Problemi con le funzioni esponenziali

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Un telefono perde il 15% del suo valore ogni anno. Quale fattore $b$ usi nel modello $V(t) = a \cdot b^t$ ?
1. a)0,15
2. b)1,15
3. c)0,85
4. d)85
Risposta: 0,85
Decrescita: $b = 1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Ogni anno resta l'85% del valore. $0{,}15$ è il tasso, non il fattore, e $1{,}15$ sarebbe una crescita.
2.
Il numero di pesci in un lago è descritto da $P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t$ , con $t$ in anni. Che cosa ti dice il numero $1{,}04$ ?
1. a)La popolazione cresce del 4% ogni anno
2. b)La popolazione cresce del 104% ogni anno
3. c)La popolazione cresce di 4 pesci ogni anno
4. d)All'inizio ci sono 1,04 pesci
Risposta: La popolazione cresce del 4% ogni anno
$1{,}04 = 1 + 0{,}04$ , quindi la popolazione viene moltiplicata per $1{,}04$ ogni anno: cresce del 4% all'anno. Il valore iniziale è $a = 1200$ pesci.
3.
Ogni elenco mostra i valori di una grandezza per $t = 0, 1, 2, 3$ . Quale elenco segue un modello esponenziale?
1. a)5; 10; 15; 20
2. b)5; 8; 11; 14
3. c)5; 10; 20; 40
4. d)5; 9; 13; 17
Risposta: 5; 10; 20; 40
In $5; 10; 20; 40$ ogni valore è $2$ volte il precedente (rapporto costante), quindi è esponenziale. Gli altri elenchi aggiungono ogni volta la stessa quantità ( $+3$ , $+5$ , $+4$ ), quindi sono lineari.
4.
Investi 2000 € al 6% di interesse annuo con capitalizzazione trimestrale. Quale modello dà l'importo $A$ dopo $t$ anni?
1. a) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{t}$
2. b) $A = 2000 \cdot 1{,}06^{4t}$
3. c) $A = 2000 \cdot 1{,}24^{t}$
4. d) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$
Risposta: $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$
$A = 2000\left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4t} = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$ . La prima scelta applica il tasso annuo a ogni trimestre, la terza dimentica che ci sono $4t$ trimestri, e $1{,}24$ non è un fattore di questo conto.
5.
Un'auto comprata a 20000 € perde il 10% del suo valore ogni anno. Quattro studenti hanno calcolato il suo valore dopo 4 anni. Quale risultato è corretto?
1. a)12000
2. b)29282
3. c)2
4. d)13122
Risposta: 13122
$20000 \cdot 0{,}9^4 = 20000 \cdot 0{,}6561 = 13122$ . $29282$ usa $1{,}1$ (crescita), $12000$ sottrae $2000$ ogni anno (lineare), e $2$ usa il fattore $0{,}1$ .
6.
Un video ha 500 visualizzazioni e il numero di visualizzazioni raddoppia ogni giorno. Quante visualizzazioni ha dopo 6 giorni?
Risposta: 32000
$V(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000$ visualizzazioni.
7.
Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di 5 ore. Un campione parte da 80 mg. Quanti mg restano dopo 20 ore?
Risposta: 5
$\frac{20}{5} = 4$ dimezzamenti: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{80}{16} = 5$ mg ( $80 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5$ ).
8.
Versi 1000 € all'8% di interesse annuo con capitalizzazione trimestrale. Quanto c'è sul conto dopo 5 anni? Arrotonda al centesimo.
Risposta: 1485.95
$A = 1000 \cdot 1{,}02^{20} \approx 1000 \cdot 1{,}485947 \approx 1485{,}95$ €.
9.
Si investono 1500 € al 5% annuo con capitalizzazione continua. Usa $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ . Quanto vale l'investimento dopo 10 anni? Arrotonda all'euro.
Risposta: 2473
$A = 1500 \cdot e^{0{,}5} \approx 1500 \cdot 1{,}6487 = 2473{,}05$ , quindi circa 2473 €.
10.
Una tabella dà $y = 80$ per $t = 0$ , $y = 120$ per $t = 1$ , $y = 180$ per $t = 2$ e $y = 270$ per $t = 3$ . Decidi se è lineare o esponenziale, poi trova il valore esatto di $y$ per $t = 5$ .
