Risolvere equazioni esponenziali

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Risolvi $2^x = 16$ .
1. a) $4$
2. b) $8$
3. c) $14$
4. d) $2$
Risposta: $4$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ , quindi $2^x = 2^4$ e $x = 4$ . La risposta $8$ nasce dal dividere $16$ per $2$ , ed è sbagliata.
2.
Risolvi $3^x = 81$ .
Risposta: 4
$81 = 3^4$ , quindi $3^x = 3^4$ e $x = 4$ . Verifica: $3^4 = 81$ ✓
3.
Risolvi $5^{x-1} = 125$ .
Risposta: 4
1. Scrivi 125 come potenza di 5: $125 = 5^{\square}$ . Qual è l'esponente? 3
2. Uguaglia gli esponenti: $x - 1 = 3$ . Quanto vale $x$ ? 4
4.
Quale equazione è $4^x = 64$ scritta in base $2$ in entrambi i membri?
1. a) $2^{2x} = 2^6$
2. b) $2^{x+2} = 2^6$
3. c) $2^{2x} = 2^8$
4. d) $2^x = 2^6$
Risposta: $2^{2x} = 2^6$
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ e $64 = 2^6$ , quindi l'equazione è $2^{2x} = 2^6$ (da cui $x = 3$ , e infatti $4^3 = 64$ ).
5.
Risolvi $5^x = \frac{1}{25}$ .
Risposta: -2
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ , quindi $5^x = 5^{-2}$ e $x = -2$ .
6.
Risolvi $3 \cdot 2^x = 96$ .
Risposta: 5
1. Dividi entrambi i membri per 3: $2^x = \square$ 32
2. Scrivi 32 come potenza di 2. Quanto vale $x$ ? 5
7.
Risolvi $8^x = 4$ . Scrivi la risposta come frazione, per esempio 3/4.
Risposta: 2/3
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ e $4 = 2^2$ , quindi $3x = 2$ e $x = \frac{2}{3}$ . Verifica: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ ✓
8.
Risolvi $9^x = \frac{1}{27}$ .
1. a) $-3$
2. b) $-\frac{3}{2}$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $-\frac{2}{3}$
Risposta: $-\frac{3}{2}$
$9^x = 3^{2x}$ e $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , quindi $2x = -3$ e $x = -\frac{3}{2}$ . La scelta $\frac{3}{2}$ dimentica il segno meno.
9.
Risolvi $2^{3x} = \frac{1}{16}$ . Scrivi la risposta come frazione, per esempio -5/2.
Risposta: -4/3
1. Scrivi $\frac{1}{16}$ come potenza di 2: $\frac{1}{16} = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? -4
2. Uguaglia gli esponenti: $3x = -4$ . Quanto vale $x$ ? Scrivilo come frazione. -4/3
10.
Risolvi $8^x = 32$ . Scrivi la risposta come frazione, per esempio 7/2.
Risposta: 5/3
1. $8 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 3
2. $32 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 5
3. Ora $2^{3x} = 2^5$ , quindi $3x = 5$ . Quanto vale $x$ ? Scrivilo come frazione. 5/3
11.
Risolvi $25^x = 125$ . Scrivi la risposta come frazione, per esempio 5/4.
Risposta: 3/2
$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$ e $125 = 5^3$ , quindi $2x = 3$ e $x = \frac{3}{2}$ . Verifica: $25^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$ ✓
12.
Risolvi $5 \cdot 3^{x+1} = 405$ .
Risposta: 3
1. Dividi entrambi i membri per 5: $3^{x+1} = \square$ 81
2. $81 = 3^{\square}$ . Qual è l'esponente? 4
3. $x + 1 = 4$ . Quanto vale $x$ ? 3
13.
La soluzione di $2^x = 20$ non è un numero intero. Tra quali due interi consecutivi si trova?
1. a)4 e 5
2. b)3 e 4
3. c)10 e 11
4. d)5 e 6
Risposta: 4 e 5
$2^4 = 16$ e $2^5 = 32$ . Poiché $16 < 20 < 32$ , la soluzione è compresa tra $4$ e $5$ (circa $4{,}32$ ). La scelta 10 e 11 nasce dal dividere per errore 20 per 2.
14.
Risolvi $4^{x+1} = 8^x$ .
Risposta: 2
1. $4 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 2
2. $8 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 3
3. Ora $2^{2(x+1)} = 2^{3x}$ , quindi $2x + 2 = 3x$ . Quanto vale $x$ ? 2
15.
L'equazione $2^{x^2 - x} = 64$ ha due soluzioni. Qual è la maggiore?
Risposta: 3
1. $64 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 6
2. Quindi $x^2 - x - 6 = 0$ , che si scompone in $(x - 3)(x + 2) = 0$ . Qual è la soluzione minore? -2
3. Qual è la soluzione maggiore? 3
16.
Risolvi $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$ .
Risposta: -3
$2^{-x} = 2^3$ , quindi $-x = 3$ e $x = -3$ . Verifica: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ ✓
17.
Quale equazione non ha soluzioni?
1. a) $3^x = 1$
2. b) $2^x = \frac{1}{8}$
3. c) $4^x = 2$
4. d) $5^x = -25$
Risposta: $5^x = -25$
$5^x$ è positivo per ogni $x$ , quindi non può mai valere $-25$ . Le altre hanno soluzioni: $2^x = \frac{1}{8}$ dà $x = -3$ , $3^x = 1$ dà $x = 0$ e $4^x = 2$ dà $x = \frac{1}{2}$ .
18.
La soluzione di $3^x = 50$ non è un numero intero. Qual è il più piccolo intero $n$ con $3^n > 50$ ?
Risposta: 4
1. Quanto vale $3^3$ ? 27
2. Quanto vale $3^4$ ? 81
3. Poiché $27 < 50 < 81$ , qual è il più piccolo intero $n$ con $3^n > 50$ ? 4