Guida per l'insegnante: Dimostrazione per assurdo

Impara a dimostrare un enunciato supponendo che sia falso e mostrando che questo porta a qualcosa di impossibile, con dimostrazioni classiche come l'irrazionalità della radice quadrata di 2.

Presenta lezioneVisualizza pagina studente

Usa questa lezione in classe

Gratis, senza account per gli studenti.

Condividi con gli studenti

Gli studenti aprono la lezione e si esercitano con correzione immediata.

Scheda da stampare

Tutti gli esercizi su carta, con le soluzioni a parte.

Scheda di esercizi Soluzioni

Quiz di classe

10 domande su Dimostrazioni matematiche. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Scrivere la negazione corretta di un enunciato come prima riga di una dimostrazione
Spiegare perché arrivare a una contraddizione dimostra l'enunciato di partenza
Riprodurre le dimostrazioni classiche che la radice quadrata di 2 è irrazionale e che esistono infiniti primi
Applicare il principio dei cassetti a problemi di conteggio
Distinguere la dimostrazione per assurdo dalla dimostrazione diretta e dalla dimostrazione per contronominale

Prerequisiti

• Introduzione alle dimostrazioni matematiche: ipotesi, tesi, c.v.d.
• Dimostrazione diretta, compresi i fatti che i numeri pari si scrivono $2k$ e che il quadrato di un dispari è dispari
• Negazione e contronominale di un enunciato "se ... allora"
• Numeri razionali come frazioni e riduzione di una frazione ai minimi termini
• Numeri primi e fattori primi

Spunti di discussione

1. In che cosa una dimostrazione per assurdo somiglia a un detective che scagiona un sospettato?
2. Perché la dimostrazione che radice di 2 è irrazionale ha bisogno delle parole "ai minimi termini"?
3. Il numero di Euclide $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1$ non è primo. Questo rompe la dimostrazione?
4. Ti viene in mente un enunciato che sarebbe molto difficile da dimostrare direttamente ma facile per assurdo?

Idee sbagliate comuni

La negazione di "tutti" è "nessuno"

Rimedio: Usa un esempio della classe: "Tutti gli studenti in quest'aula portano gli occhiali" è falso appena UNO studente non li porta. Quindi la sua negazione è "almeno uno studente non porta gli occhiali".

Nella dimostrazione di Euclide il numero $p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ è sempre primo

Rimedio: Calcola $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$ . La dimostrazione richiede solo un fattore primo fuori dalla lista, non un nuovo primo uguale a $N$ .

La dimostrazione per assurdo è solo una dimostrazione diretta con qualche parola in più

Rimedio: Mostra una dimostrazione in cui l'ipotesi è indispensabile, come per radice di 2: senza supporre che $\frac{a}{b}$ esista, non c'è nulla con cui calcolare.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire dalle dimostrazioni del numero pari più grande e dei mesi di nascita, che usano solo il conteggio
• Esercitarsi a scrivere negazioni prima di scrivere qualsiasi dimostrazione
• Dare la dimostrazione per radice di 2 come traccia con uno spazio vuoto per ogni passo

Per studenti a livello:

• Dimostrare da soli che non esiste un razionale positivo più piccolo di tutti
• Riscrivere la dimostrazione di Euclide con i primi 2, 3 e 5 e controllare i numeri
• Risolvere problemi sui cassetti con calzini, compleanni e codici

Per studenti avanzati:

• Dimostrare che la radice quadrata di 3 è irrazionale e spiegare perché lo stesso metodo fallisce per la radice di 4
• Dimostrare che la somma di un razionale e di un irrazionale è irrazionale
• Confrontare una dimostrazione per contronominale e una per assurdo dello stesso enunciato

Allineamento agli standard

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni valide e valutare criticamente il ragionamento altrui
HSN-RN.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.B.3)
Spiegare perché la somma o il prodotto di due razionali è razionale e perché la somma di un razionale e di un irrazionale è irrazionale
8.NS.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.1)
Sapere che i numeri non razionali si chiamano irrazionali

