Volume dei solidi composti

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Un solido è un cilindro con un cono sopra, in modo che la base circolare del cono poggi esattamente sulla faccia superiore del cilindro. Come calcoli il volume dell'intero solido?
1. a)Sottrarre il volume del cono dal volume del cilindro
2. b)Usare solo il cilindro, perché il cono è troppo piccolo
3. c)Moltiplicare il volume del cilindro per il volume del cono
4. d)Sommare il volume del cilindro e il volume del cono
Risposta: Sommare il volume del cilindro e il volume del cono
Il cono è attaccato al cilindro, quindi il solido occupa lo spazio di entrambe le parti: $V = V_{\text{cilindro}} + V_{\text{cono}}$ . Si sottrae solo quando una parte viene tolta.
2.
Un cubo con spigolo di $4$ cm è incollato sopra un cubo più grande con spigolo di $6$ cm. Qual è il volume totale del solido in cm³?
Risposta: 280
Cubo piccolo: $4^3 = 64$ cm³. Cubo grande: $6^3 = 216$ cm³. Totale: $64 + 216 = 280$ cm³.
3.
Un blocco a gradino è formato da due parallelepipedi. Quello in basso è lungo $8$ cm, largo $4$ cm e alto $2$ cm. Sopra c'è un secondo parallelepipedo lungo $4$ cm, largo $4$ cm e alto $2$ cm. Calcola il volume totale in cm³.
Risposta: 96
1. Qual è il volume del parallelepipedo in basso in cm³? 64
2. Qual è il volume del parallelepipedo in alto in cm³? 32
3. Qual è il volume totale in cm³? 96
4.
Quale espressione dà il volume di una semisfera (mezza sfera) di raggio $r$ ?
1. a) $\frac{1}{3}\pi r^3$
2. b) $2\pi r^2$
3. c) $\frac{4}{3}\pi r^3$
4. d) $\frac{2}{3}\pi r^3$
Risposta: $\frac{2}{3}\pi r^3$
Una semisfera è mezza sfera: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . $\frac{4}{3}\pi r^3$ è la sfera intera e $2\pi r^2$ è un'area, non un volume.
5.
Un piccolo capanno è un cubo con spigolo di $2$ m. Il tetto è una piramide a base quadrata di $2$ m per $2$ m (la faccia superiore del cubo) e altezza $1{,}5$ m. Qual è il volume totale del capanno in m³?
Risposta: 10
Cubo: $2^3 = 8$ m³. Piramide: $\frac{1}{3} \times 4 \times 1{,}5 = 2$ m³. Totale: $8 + 2 = 10$ m³.
6.
Una casa modello è un parallelepipedo lungo $6$ m, largo $4$ m e alto $3$ m, con un tetto a piramide sopra. Il tetto ha la stessa base rettangolare di $6$ m per $4$ m e un'altezza di $2$ m. Calcola il volume totale in m³.
Risposta: 88
1. Qual è il volume del parallelepipedo in m³? 72
2. Qual è l'area di base $B$ del tetto in m²? 24
3. Qual è il volume del tetto in m³? 16
4. Qual è il volume totale in m³? 88
7.
Un cubo di legno ha spigolo di $10$ cm. Da un angolo si ritaglia un cubetto con spigolo di $4$ cm. Quanto legno resta, in cm³?
Risposta: 936
1. Qual è il volume del cubo intero in cm³? 1000
2. Qual è il volume del pezzo ritagliato in cm³? 64
3. Quanto legno resta in cm³? 936
8.
Un modellino di razzo è alto $15$ cm: un cilindro con raggio $2$ cm e altezza $9$ cm, con sopra un cono di raggio $2$ cm e altezza $6$ cm. Quale espressione dà il suo volume?
1. a) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
2. b) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15$
3. c) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \pi \cdot 2^2 \cdot 6$
4. d) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Risposta: $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Cilindro con la sua altezza $9$ più cono con la sua altezza $6$ e il fattore $\frac{1}{3}$ : $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 36\pi + 8\pi = 44\pi$ . L'altezza totale $15$ non compare in nessuna formula.
9.
Un pastello a cera è un cilindro con raggio $1$ cm e lunghezza $9$ cm, con una punta a forma di cono di raggio $1$ cm e altezza $3$ cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ per calcolare il suo volume in cm³.
Risposta: 31.4
1. Qual è il volume del cilindro in cm³? 28.26
2. Qual è il volume del cono in cm³? 3.14
3. Qual è il volume totale in cm³? 31.4
10.
Un cono gelato ha raggio $3$ cm e altezza $8$ cm ed è completamente pieno. Sopra c'è una pallina a forma di semisfera con raggio $3$ cm. Il volume totale di gelato è $k\pi$ cm³. Quanto vale $k$ ?
Risposta: 42
Cono: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 8 = 24\pi$ . Semisfera: $\frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ . Totale: $24\pi + 18\pi = 42\pi$ , quindi $k = 42$ .
