Dimostrazioni a due colonne

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
In una dimostrazione a due colonne, quale giustificazione si scrive accanto all'affermazione 1?
1. a)Proprietà riflessiva
2. b)Definizione di angoli supplementari
3. c)Sostituzione
4. d)Ipotesi
Risposta: Ipotesi
Una dimostrazione parte dalle informazioni che ci vengono date, quindi l'affermazione 1 si giustifica con "Ipotesi".
2.
Ipotesi: $3x + 5 = 20$ . L'affermazione 2 usa la proprietà dell'uguaglianza (sottrarre 5 da entrambi i membri): $3x = \square$ . Quale numero va nel riquadro?
Risposta: 15
$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ dà $3x = 15$ , giustificato dalla proprietà dell'uguaglianza (sottrazione).
3.
Ipotesi: $x + 9 = 14$ . Tesi: $x = 5$ . Completa la dimostrazione a due colonne.
Risposta: 5
1. L'affermazione 1 è $x + 9 = 14$ (ipotesi). Quale numero sottrai da entrambi i membri? 9
2. Affermazione 2 (proprietà dell'uguaglianza, sottrazione): $x = ?$ 5
3. Quante affermazioni ha la dimostrazione finita? 2
4.
Quale giustificazione permette di scrivere $AB = AB$ ?
1. a)Proprietà transitiva
2. b)Sostituzione
3. c)Proprietà riflessiva
4. d)Proprietà simmetrica
Risposta: Proprietà riflessiva
$a = a$ è la proprietà riflessiva. La simmetrica trasforma $a = b$ in $b = a$ , la transitiva richiede due uguaglianze.
5.
Ipotesi: $\angle A$ e $\angle B$ sono complementari, $m\angle A = 34^\circ$ . Per la definizione di angoli complementari e la proprietà dell'uguaglianza (sottrazione), quanto vale $m\angle B$ ? Scrivi solo il numero di gradi.
Risposta: 56
$m\angle A + m\angle B = 90^\circ$ , quindi $34^\circ + m\angle B = 90^\circ$ e $m\angle B = 56^\circ$ .
6.
Ipotesi: $\angle 1$ e $\angle 2$ sono supplementari, $m\angle 1 = 120^\circ$ . Tesi: $m\angle 2 = 60^\circ$ .
Risposta: 60
1. Per la definizione di angoli supplementari, quanti gradi vale $m\angle 1 + m\angle 2$ ? 180
2. Per sostituzione, $120 + m\angle 2 = 180$ . Dopo la proprietà dell'uguaglianza (sottrazione), $m\angle 2 = ?$ 60
7.
Affermazione 1: $\frac{x}{4} = 3$ (ipotesi). Affermazione 2: $x = 12$ . Quale giustificazione permette l'affermazione 2?
1. a)Proprietà distributiva
2. b)Sostituzione
3. c)Proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione)
4. d)Proprietà dell'uguaglianza (divisione)
Risposta: Proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione)
Entrambi i membri sono stati moltiplicati per 4: $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ . È la proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione), anche se annulla una divisione.
8.
Ipotesi: $4(x + 3) = 36$ . Tesi: $x = 6$ .
Risposta: 6
1. Proprietà distributiva: l'affermazione 2 è $4x + \square = 36$ . Quale numero? 12
2. Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione): $4x = ?$ 24
3. Proprietà dell'uguaglianza (divisione): $x = ?$ 6
9.
I punti $A$ , $B$ , $C$ stanno su una retta in quest'ordine. $AB = 2x + 1$ , $BC = 7$ e $AC = 20$ . Usa il postulato dell'addizione di segmenti e dimostra il valore di $x$ . Quanto vale $x$ ?
Risposta: 6
$AB + BC = AC$ (addizione di segmenti), quindi $2x + 1 + 7 = 20$ (sostituzione), $2x + 8 = 20$ , $2x = 12$ (sottrazione), $x = 6$ (divisione).
10.
$\angle 1$ e $\angle 3$ sono opposti al vertice, con $m\angle 1 = (4x + 5)^\circ$ e $m\angle 3 = 65^\circ$ . Tesi: $x = 15$ .
Risposta: 15
1. Teorema degli angoli opposti al vertice: $4x + 5 = \square$ . Quale numero? 65
2. Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione): $4x = ?$ 60
3. Proprietà dell'uguaglianza (divisione): $x = ?$ 15
11.
Dimostrazione: 1. $5x - 2 = 3x + 8$ (ipotesi); 2. $2x - 2 = 8$ (proprietà dell'uguaglianza, sottrazione); 3. $2x = 10$ (?); 4. $x = 5$ (proprietà dell'uguaglianza, divisione). Quale giustificazione va al passo 3?
