p \land \neg p$
$p \land \neg p$ richiede che $p$ e il suo contrario siano veri insieme, cosa che non succede mai, quindi vale F in ogni riga. $p \lor \neg p$ e $p \Rightarrow p$ sono sempre veri, e $\neg\neg p$ ha lo stesso valore di $p$ .
4.
Qualcuno afferma che $N = 100$ è il numero pari più grande. Segui la dimostrazione per mostrare che l'affermazione è falsa.
Risposta: 102
1. Scrivi $100 = 2k$ . Quanto vale $k$ ? 50
2. Quanto vale $N + 2$ ? 102
3. Scrivi $N + 2 = 2(k + 1)$ . Quanto vale $k + 1$ ? 51
5.
Nella dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale, elevi al quadrato $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ e moltiplichi per $b^2$ . Ottieni $a^2 = k \cdot b^2$ . Quanto vale $k$ ?
Risposta: 2
Elevando al quadrato si ottiene $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , e moltiplicando per $b^2$ si ottiene $a^2 = 2b^2$ , quindi $k = 2$ . Questo mostra che $a^2$ è pari.
6.
Mostra con il principio dei cassetti che in un gruppo di 13 persone un mese di nascita è condiviso.
Risposta: 2
1. Quanti mesi (cassetti) ci sono? 12
2. Quante persone al massimo possono avere tutte mesi di nascita diversi? 12
3. Dopo aver messo una persona in ogni mese, quante delle 13 persone restano? 1
4. Quindi il mese più affollato ha almeno quante persone? 2
7.
Qual è la negazione corretta di "Ogni numero primo è dispari"?
1. a)Ogni numero primo è pari
2. b)Ogni numero dispari è primo
3. c)Nessun numero primo è dispari
4. d)Almeno un numero primo non è dispari
Risposta: Almeno un numero primo non è dispari
La negazione di "ogni ... è dispari" è "almeno uno ... non è dispari". Qui la negazione è addirittura vera: $2$ è un numero primo che non è dispari.
8.
Vuoi dimostrare $x > 5$ per assurdo. Che cosa supponi?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
Risposta: $x \le 5$
$x > 5$ è falso esattamente quando $x < 5$ oppure $x = 5$ , cioè $x \le 5$ . Supporre solo $x < 5$ lascerebbe aperto il caso $x = 5$ .
9.
Una scatola contiene guanti spaiati di 7 colori diversi. Quanti guanti devi prendere senza guardare per essere sicuro di averne due dello stesso colore?
Risposta: 8
7 guanti possono avere tutti colori diversi. Con 8, supporre che i colori siano tutti diversi richiederebbe 8 colori, ma ce ne sono solo 7. Quindi $8$ guanti garantiscono una coppia.
10.
Mostra con la calcolatrice che $\sqrt{2}$ è strettamente compresa tra $1{,}4142$ e $1{,}4143$ , quindi non è uguale a nessuno dei due.
Risposta: 0
1. Quanto vale $1{,}4142^2$ ? 1.99996164
2. Quanto vale $1{,}4143^2$ ? 2.00024449
3. Quanti di questi due quadrati valgono esattamente 2? 0
11.
Qualcuno afferma che $\frac{1}{1000}$ è il più piccolo numero razionale positivo. Dividilo per 2 come nella dimostrazione. Quale razionale positivo più piccolo ottieni? Scrivilo come frazione.
Risposta: 1/2000
$\frac{1}{1000} : 2 = \frac{1}{2000}$ , che è positivo, razionale e più piccolo di $\frac{1}{1000}$ . Quindi l'affermazione è falsa, e lo stesso trucco funziona per ogni candidato.
12.
Quante persone garantiscono che due di loro compiano gli anni lo stesso giorno (giorno e mese), contando il 29 febbraio come compleanno possibile?
Risposta: 367
1. Quanti compleanni possibili ci sono, compreso il 29 febbraio? 366
2. Quante persone al massimo possono avere tutte compleanni diversi? 366
3. Quante persone garantiscono un compleanno in comune? 367
13.
Applica la dimostrazione di Euclide alla lista di primi $2, 3, 5$ : costruisci $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ e verifica che nessun primo della lista lo divide.
Risposta: 31
1. Quanto vale $2 \cdot 3 \cdot 5$ ? 30
2. Quanto vale $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ ? 31
3. Qual è il resto della divisione di $31$ per $3$ ? 1
4. Qual è il resto della divisione di $31$ per $5$ ? 1
14.
Nella dimostrazione di Euclide, calcola $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ per i primi cinque numeri primi.
Risposta: 2311
$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ , quindi $N = 2311$ . Dividendo $2311$ per 2, 3, 5, 7 o 11 il resto è sempre 1, quindi i suoi fattori primi non sono nella lista (qui $2311$ è proprio primo).
15.
Con i primi $2, 3, 5, 7, 11, 13$ , il numero di Euclide è $N = 30031 = 59 \times 509$ , che non è primo. Che cosa significa questo per la dimostrazione?
1. a)La dimostrazione fallisce, perché $N$ non è primo
2. b)Esistono solo sei numeri primi
3. c) $N$ ha fattori primi che non sono nella lista, quindi la dimostrazione funziona
4. d) $59$ è il numero primo più grande
Risposta: $N$ ha fattori primi che non sono nella lista, quindi la dimostrazione funziona
La dimostrazione non afferma mai che $N$ sia primo. Le serve solo un fattore primo di $N$ che manca nella lista, e $59$ e $509$ sono proprio primi di questo tipo. La dimostrazione funziona ancora.
16.
Segui la dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale. Supponi $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini e completa i numeri.
Risposta: 2
1. Elevando al quadrato si ottiene $a^2 = m \cdot b^2$ . Quanto vale $m$ ? 2
2. $a$ è pari, quindi $a = 2k$ . Allora $a^2 = m \cdot k^2$ . Quanto vale $m$ ? 4
3. Da $4k^2 = 2b^2$ si ottiene $b^2 = m \cdot k^2$ . Quanto vale $m$ ? 2
4. Quindi $a$ e $b$ sono entrambi divisibili per quale numero? 2
17.
Dimostra allo stesso modo che $\sqrt{3}$ è irrazionale. Supponi $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini e completa i numeri. Usa il fatto che se un primo divide $a^2$ , allora divide $a$ .
Risposta: 3
1. Elevando al quadrato si ottiene $a^2 = m \cdot b^2$ . Quanto vale $m$ ? 3
2. $3$ divide $a$ , quindi $a = 3k$ . Allora $a^2 = m \cdot k^2$ . Quanto vale $m$ ? 9
3. Da $9k^2 = 3b^2$ si ottiene $b^2 = m \cdot k^2$ . Quanto vale $m$ ? 3
4. Quindi $a$ e $b$ sono entrambi divisibili per quale primo? 3
18.
Applica la dimostrazione di Euclide con i primi $2, 3, 5, 7, 11, 13$ e trova i fattori primi di $N$ .
Risposta: 509
1. Quanto vale $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ ? 30030
2. Quanto vale $N$ , il prodotto più 1? 30031
3. Qual è il resto della divisione di $N$ per $13$ ? 1
4. $N = 59 \times q$ . Quanto vale $q$ ? 509