Guida per l'insegnante: Aritmetica modulare

Impara l'aritmetica dell'orologio: resti, a mod n, congruenza modulo n e come usarli per i giorni della settimana, le cifre di controllo e l'ultima cifra di potenze enormi.

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10 domande su Proprietà dei Numeri. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Calcolare $a \bmod n$ per numeri interi positivi e negativi
Stabilire se due numeri sono congrui modulo $n$ usando i resti o la loro differenza
Sommare, sottrarre e moltiplicare modulo $n$ riducendo prima i numeri
Risolvere problemi di orologi e calendari con modulo 12, 24 e 7
Usare i cicli delle potenze e le cifre di controllo (EAN-13, ISBN-10) come applicazioni dell'aritmetica modulare

Prerequisiti

• Divisione con resto tra numeri interi
• Numeri pari e dispari (lezione 1 di questo argomento): pari e dispari sono i resti 0 e 1 modulo 2
• Multipli, divisori e divisibilità
• Potenze con esponente naturale

Spunti di discussione

1. Un orologio segna le 9. Che cosa segnerà tra 100 ore, e come puoi scoprirlo senza contare ora per ora?
2. Perché i giorni della settimana si ripetono ogni 7 giorni, e che cosa c'entra con i resti?
3. $-1$ è congruo a $11$ modulo 12? Che cosa significa su un orologio?
4. Come fa uno scanner di codici a barre ad accorgersi che una cifra è stata letta male?

Idee sbagliate comuni

Il risultato di $a \bmod n$ è il quoziente della divisione

Rimedio: Scrivere sempre la riga completa $a = q \times n + r$ e cerchiare $r$ . Sul quadrante il quoziente è il numero di giri, il resto è il punto in cui la lancetta si ferma.

Il resto di un numero negativo è negativo ( $-3 \bmod 12 = -3$ )

Rimedio: Far girare la lancetta all'indietro: 3 ore prima delle 12 sono le 9. Poi mostrare la regola: aggiungere 12 finché il numero è tra 0 e 11.

Congruo vuol dire uguale, quindi $38 \equiv 14 \pmod{12}$ deve essere falso

Rimedio: Mostrare i due numeri sul quadrante delle congruenze: cadono nella stessa posizione. Congruo vuol dire stesso resto, e la differenza $24$ è un multiplo di 12.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare solo con l'orologio (modulo 12) e poche ore prima di usare altri moduli
• Usare un quadrante stampato e spostare una pedina passo dopo passo prima di dividere
• Esercitarsi a scrivere la riga $a = q \times n + r$ con la tavola pitagorica a portata di mano

Per studenti a livello:

• Risolvere problemi sui giorni della settimana per 100, 365 e 1000 giorni
• Ridurre prima in somme e prodotti e poi verificare con la calcolatrice e mod(a, n)
• Trovare il ciclo delle ultime cifre delle potenze di 2, 3, 7 e 9

Per studenti avanzati:

• Dimostrare la regola della riduzione per i prodotti con $a = pn + r$ e $b = qn + s$
• Mostrare che il controllo dell'ISBN-10 rileva ogni singola cifra sbagliata, usando il fatto che 11 è primo
• Trovare tutte le soluzioni di $3x \equiv 1 \pmod{7}$ e spiegare perché $2x \equiv 1 \pmod{6}$ non ne ha

Allineamento agli standard

6.NS.B.2 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.2)
Dividere con sicurezza numeri a più cifre con l'algoritmo standard
4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Trovare tutte le coppie di divisori di un numero naturale e riconoscere i multipli
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Cercare e sfruttare la struttura
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Cercare ed esprimere regolarità nei ragionamenti ripetuti

Risorse della lezione

visualOrologio modulare interattivo
Gli studenti aggiungono 100 ore o 100 giorni su un quadrante, contano i giri e leggono il resto
activityDetective del calendario
A coppie trovano il giorno della settimana del loro compleanno l'anno prossimo e di una data tra 1000 giorni, poi verificano con un calendario vero
worksheetLaboratorio delle cifre di controllo
Gli studenti verificano codici a barre e ISBN veri dei libri della classe e scoprono quale contiene un errore di battitura

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

L'aritmetica modulare è il calcolo con i resti. Fissi un numero intero

n \geq 2

, il modulo, e di un numero tieni solo il suo resto nella divisione per

n

a = q \times n + r, \qquad a \bmod n = r, \qquad 0 \leq r \leq n - 1

Per esempio,

17 \bmod 5 = 2

perché

17 = 3 \times 5 + 2

Due numeri sono congrui modulo n quando danno lo stesso resto. È come dire che

n

divide la loro differenza:

a \equiv b \pmod{n} \iff n \text{ divide } a - b

Quindi

38 \equiv 14 \pmod{12}

, perché

38 - 14 = 24 = 2 \times 12

(entrambi danno resto

2

Un orologio funziona esattamente così: dopo 12 ore la lancetta torna al punto di partenza, quindi le 15 e le 3 sono la stessa posizione,

15 \equiv 3 \pmod{12}

. In somme, differenze e prodotti puoi sostituire prima ogni numero con il suo resto e ridurre il risultato ancora una volta alla fine.