Risorse della lezione

visualTavola di verità: P E NON P
Gli studenti verificano che P E NON P è falso in ogni riga, il cuore logico di ogni contraddizione
activityStaffetta delle negazioni
Le squadre scrivono a turno la negazione di enunciati con ogni, alcuni, nessuno, maggiore di e infiniti
worksheetTraccia per le dimostrazioni classiche
Versioni con spazi vuoti delle dimostrazioni per radice di 2, gli infiniti primi e il principio dei cassetti

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una dimostrazione per assurdo (detta anche dimostrazione indiretta) dimostra un enunciato

P

con un giro largo: supponi che

P

sia falso e mostri che questa ipotesi porta a qualcosa di impossibile. Poiché un ragionamento corretto non può mai ricavare un'impossibilità da un'ipotesi vera, l'ipotesi deve essere sbagliata, quindi

P

è vero.

Il metodo ha quattro passi:

1.Supporre la negazione: la prima riga è "Supponiamo per assurdo che $\neg P$ ."
2.Ragionare con definizioni e fatti noti, esattamente come in una dimostrazione diretta.
3.Arrivare a una contraddizione: un enunciato $Q$ e il suo contrario $\neg Q$ valgono entrambi (per esempio " $a/b$ è ridotta ai minimi termini" e " $a$ e $b$ sono entrambi pari"), oppure si viola un fatto noto (come $1 = 0$ ).
4.Concludere: l'ipotesi $\neg P$ era falsa, quindi $P$ è vero.

In simboli: se

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q)

, allora

P

. Funziona perché

Q \land \neg Q

è sempre falso. Nella tavola di verità interattiva più in basso in questa pagina scegli NOT per vedere che

\neg P

è sempre il contrario di

P

, poi scegli AND: nelle due righe in cui

Q

è il contrario di

P

(F, V e V, F),

P \land Q

vale F. Quindi

P \land \neg P

vale F in ogni riga (V = vero, F = falso).

Scrivere bene la negazione è la riga più importante della dimostrazione:

" $\sqrt{2}$ è irrazionale" diventa " $\sqrt{2}$ è razionale"
"Esistono infiniti numeri primi" diventa "Esiste solo un numero finito di numeri primi"
"Non esiste un numero pari più grande di tutti" diventa "Esiste un numero pari più grande di tutti"
" $x > 5$ " diventa " $x \le 5$ "
"Ogni ... ha la proprietà" diventa "Almeno un ... non ha la proprietà"

Assurdo o contronominale? Una dimostrazione per contronominale (lezione precedente) prova "se

p

, allora

q

" supponendo solo

\neg q

e puntando a un unico obiettivo fisso:

\neg p

. Una dimostrazione per assurdo suppone che tutto l'enunciato sia falso (per un enunciato "se ... allora":

p

\neg q

insieme) e può finire con una qualsiasi impossibilità.

Esempi svolti

Dimostra che non esiste un numero pari più grande di tutti gli altri.

Scrivi la negazione come prima riga

Supponiamo per assurdo che esista un numero pari più grande di tutti, $N$ → Ipotesi: $N$ è pari e $N \ge$ ogni numero pari

Usa la definizione di pari

$N = 2k$ per un intero $k$ , quindi $N + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)$ → $N + 2$ è pari

Confronta i due numeri

$N + 2 > N$ → Esiste un numero pari più grande di $N$

Individua la contraddizione e concludi

$N$ è il numero pari più grande, eppure $N + 2$ è un numero pari più grande → L'ipotesi è falsa

Risposta: L'ipotesi porta a una contraddizione, quindi non esiste un numero pari più grande di tutti. c.v.d.

Errori comuni

Negare "Esistono infiniti numeri primi" con "Non esistono numeri primi"

Perché è sbagliato: Il contrario di "infiniti" non è "nessuno". La negazione deve coprire tutti i casi in cui l'enunciato è falso, cioè "solo un numero finito".

Corretto: Supponi "Esiste solo un numero finito di numeri primi". Allo stesso modo, la negazione di "ogni primo è dispari" è "almeno un primo non è dispari", non "ogni primo è pari".

Negare $x > 5$ con $x < 5$

Perché è sbagliato: Si dimentica il caso $x = 5$ . Se la dimostrazione esclude solo $x < 5$ , il numero $5$ resta possibile.