1. a)Proprietà dell'uguaglianza (divisione)
2. b)Proprietà dell'uguaglianza (addizione)
3. c)Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione)
4. d)Proprietà transitiva
Risposta: Proprietà dell'uguaglianza (addizione)
Da $2x - 2 = 8$ a $2x = 10$ si è aggiunto 2 a entrambi i membri: proprietà dell'uguaglianza (addizione).
12.
Ipotesi: $\frac{x}{2} - 3 = 4$ . Dimostra il valore di $x$ con la proprietà dell'uguaglianza (addizione) e poi (moltiplicazione). Quanto vale $x$ ?
Risposta: 14
Addizione: $\frac{x}{2} = 7$ . Moltiplicazione (per 2): $x = 14$ . Verifica: $\frac{14}{2} - 3 = 4$ .
13.
Ipotesi: $7x - 4 = 3x + 16$ . Tesi: $x = 5$ .
Risposta: 5
1. Proprietà dell'uguaglianza (sottrarre $3x$ ): l'affermazione 2 è $\square x - 4 = 16$ . Quale numero? 4
2. Proprietà dell'uguaglianza (addizione): $4x = ?$ 20
3. Proprietà dell'uguaglianza (divisione): $x = ?$ 5
14.
Trova l'errore. 1. $\frac{x}{3} + 2 = 6$ (ipotesi); 2. $\frac{x}{3} = 4$ (proprietà dell'uguaglianza, sottrazione); 3. $x = 12$ (proprietà dell'uguaglianza, divisione). Quale parte della dimostrazione è sbagliata?
1. a)Giustificazione 2
2. b)Affermazione 2
3. c)Giustificazione 3
4. d)Affermazione 3
Risposta: Giustificazione 3
Tutte le affermazioni sono vere: $\frac{x}{3} = 4$ e $x = 12$ . Ma il passo 3 moltiplica entrambi i membri per 3 ( $\frac{x}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$ ), quindi la giustificazione 3 deve essere la proprietà dell'uguaglianza (moltiplicazione).
15.
$\angle 1$ e $\angle 3$ sono opposti al vertice, con $m\angle 1 = (5x - 10)^\circ$ e $m\angle 3 = (3x + 20)^\circ$ . Dimostra il valore di $x$ , poi calcola $m\angle 1$ . Scrivi solo il numero di gradi.
Risposta: 65
Angoli opposti al vertice: $5x - 10 = 3x + 20$ . Sottrazione: $2x - 10 = 20$ . Addizione: $2x = 30$ . Divisione: $x = 15$ . Sostituzione: $m\angle 1 = 5 \cdot 15 - 10 = 65^\circ$ (e $m\angle 3 = 3 \cdot 15 + 20 = 65^\circ$ ).
16.
$\angle 1$ e $\angle 2$ sono angoli adiacenti, $m\angle 1 = (3x + 10)^\circ$ e $m\angle 2 = (2x + 20)^\circ$ . Tesi: $m\angle 1 = 100^\circ$ .
Risposta: 100
1. Gli angoli adiacenti sono supplementari: $(3x + 10) + (2x + 20) = ?$ 180
2. Semplificando: $5x + 30 = 180$ . Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione): $5x = ?$ 150
3. Proprietà dell'uguaglianza (divisione): $x = ?$ 30
4. Sostituzione: $m\angle 1 = 3 \cdot 30 + 10 = ?$ 100
17.
I punti $A$ , $B$ , $C$ stanno su una retta in quest'ordine. $AB = x + 4$ , $BC = 2x + 5$ e $AC = 30$ . Tesi: $AB = 11$ .
Risposta: 11
1. Addizione di segmenti e sostituzione: $(x + 4) + (2x + 5) = 30$ . Semplificato: $3x + \square = 30$ . Quale numero? 9
2. Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione): $3x = ?$ 21
3. Proprietà dell'uguaglianza (divisione): $x = ?$ 7
4. Sostituzione: $AB = x + 4 = ?$ 11
18.
Il punto $C$ è interno all'angolo retto $\angle ABD$ . $m\angle ABC = (2x)^\circ$ e $m\angle CBD = (3x + 15)^\circ$ . Tesi: $m\angle CBD = 60^\circ$ .
Risposta: 60
1. Addizione di angoli e definizione di angolo retto: $2x + (3x + 15) = ?$ 90
2. Semplificando: $5x + 15 = 90$ . Proprietà dell'uguaglianza (sottrazione): $5x = ?$ 75
3. Proprietà dell'uguaglianza (divisione): $x = ?$ 15
4. Sostituzione: $m\angle CBD = 3 \cdot 15 + 15 = ?$ 60