Esempi svolti

Calcola

47 \bmod 6

Trova il più grande multiplo di 6 che non supera 47

6 \times 7 = 42

, mentre

6 \times 8 = 48

è già troppo grande →

42

Scrivi 47 come quoziente per 6 più resto

47 = 7 \times 6 + 5

→ resto

5

Controlla che il resto sia tra 0 e 5

0 \leq 5 \leq 5

, quindi è un resto valido →

47 \bmod 6 = 5

Risposta: $47 \bmod 6 = 5$ , quindi $47 \equiv 5 \pmod{6}$ . Il quoziente $7$ non fa parte della risposta.

Errori comuni

Scrivere $-3 \bmod 12 = -3$ (oppure $3$ )

Perché è sbagliato: Un resto deve essere uno dei numeri $0, 1, \ldots, n - 1$ . Tornando indietro di 3 ore dalle 12 non arrivi né a un numero negativo né al 3.

Corretto: Aggiungi il modulo finché il numero è nell'intervallo: $-3 + 12 = 9$ , quindi $-3 \bmod 12 = 9$ .

Dire che le 9 più 4 ore fanno le 13 su un orologio da 12 ore

Perché è sbagliato: La somma $9 + 4 = 13$ è giusta, ma manca l'ultima riduzione. Ogni risultato va ridotto ancora una volta.

Corretto: $13 \bmod 12 = 1$ : l'orologio segna l'1.

Dare il quoziente invece del resto: $47 \bmod 6 = 7$

Perché è sbagliato: $47 : 6 = 7$ con resto $5$ . L'operazione mod tiene solo ciò che avanza, non quante volte il 6 sta nel 47.

Corretto: $47 \bmod 6 = 5$ , perché $47 = 7 \times 6 + 5$ .

Ridurre l'esponente con il modulo: $2^9 \bmod 7$ diventa $2^2 = 4$ perché $9 \bmod 7 = 2$

Perché è sbagliato: Puoi ridurre la base modulo $n$ , ma non l'esponente. L'esponente segue la lunghezza del ciclo delle potenze, che qui è 3 e non 7.

Corretto: Le potenze di 2 modulo 7 sono $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (ciclo di lunghezza 3). $9 \bmod 3 = 0$ , quindi $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$ . Verifica: $512 = 73 \times 7 + 1$ .

Perché è importante

L'aritmetica modulare è la matematica di tutto ciò che gira in tondo:

Il tempo: gli orologi contano modulo 12 o 24, i giorni della settimana modulo 7. Che ore saranno tra 100 ore? Che giorno sarà tra 100 giorni?
Le cifre di controllo: l'ultima cifra di un codice a barre (EAN-13) si sceglie modulo 10, quella di un ISBN-10 modulo 11, e l'IBAN di un conto bancario si verifica modulo 97. Basta una cifra sbagliata e il controllo fallisce.
I numeri enormi: puoi trovare a mente l'ultima cifra di $3^{100}$ (un numero di 48 cifre), perché le ultime cifre sono resti modulo 10 e si ripetono in un ciclo.
L'informatica: le tabelle hash, i generatori di numeri casuali e la crittografia RSA dietro l'home banking calcolano tutti modulo $n$ .

Conosci già un caso: pari e dispari è semplicemente il calcolo modulo 2 (resto 0 o 1).

Applicazioni nel mondo reale

Calendari: che giorno sarà?

Una settimana ha 7 giorni, quindi i giorni della settimana si ripetono modulo 7. Le app di calendario, gli orari e gli indovinelli sui compleanni lo usano di continuo.

Esempio:

Un anno normale ha $365$ giorni e $365 = 52 \times 7 + 1$ . Quindi un compleanno che quest'anno cade di lunedì l'anno prossimo cadrà di martedì (a meno che in mezzo ci sia un 29 febbraio).

1Provaci tu stesso

Oggi è mercoledì. Il tuo scambio all'estero inizia tra esattamente 100 giorni. Numera i giorni lunedì $= 0$ , martedì $= 1$ e così via fino a domenica $= 6$ .

In che giorno della settimana inizia lo scambio?

Passo 1: Scegli la risposta giusta

Scegli il giorno:

Codici a barre e cifre di controllo

L'ultima cifra di ogni codice a barre EAN-13 è una cifra di controllo, scelta con l'aritmetica modulo 10. Lo scanner la ricalcola e rifiuta un codice con una cifra letta male.

Esempio:

Per il codice del libro $978030640615$ la somma pesata (pesi $1, 3, 1, 3, \ldots$ ) è $93$ , e $93 \bmod 10 = 3$ . La cifra di controllo è $10 - 3 = 7$ , quindi il codice completo è $9780306406157$ .