Corretto: La negazione di $x > 5$ è $x \le 5$ , e la negazione di $x \ge 5$ è $x < 5$ .

Dimenticare "ai minimi termini" nella dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale

Perché è sbagliato: Senza questa condizione, scoprire che $a$ e $b$ sono entrambi pari non è affatto una contraddizione: $\frac{4}{2}$ ha numeratore e denominatore pari.

Corretto: Scrivi $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini. Ogni frazione si può semplificare, quindi non costa nulla, ed è proprio il fatto che la dimostrazione poi contraddice.

Chiamare contraddizione un risultato sorprendente

Perché è sbagliato: Un risultato che sembra strano (un numero molto grande, una frazione inattesa) non è impossibile. Una contraddizione deve scontrarsi con l'ipotesi o con un fatto noto.

Corretto: Indica i due enunciati che si scontrano, per esempio " $r$ è il più piccolo" e " $\frac{r}{2} < r$ ", e poi scrivi la conclusione.

Perché è importante

Alcuni dei risultati più famosi della matematica si dimostrano più comodamente per assurdo:

Numeri irrazionali: i Greci dimostrarono circa 2500 anni fa che $\sqrt{2}$ non è una frazione, e questo cambiò il modo di pensare ai numeri
Numeri primi: la dimostrazione di Euclide che i primi non finiscono mai è ancora usata in ogni corso di teoria dei numeri
Informatica: il principio dei cassetti spiega perché due file possono ricevere la stessa breve impronta (una collisione di hash) e perché nessuna compressione può ridurre tutti i file
Giochi di logica: risolvere un Sudoku spesso significa dire "se in questa casella ci fosse un 5, ci sarebbero due 5 nella stessa riga, quindi non è 5"
Ragionamento quotidiano: detective e medici escludono possibilità mostrando che portano a qualcosa di impossibile

Ogni volta che un enunciato afferma che qualcosa NON esiste (nessun numero più grande di tutti, nessuna frazione uguale a

\sqrt{2}

), la dimostrazione per assurdo è di solito lo strumento naturale.

Applicazioni nel mondo reale

Calzini dello stesso colore al buio

Il principio dei cassetti, dimostrato per assurdo, ti dice il numero minimo di oggetti che garantisce una ripetizione.

Esempio:

In un cassetto ci sono calzini neri, bianchi e grigi. Se potessi prendere 4 calzini tutti di colori diversi, ti servirebbero 4 colori, ma ce ne sono solo 3. Quindi 4 calzini contengono sempre una coppia dello stesso colore.

1Provaci tu stesso

In un cassetto ci sono calzini spaiati di 5 colori diversi ed è troppo buio per vederli.

Quanti calzini devi prendere per essere sicuro di averne due dello stesso colore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Numero di colori più uno:

Collisioni di hash in informatica

I computer assegnano ai file codici brevi chiamati hash. Poiché i file possibili sono più dei codici, a volte due file diversi devono condividere lo stesso codice.

Esempio:

Un sistema assegna a ogni file un codice da 00 a 99. Con 101 file, supporre che tutti i codici siano diversi richiederebbe 101 codici, ma ce ne sono solo 100, quindi due file condividono un codice.

2Provaci tu stesso

Un sistema assegna a ogni file un codice di 3 cifre da 000 a 999.

Quanti file garantiscono che due di loro abbiano lo stesso codice?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Numero di codici più uno:

Perché la calcolatrice non mostra mai la radice di 2 esatta

Poiché $\sqrt{2}$ è irrazionale, la sua espansione decimale non finisce mai e non si ripete mai. Ogni decimale sullo schermo è solo un'approssimazione, e gli ingegneri devono tenerne conto quando calcolano le diagonali.

Esempio:

Una piastrella quadrata di lato 1 m ha una diagonale di $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ m. Il valore 1,4142 è vicino, ma non esatto.

3Provaci tu stesso

Una calcolatrice mostra $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ .

Verifica che 1,4142 non è esattamente la radice quadrata di 2.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Eleva il decimale al quadrato:

Punti chiave

1Una dimostrazione per assurdo suppone che l'enunciato sia falso e mostra che questo porta a qualcosa di impossibile
2La prima riga è la negazione corretta: "infiniti" diventa "solo un numero finito", $x > 5$ diventa $x \le 5$ , "ogni" diventa "almeno un ... non"
3Una contraddizione sono due enunciati che non possono essere veri insieme, come $Q \land \neg Q$ , che è falso in ogni riga di una tavola di verità
4Risultati classici dimostrati così: $\sqrt{2}$ è irrazionale, esistono infiniti primi, non esiste un numero pari più grande di tutti né un razionale positivo più piccolo di tutti
5Il principio dei cassetti: se più di $n$ oggetti vanno in $n$ cassetti, almeno un cassetto contiene due oggetti
6La dimostrazione per contronominale prova direttamente "se non q, allora non p", mentre la dimostrazione per assurdo suppone falso tutto l'enunciato e cerca una qualsiasi impossibilità

Domande frequenti

Perché basta arrivare a una contraddizione?

Un ragionamento corretto a partire da enunciati veri produce solo enunciati veri. Se arriviamo a qualcosa di impossibile, almeno un punto di partenza era falso, e l'unico punto di partenza che abbiamo aggiunto noi è l'ipotesi

\neg P

. Quindi

\neg P

è falso e

P

è vero.

Quando conviene usare la dimostrazione per assurdo?

È una buona scelta quando l'enunciato afferma che qualcosa non esiste (nessun numero più grande di tutti, nessuna frazione uguale a

\sqrt{2}

) o che esistono infiniti oggetti di un certo tipo. In questi casi, supporre il contrario ti dà un oggetto concreto con cui lavorare.

La dimostrazione per assurdo è la stessa cosa della dimostrazione per contronominale?

No. La dimostrazione per contronominale prova direttamente "se non q, allora non p" e finisce con "non p". La dimostrazione per assurdo suppone che l'enunciato sia falso e può finire con una qualsiasi impossibilità. Ogni dimostrazione per contronominale si può riscrivere come dimostrazione per assurdo, ma non ogni dimostrazione per assurdo è una dimostrazione per contronominale.

Che cosa significa c.v.d. e che cos'è la "reductio ad absurdum"?

c.v.d. ("come volevasi dimostrare", in latino quod erat demonstrandum) segna la fine di una dimostrazione. Reductio ad absurdum, "riduzione all'assurdo", è il nome latino della dimostrazione per assurdo.

Glossario

Dimostrazione per assurdo: Una dimostrazione che suppone falso l'enunciato e ne ricava un'impossibilità, per cui l'enunciato deve essere vero (detta anche dimostrazione indiretta)
Contraddizione: Due enunciati che non possono essere veri insieme, come $Q$ e $\neg Q$ ; l'enunciato $Q \land \neg Q$ è sempre falso
Negazione: Il contrario di un enunciato, scritto $\neg P$ ; è vera esattamente quando $P$ è falso
Numero irrazionale: Un numero reale che non si può scrivere come frazione $\frac{a}{b}$ di interi, per esempio $\sqrt{2}$
Principio dei cassetti: Se si mettono più di $n$ oggetti in $n$ cassetti, almeno un cassetto contiene due o più oggetti

Scheda formule

Dimostrazione per assurdo

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \;\text{ quindi }\; P

Se supporre non P porta a una contraddizione, allora P è vero

Una contraddizione è sempre falsa

Q \land \neg Q = F

Un enunciato e la sua negazione non possono mai essere veri insieme

Principio dei cassetti

n + 1 \text{ oggetti in } n \text{ cassetti}

Almeno un cassetto riceve due o più oggetti

Altro su questo argomento

Guida per l'insegnante: Dimostrazione per assurdo

Usa questa lezione in classe

Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Calzini dello stesso colore al buio

Collisioni di hash in informatica

Perché la calcolatrice non mostra mai la radice di 2 esatta

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Dimostrazione per assurdo

Una contraddizione è sempre falsa

Principio dei cassetti

Altro su questo argomento

Introduzione alle dimostrazioni matematiche

Dimostrazione diretta

Dimostrazioni a due colonne

Dimostrazioni discorsive