Risposta: 607.5
Le differenze $40, 60, 90$ non sono costanti, ma ogni rapporto vale $1{,}5$ : esponenziale, $y = 80 \cdot 1{,}5^t$ . Quindi $y(5) = 80 \cdot 1{,}5^5 = 80 \cdot 7{,}59375 = 607{,}5$ .
11.
Un portatile costa 1200 € e perde il 20% del suo valore ogni anno. Quanto vale dopo 3 anni?
Risposta: 614.4
1. Qual è il fattore di decadimento $b$ all'anno? 0.8
2. Calcola $0{,}8^3$ . 0.512
3. Qual è il valore dopo 3 anni? 614.4
12.
Lunedì 4 studenti conoscono una nuova sfida di ballo. Ogni giorno il numero di studenti che la conoscono triplica. Quanti la conoscono 4 giorni dopo?
Risposta: 324
1. Qual è il fattore di crescita $b$ al giorno? 3
2. Calcola $3^4$ . 81
3. Quanti studenti conoscono la sfida dopo 4 giorni? 324
13.
Investi 3000 € al 5% di interesse annuo con capitalizzazione semestrale (due volte all'anno). Quanto hai dopo 6 anni? Arrotonda al centesimo.
Risposta: 4034.67
1. Qual è il tasso per semestre, $\frac{r}{n}$ , in forma decimale? 0.025
2. Quanti semestri ci sono in 6 anni ( $nt$ )? 12
3. Calcola $3000 \cdot 1{,}025^{12}$ al centesimo. 4034.67
14.
Un materiale radioattivo ha un tempo di dimezzamento di 5 anni. Un campione pesa 640 g. Quanti grammi restano dopo 15 anni?
Risposta: 80
1. Quanti tempi di dimezzamento passano in 15 anni ( $\frac{t}{T}$ )? 3
2. Quanto vale $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ in forma decimale? 0.125
3. Quanti grammi restano? 80
15.
Un paziente riceve 500 mg di un farmaco. La quantità nel sangue decresce in modo continuo con un tasso del 10% all'ora, quindi $A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}$ . Usa $e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187$ . Quanti mg restano dopo 2 ore? Arrotonda al mg.
Risposta: 409
1. Quanto vale l'esponente $rt$ per $t = 2$ ? -0.2
2. Quale valore usi per $e^{-0{,}2}$ (4 cifre decimali)? 0.8187
3. Quanti mg restano dopo 2 ore (al mg)? 409
16.
La banca A paga il 5% annuo con capitalizzazione annuale. La banca B paga il 5% annuo con capitalizzazione mensile. Versi 10000 € per 3 anni. Quanto paga in più la banca B? Arrotonda ogni importo al centesimo.
Risposta: 38.47
1. Quanto paga la banca A dopo 3 anni? 11576.25
2. Quanto paga la banca B dopo 3 anni? 11614.72
3. Quanto paga in più la banca B? 38.47
17.
Un paese aveva 2000 abitanti. Due anni dopo ne aveva 2880. Supponi una crescita esponenziale $P(t) = 2000 \cdot b^t$ ( $t$ in anni). Trova $b$ , il tasso di crescita annuo e la popolazione dopo 4 anni (arrotondata all'unità).
Risposta: 4147
1. Quanto vale $b^2 = \frac{2880}{2000}$ ? 1.44
2. Quanto vale $b$ (positivo)? 1.2
3. Qual è il tasso di crescita annuo in percentuale (scrivi solo il numero)? 20
4. Calcola $P(4) = 2000 \cdot 1{,}2^4$ e arrotonda all'unità. 4147
18.
Il valore di un'auto è $V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t$ euro, $t$ anni dopo l'acquisto. Interpreta il modello, poi trova dopo quanti anni interi il valore scende per la prima volta sotto i 10000 €.
Risposta: 5
1. Qual era il prezzo d'acquisto dell'auto? 18000
2. Di quale percentuale scende il valore ogni anno (scrivi solo il numero)? 12
3. Quanto vale $V(2) = 18000 \cdot 0{,}88^2$ ? 13939.2
4. Dopo quanti anni interi il valore è per la prima volta sotto 10000? 5