2Provaci tu stesso

Un negozio crea un codice prodotto con le 12 cifre $400123456789$ . Le cifre nelle posizioni 1, 3, 5, ... contano una volta, quelle nelle posizioni 2, 4, 6, ... contano tre volte. La cifra di controllo rende il totale un multiplo di 10.

Qual è la cifra di controllo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Cifra di controllo:

Lavoro a turni e orologio a 24 ore

Gli orari dei treni, i turni in ospedale e i piani di volo usano l'orologio a 24 ore, cioè l'aritmetica modulo 24.

Esempio:

Un turno di notte inizia alle 22:00 e dura 9 ore: $22 + 9 = 31$ e $31 \bmod 24 = 7$ , quindi finisce alle 07:00.

3Provaci tu stesso

Un collaudo di una macchina in una fabbrica inizia alle 19:00 e dura 75 ore senza pause.

A che ora (da 0 a 23) finisce il collaudo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Ora di fine:

Punti chiave

1 $a \bmod n$ è il resto della divisione di $a$ per $n$ ed è sempre uno dei numeri $0, 1, \ldots, n - 1$
2 $a \equiv b \pmod{n}$ significa che $a$ e $b$ danno lo stesso resto, cioè che $n$ divide $a - b$
3Un orologio calcola modulo 12, l'orologio a 24 ore modulo 24, i giorni della settimana modulo 7 e pari/dispari modulo 2
4In somme, differenze e prodotti puoi ridurre prima ogni numero e poi ridurre ancora il risultato
5Per un numero negativo aggiungi $n$ finché cade in $0, \ldots, n - 1$ : $-3 \bmod 12 = 9$
6Le potenze si ripetono in cicli modulo $n$ : trova la lunghezza del ciclo e riduci l'esponente modulo quella lunghezza, non modulo $n$

Domande frequenti

$a \bmod n$ è lo stesso resto che mostra la mia calcolatrice o il mio computer?

Per i numeri positivi sì. Per i numeri negativi molti linguaggi di programmazione danno un risultato negativo, per esempio

-3

per

-3

diviso

12

. In matematica il resto è sempre tra

0

n - 1

, quindi

-3 \bmod 12 = 9

. La calcolatrice di questa pagina funziona così: mod(-3, 12) dà 9.

Che cosa significa il simbolo $\equiv$ ?

Si legge «è congruo a».

17 \equiv 5 \pmod{12}

dice che 17 e 5 danno lo stesso resto nella divisione per 12 (entrambi danno 5). È più debole di

=

: numeri congrui possono essere numeri diversi che cadono nella stessa posizione del quadrante.

Perché posso ridurre prima i numeri?

Scrivi

a = pn + r

b = qn + s

. Allora

a + b = (p + q)n + (r + s)

a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs

. Le parti con

n

sono multipli di

n

e non lasciano resto, quindi solo

r + s

r \times s

decidono il risultato.

Dove si usa l'aritmetica modulare fuori dalla scuola?

Nelle cifre di controllo (codici a barre, ISBN, l'IBAN di un conto bancario, che si verifica modulo 97), in informatica (tabelle hash, generatori di numeri casuali) e in crittografia: il metodo RSA che protegge l'home banking calcola con numeri enormi modulo il prodotto di due numeri primi.

Glossario

Modulo: Il numero fisso $n$ per cui dividi; i resti sono $0, 1, \ldots, n - 1$ (12 per un orologio, 7 per i giorni della settimana)
Resto: Ciò che avanza nella divisione: in $a = q \times n + r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ è $r$
a mod n: Il resto della divisione di $a$ per $n$ , per esempio $17 \bmod 5 = 2$ e $-3 \bmod 12 = 9$
Congruo modulo n: Due numeri con lo stesso resto modulo $n$ , si scrive $a \equiv b \pmod{n}$ ; in modo equivalente $n$ divide $a - b$
Lunghezza del ciclo: Dopo quanti passi i resti delle potenze cominciano a ripetersi, per esempio 4 per le ultime cifre delle potenze di 3
Cifra di controllo: Una cifra in più alla fine di un codice (codice a barre, ISBN), scelta in modo che una somma pesata sia divisibile per 10 o per 11

Scheda formule

Divisione con resto

a = q \times n + r, \quad 0 \leq r \leq n - 1

$r$ è $a \bmod n$, $q$ è il quoziente

Congruenza

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)

Stesso resto, oppure: la differenza è un multiplo di $n$

Prima riduci

(a + b) \bmod n = \big((a \bmod n) + (b \bmod n)\big) \bmod n

Lo stesso vale per sottrazione e moltiplicazione

Numeri negativi

x \bmod n = (x + k \times n) \bmod n

Aggiungi un multiplo di $n$ finché il numero cade in $0, \ldots, n - 1$: $-3 + 12 = 9$

Guida per l'insegnante: Aritmetica modulare

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Calendari: che giorno sarà?

Codici a barre e cifre di controllo

Lavoro a turni e orologio a 24 ore

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Divisione con resto

Congruenza

Prima riduci

Numeri negativi

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