Aritmetica modulare

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quanto fa $23 \bmod 5$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)3
4. d)18
Risposta: 3
$23 = 4 \times 5 + 3$ , quindi il resto è $3$ . Il $4$ è il quoziente, e $18$ è $23 - 5$ , non il resto.
2.
Calcola $45 \bmod 7$ .
Risposta: 3
$45 = 6 \times 7 + 3$ , quindi $45 \bmod 7 = 3$ .
3.
Sono le 8. Che cosa segna un orologio da 12 ore 7 ore dopo?
1. a)l'una
2. b)le 11
3. c)le 15
4. d)le 3
Risposta: le 3
$8 + 7 = 15$ e $15 \bmod 12 = 3$ : l'orologio segna le 3. Le 15 esistono solo su un orologio a 24 ore.
4.
Calcola $-5 \bmod 12$ (un resto da 0 a 11).
Risposta: 7
$-5 + 12 = 7$ , quindi $-5 = (-1) \times 12 + 7$ e $-5 \bmod 12 = 7$ . Sull'orologio: 5 ore prima delle 12 sono le 7.
5.
Calcola $58 \bmod 9$ .
Risposta: 4
1. Qual è il più grande multiplo di 9 che non supera 58? 54
2. Quante volte sta il 9 nel 58 (il quoziente)? 6
3. Qual è il resto $58 - 54$ ? 4
6.
I numeri $a$ e $b$ sono entrambi dispari. Quanto valgono $(a + b) \bmod 2$ e $(a \times b) \bmod 2$ ?
1. a)1 e 1
2. b)0 e 1
3. c)0 e 0
4. d)1 e 0
Risposta: 0 e 1
Dispari significa resto 1 modulo 2. Somma: $1 + 1 = 2 \equiv 0$ , quindi dispari più dispari è pari. Prodotto: $1 \times 1 = 1$ , quindi dispari per dispari è dispari. Esempio: $3 + 5 = 8$ e $3 \times 5 = 15$ .
7.
Oggi è martedì. Che giorno della settimana sarà tra 60 giorni?
1. a)sabato
2. b)giovedì
3. c)lunedì
4. d)domenica
Risposta: sabato
$60 = 8 \times 7 + 4$ : 60 giorni sono 8 settimane intere e 4 giorni. 4 giorni dopo martedì è sabato.
8.
Sono le 10. Su quale numero punta la lancetta delle ore di un orologio da 12 ore 250 ore dopo? (Rispondi con un numero da 1 a 12.)
Risposta: 8
$250 \bmod 12 = 10$ , poi $10 + 10 = 20$ e $20 \bmod 12 = 8$ . La lancetta punta sull'8.
9.
Calcola $(47 + 86) \bmod 9$ riducendo prima.
Risposta: 7
1. Quanto fa $47 \bmod 9$ ? 2
2. Quanto fa $86 \bmod 9$ ? 5
3. Quanto fa $(2 + 5) \bmod 9$ ? 7
10.
Calcola $(34 \times 29) \bmod 5$ riducendo prima.
Risposta: 1
1. Quanto fa $34 \bmod 5$ ? 4
2. Quanto fa $29 \bmod 5$ ? 4
3. Moltiplica i resti: $4 \times 4 = ?$ 16
4. Quanto fa $16 \bmod 5$ ? 1
11.
Quale affermazione è vera?
1. a) $17 \equiv 5 \pmod{8}$
2. b) $38 \equiv 14 \pmod{12}$
3. c) $25 \equiv 4 \pmod{6}$
4. d) $40 \equiv 2 \pmod{3}$
Risposta: $38 \equiv 14 \pmod{12}$
$38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ , quindi $38 \equiv 14 \pmod{12}$ è vera. Ma $25 - 4 = 21$ non è un multiplo di 6, $17 - 5 = 12$ non è un multiplo di 8 e $40 - 2 = 38$ non è un multiplo di 3.
12.
Verifica che $83 \equiv 20 \pmod{9}$ , poi trova il resto che danno entrambi i numeri nella divisione per 9.
Risposta: 2
1. Quanto fa $83 - 20$ ? 63
2. Quanto fa $63 \bmod 9$ ? 0
3. Quale resto danno 83 e 20 nella divisione per 9? 2
13.
Sono le 3. Su quale numero puntava la lancetta delle ore di un orologio da 12 ore 40 ore fa?
Risposta: 11
1. Quanto fa $40 \bmod 12$ ? 4
2. Torna indietro da 3: quanto fa $3 - 4$ ? -1
3. Quanto fa $-1 \bmod 12$ ? 11
14.
Qual è l'ultima cifra di $7^{50}$ ?
Risposta: 9
Le ultime cifre si ripetono con ciclo di lunghezza 4: $7, 9, 3, 1$ . $50 = 12 \times 4 + 2$ , quindi $7^{50}$ finisce come $7^2 = 49$ : l'ultima cifra è 9.
15.
Qual è l'ultima cifra di $2^{2026}$ ?
Risposta: 4
1. Le ultime cifre di $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ sono $2, 4, 8, 6, 2$ . Qual è la lunghezza del ciclo? 4
2. Quanto fa $2026 \bmod 4$ ? 2
3. Quindi $2^{2026}$ finisce come $2^2$ . Qual è la sua ultima cifra? 4
16.
Trova la cifra di controllo EAN-13 per le 12 cifre $590123412345$ . Le cifre nelle posizioni dispari contano una volta, quelle nelle posizioni pari tre volte, e la cifra di controllo rende il totale un multiplo di 10.
Risposta: 7
1. Somma le cifre nelle posizioni dispari (1ª, 3ª, ..., 11ª). 17
2. Somma le cifre nelle posizioni pari e moltiplica la somma per 3. 66
3. Quanto fa $(17 + 66) \bmod 10$ ? 3
4. Quale cifra porta il totale a un multiplo di 10? 7
17.
Un ISBN-10 inizia con le 9 cifre 0-306-40615. Moltiplica queste cifre per $10, 9, 8, \ldots, 2$ e somma. La cifra di controllo $x$ (peso 1) rende il totale un multiplo di 11. Trova $x$ .
Risposta: 2
1. Calcola $10 \times 0 + 9 \times 3 + 8 \times 0 + 7 \times 6 + 6 \times 4$ . 93
2. Aggiungi $5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 1 + 2 \times 5$ . Qual è la somma pesata completa? 130
3. Quanto fa $130 \bmod 11$ ? 9
4. Quale cifra $x$ rende $9 + x$ un multiplo di 11? 2
18.
Quanto fa $5^{100} \bmod 7$ ?
Risposta: 2
Il ciclo ha lunghezza 6. $100 = 16 \times 6 + 4$ , quindi $5^{100} \equiv 5^4 \pmod{7}$ . $5^4 = 625 = 89 \times 7 + 2$ , quindi il resto è 2.