11.
Un contenitore a forma di capsula è un cilindro con raggio $3$ cm e lunghezza $12$ cm, con una semisfera di raggio $3$ cm a ogni estremità. Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda il volume totale al cm³ intero.
Risposta: 452
1. Qual è il volume del cilindro in cm³? 339.12
2. Qual è il volume delle due semisfere insieme in cm³? 113.04
3. Qual è il totale esatto con $\pi \approx 3{,}14$ , in cm³? 452.16
4. Arrotonda al cm³ intero. 452
12.
Un blocco di legno è lungo $10$ cm, largo $10$ cm e alto $6$ cm. Un foro cilindrico di raggio $2$ cm lo attraversa dritto per tutta l'altezza di $6$ cm. Con $\pi \approx 3{,}14$ , quanto legno resta, arrotondato ai decimi?
1. a)675,4 cm³
2. b)524,6 cm³
3. c)600 cm³
4. d)298,6 cm³
Risposta: 524,6 cm³
Blocco: $600$ cm³. Foro: $3{,}14 \times 4 \times 6 = 75{,}36$ cm³. Resta: $600 - 75{,}36 = 524{,}64 \approx 524{,}6$ cm³. Sommando si ottiene $675{,}4$ , e usando il diametro $4$ come raggio si ottiene $298{,}6$ .
13.
Un silo è un cilindro con raggio $2$ m e altezza $8$ m, con un tetto a forma di semisfera di raggio $2$ m. Usa $\pi \approx 3{,}14$ . Qual è il volume del silo in m³, arrotondato all'unità?
Risposta: 117
Cilindro: $\pi \times 2^2 \times 8 = 32\pi$ . Semisfera: $\frac{2}{3}\pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ . Totale: $\frac{112}{3}\pi \approx \frac{112 \times 3{,}14}{3} \approx 117{,}23$ , quindi circa $117$ m³.
14.
Un cilindro pieno ha raggio $6$ cm e altezza $10$ cm. Al suo interno si scava un cono con la stessa base (raggio $6$ cm) e la stessa altezza ( $10$ cm), con la punta rivolta verso il basso. Usa $\pi \approx 3{,}14$ per calcolare il volume di materiale che resta, in cm³.
Risposta: 753.6
1. Qual è il volume del cilindro in cm³? 1130.4
2. Qual è il volume del cono in cm³? 376.8
3. Quanto materiale resta in cm³? 753.6
15.
Un tubo di metallo è lungo $50$ cm. Il raggio esterno è $6$ cm e il raggio interno (il foro) è $5$ cm. Quale espressione dà il volume di metallo del tubo?
1. a) $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50$
2. b) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50$
3. c) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 + \pi \cdot 5^2 \cdot 50$
4. d) $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Risposta: $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Metallo = cilindro esterno meno foro: $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 - \pi \cdot 5^2 \cdot 50 = \pi (6^2 - 5^2) \cdot 50 = 550\pi$ . La scelta $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50 = 50\pi$ sottrae i raggi prima di elevarli al quadrato, ed è sbagliata.
16.
Un tubo di scarico in calcestruzzo è lungo $200$ cm. Il raggio esterno è $10$ cm e il raggio interno è $8$ cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ per trovare quanti litri di calcestruzzo contiene ( $1$ L $= 1000$ cm³).
Risposta: 22.608
1. Qual è il volume del cilindro esterno in cm³? 62800
2. Qual è il volume del foro in cm³? 40192
3. Qual è il volume di calcestruzzo in cm³? 22608
4. Quanti litri sono? 22.608
17.
Un acquario è un parallelepipedo lungo $30$ cm, largo $20$ cm e alto $20$ cm. Dentro c'è una decorazione piena a forma di cilindro, con raggio $5$ cm e altezza $20$ cm, in piedi. Con $\pi \approx 3{,}14$ , quanti litri d'acqua servono per riempire il resto dell'acquario? ( $1$ L $= 1000$ cm³)
Risposta: 10.43
Acquario: $30 \times 20 \times 20 = 12000$ cm³. Decorazione: $3{,}14 \times 5^2 \times 20 = 1570$ cm³. Acqua: $12000 - 1570 = 10430$ cm³ $= 10{,}43$ L.
18.
Un solido è un cilindro con sopra una semisfera, entrambi con raggio $3$ cm. Il suo volume totale è $90\pi$ cm³. Quanto è alta la parte cilindrica? (Lavora in funzione di $\pi$ .)
Risposta: 8
1. La semisfera ha volume $k\pi$ cm³. Quanto vale $k$ ? 18
2. La parte cilindrica ha volume $m\pi$ cm³. Quanto vale $m$ ? 72
3. Risolvi $\pi \times 3^2 \times h = 72\pi$ . Quanto vale $h$ in cm? 8