La formula del cono è collegata?

Sì. Un cono è come una piramide a base circolare: $V = \frac{1}{3}Bh$ con $B = \pi r^2$ dà $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, la stessa regola del terzo.

La formula funziona se il vertice non è sopra il centro della base?

Sì. Una piramide obliqua ha lo stesso volume di una piramide retta con la stessa base e la stessa altezza perpendicolare. Basta misurare $h$ in verticale, dal piano della base fino al vertice.

E se la base ha 5 o 6 lati?

La formula $V = \frac{1}{3}Bh$ vale per qualsiasi base. Cambia solo come trovi $B$: dividi il poligono in triangoli o usa la sua formula dell'area, poi moltiplica per $h$ e dividi per 3.

Risorse per insegnanti

Volume delle piramidi

Impara a calcolare il volume delle piramidi a base quadrata, rettangolare e triangolare con V = (1/3)Bh, e a trovare l'altezza a partire dall'apotema.

Avanzato25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Una piramide è un solido con una base piana (un poligono) e facce triangolari che si incontrano tutte in un punto in alto, chiamato vertice.

Il volume di ogni piramide segue un'unica regola:

V = \frac{1}{3}Bh

Dove:

$B$ = l'area di base (calcolala sempre per prima)
$h$ = l'altezza della piramide: la distanza verticale dal vertice alla base, perpendicolare ad essa

Trovare B per basi diverse

Base	Area di base $B$	Volume
Quadrato, lato $s$	$B = s^2$	$V = \frac{1}{3}s^2h$
Rettangolo, $l$ per $w$	$B = l \times w$	$V = \frac{1}{3}lwh$
Triangolo, base $b$ , altezza $h_b$	$B = \frac{1}{2} \times b \times h_b$	$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h$

Perché un terzo?

Prendi un prisma e una piramide con la stessa base e la stessa altezza. La piramide contiene esattamente un terzo del prisma: puoi versare tre piramidi piene di sabbia nel prisma. Quindi

V_{\text{piramide}} = \frac{1}{3}V_{\text{prisma}} = \frac{1}{3}Bh

Altezza e apotema

L'apotema

l

corre lungo una faccia triangolare, dal vertice al punto medio di uno spigolo di base. È più lungo di

h

. In una piramide a base quadrata,

h

, metà del lato e

l

formano un triangolo rettangolo, quindi

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Prova subito

Quale formula dà il volume di ogni piramide? (

B

= area di base,

h

= altezza)

Esempi svolti

Una piramide ha una base quadrata con lato di $6$ cm e un'altezza di $10$ cm. Qual è il suo volume?

Calcola l'area di base

$B = s^2 = 6^2 = 36$ → $B = 36$ cm²

Moltiplica per l'altezza

$B \times h = 36 \times 10 = 360$ → $360$ (questo sarebbe il prisma)

Prendi un terzo

$V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ → $V = 120$ cm³

Risposta: Il volume è $120$ cm³.

Errori comuni

Dimenticare l' $\frac{1}{3}$ e calcolare $V = Bh$

Perché è sbagliato: $Bh$ è il volume del prisma con la stessa base e la stessa altezza. Una piramide ne riempie solo un terzo.

Corretto: Finisci sempre con $\div 3$ : una piramide a base quadrata con $s = 6$ e $h = 10$ ha $V = 360 \div 3 = 120$ , non $360$ .

Usare l'apotema al posto dell'altezza perpendicolare

Perché è sbagliato: L'apotema corre lungo una faccia inclinata, quindi è più lungo della vera altezza. Con esso il volume risulta troppo grande.

Corretto: Usa l'altezza che incontra la base ad angolo retto. Se è dato solo l'apotema, trova $h$ con $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$ .

Mettere la lunghezza di un lato al posto dell'area di base

Perché è sbagliato: $B$ è un'area, non una lunghezza. Scrivere $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ per una base quadrata di lato $6$ dimentica un intero fattore.

Corretto: Calcola prima $B$ : $B = 6^2 = 36$ , poi $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$ .

Dimenticare l' $\frac{1}{2}$ in una base triangolare

Perché è sbagliato: L'area di un triangolo è metà di base per altezza, quindi $b \times h_b$ da solo è il doppio del giusto.

Corretto: Per una base triangolare con $b = 6$ e $h_b = 4$ : $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ , non $24$ .

Visuale interattivo

Visualizzatore 3D

Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Lunghezza (6)

Altezza (10)

Facce

Spigoli

Vertici

Formula di Euler: F + V − S = 5 + 5 − 8 = 2

Volume

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 6² · 10 = 120

120 cm³

Area di superficie

SA = B + ½Pl

SA = 6² + ½ · 24 · 10,44 ≈ 161,28

161,28 cm²

l = √(10² + 3²) ≈ 10,44

Visualizzatore 3D

Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Base (6)

Altezza del triangolo (4)

Altezza (9)

Facce

Spigoli

Vertici

Formula di Euler: F + V − S = 4 + 4 − 6 = 2

Volume

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 12 · 9 = 36

36 cm³

Area di superficie

SA = B + ½(a·l₁ + b·l₂ + c·l₃)

SA = 12 + ½(6 · 9,1 + 5 · 9,14 + 5 · 9,14) ≈ 85

85 cm²

B = ½ · 6 · 4 = 12

l₁ = √(9² + 1,33²) ≈ 9,1

l₂ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

l₃ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

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Prova questi:

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale formula dà il volume di ogni piramide? ( $B$ = area di base, $h$ = altezza)

Perché è importante

Le forme a piramide sono ovunque, e il loro volume ti dice quanto spazio, aria o materiale contengono:

Monumenti antichi: la Grande Piramide di Giza contiene circa 2,6 milioni di metri cubi di pietra
Edifici moderni: la piramide di vetro del Louvre a Parigi ha un volume di circa $9000$ m³ d'aria da riscaldare o raffreddare
Campeggio: il volume di una tenda a piramide ti dice quanto spazio hai dentro
Tetti: i costruttori stimano lo spazio del sottotetto e l'aria da riscaldare sotto un tetto a piramide
Confezioni e alimenti: bustine di tè a piramide, cioccolatini e candele

La stessa idea del terzo dà anche il volume del cono, quindi ciò che impari qui ti aiuta con ogni solido appuntito.

Applicazioni nel mondo reale

La Grande Piramide di Giza

Gli storici stimano quanta pietra spostarono gli Egizi trattando la Grande Piramide come una piramide a base quadrata.

Esempio:

Quando fu costruita, la piramide aveva una base quadrata di circa $230$ m di lato ed era alta circa $147$ m.

1Provaci tu stesso

Usa per la Grande Piramide una base quadrata di $230$ m di lato e un'altezza di $147$ m.

Qual era il suo volume in metri cubi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Area di base per altezza, diviso 3:

Tende a piramide

I produttori di attrezzatura da campeggio indicano il volume interno delle tende così puoi confrontare quanto sono spaziose.

Esempio:

Una tenda con pavimento quadrato di $2$ m per $2$ m e un palo centrale di $1{,}5$ m è una piramide a base quadrata.

2Provaci tu stesso

Una tenda a piramide ha un pavimento quadrato con lato di $2$ m. Il suo palo centrale è alto $1{,}5$ m.

Quanta aria c'è dentro la tenda?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\frac{1}{3} \times 2^2 \times 1{,}5$ :

Tetti a piramide

I tecnici del riscaldamento hanno bisogno del volume d'aria sotto un tetto per scegliere una caldaia o un ventilatore.

Esempio:

Un tetto a piramide (tetto a padiglione che termina in un punto) poggia su una casa a pianta rettangolare.

3Provaci tu stesso

Un tetto a piramide copre una casa rettangolare di $10$ m per $9$ m. La cima del tetto è $4$ m sopra il soffitto.

Qual è il volume del sottotetto?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\frac{1}{3} \times 10 \times 9 \times 4$ :

Punti chiave

1Il volume di ogni piramide è $V = \frac{1}{3}Bh$ , dove $B$ è l'area di base e $h$ l'altezza perpendicolare
2Calcola prima $B$ : $s^2$ per un quadrato, $l \times w$ per un rettangolo, $\frac{1}{2} \times b \times h_b$ per un triangolo
3Una piramide contiene esattamente un terzo del prisma con la stessa base e altezza
4Usa l'altezza perpendicolare, non l'apotema; se serve, trovala con $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$
5Per trovare l'altezza dal volume, usa $h = \frac{3V}{B}$
6Il volume si esprime sempre in unità cubiche (cm³, m³)

Domande frequenti

Una piramide si restringe fino a un punto, quindi contiene meno di un prisma con la stessa base e altezza. Gli esperimenti con sabbia o acqua mostrano che esattamente tre piramidi riempiono il prisma. Si può anche dimostrare: un cubo si può dividere in tre piramidi uguali, ognuna con una faccia del cubo come base.

Glossario

Piramide: Un solido con un poligono come base e facce triangolari che si incontrano in un punto (il vertice)
Vertice: Il punto più alto di una piramide, dove si incontrano tutte le facce triangolari
Area di base (B): L'area della base della piramide, misurata in unità quadrate
Altezza (h): La distanza dal vertice alla base, misurata perpendicolarmente alla base
Apotema (l): La distanza dal vertice al punto medio di uno spigolo di base, misurata lungo una faccia triangolare

Scheda formule

Ogni piramide

V = \frac{1}{3}Bh

Un terzo dell'area di base per l'altezza perpendicolare

Base quadrata

V = \frac{1}{3}s^2h

L'area di base è il lato al quadrato

Base rettangolare

V = \frac{1}{3}lwh

L'area di base è lunghezza per larghezza

Base triangolare

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h

Metà della base del triangolo per la sua altezza dà B

Altezza dall'apotema

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Pitagora in una piramide a base quadrata

Altezza dal volume

h = \frac{3V}{B}

Moltiplica il volume per 3, poi dividi per l'area di base

Altro su questo argomento

Definizione

Trovare B per basi diverse

Perché un terzo?

Altezza e apotema

Esempi svolti

Errori comuni

Visuale interattivo

Visualizzatore 3D

Visualizzatore 3D

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Cronologia

Esercizi pratici

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

La Grande Piramide di Giza

Tende a piramide

Tetti a piramide

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Ogni piramide

Base quadrata

Base rettangolare

Base triangolare

Altezza dall'apotema

Altezza dal volume

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Introduzione al volume

Unità di volume metriche (mL, L)

Volume dei parallelepipedi rettangoli

Unità di volume imperiali (tazza, pinta, gallone)