Modelli di crescita della popolazione

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Un paese di $2000$ abitanti cresce del $4\%$ all'anno. Quale funzione modella la sua popolazione dopo $t$ anni?
1. a) $P(t) = 2000 \cdot 0{,}04^t$
2. b) $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
3. c) $P(t) = 2000 + 1{,}04t$
4. d) $P(t) = 2000 \cdot 4^t$
Risposta: $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
$4\% = 0{,}04$ , quindi il fattore di crescita è $1{,}04$ e $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$ . La base $0{,}04$ farebbe diminuire il paese, $4$ lo quadruplicherebbe ogni anno e $2000 + 1{,}04t$ è lineare.
2.
Una popolazione di $6000$ raddoppia ogni $15$ anni. Quale modello dà la popolazione dopo $t$ anni?
1. a) $P(t) = 6000 \cdot 2^{15t}$
2. b) $P(t) = 6000 \cdot 2^t$
3. c) $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
4. d) $P(t) = 6000 \cdot 15^{t/2}$
Risposta: $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
Il modello di raddoppio è $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ con $d = 15$ , quindi $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$ . Dopo $15$ anni l'esponente è $1$ e la popolazione è $12000$ .
3.
La popolazione di un paese cresce del $2\%$ all'anno. Secondo la regola del 70, in quanto tempo circa raddoppia?
1. a)14 anni
2. b)35 anni
3. c)140 anni
4. d)3500 anni
Risposta: 35 anni
$d \approx \frac{70}{2} = 35$ anni. Dividendo per $0{,}02$ si otterrebbe $3500$ , troppo grande. Anche il tempo di raddoppio esatto è di circa $35$ anni.
4.
Una popolazione di conigli su un'isola è cresciuta in modo esponenziale per qualche anno, ma ora la sua crescita sta rallentando. Qual è il motivo più probabile?
1. a)Il fattore di crescita di un modello esponenziale scende sotto 1 dopo qualche anno
2. b)Le popolazioni passano sempre a una crescita lineare dopo esattamente 5 anni
3. c)Cibo e spazio sono limitati, quindi la popolazione si avvicina alla capacità portante
4. d)Le funzioni esponenziali raggiungono sempre un valore massimo
Risposta: Cibo e spazio sono limitati, quindi la popolazione si avvicina alla capacità portante
Cibo e spazio sull'isola sono limitati. Quando la popolazione si avvicina alla capacità portante, la crescita rallenta e la curva si appiattisce (crescita logistica). Le funzioni esponenziali con $b > 1$ non hanno un massimo, quindi il rallentamento dipende dall'ambiente, non dalla matematica.
5.
Le città A e B hanno oggi entrambe $10000$ abitanti. La città A cresce di $500$ persone all'anno; la città B cresce del $5\%$ all'anno. Quale affermazione sulle popolazioni tra 20 anni è vera? (Usa $1{,}05^{20} \approx 2{,}6533$ .)
1. a)La città B ha circa 6533 abitanti in più
2. b)Entrambe le città hanno 20000 abitanti
3. c)La città B ha esattamente 500 abitanti in più
4. d)La città A ha circa 6533 abitanti in più
Risposta: La città B ha circa 6533 abitanti in più
Città A: $10000 + 500 \cdot 20 = 20000$ . Città B: $10000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 26533$ . Il primo anno entrambe crescono di $500$ , ma la città esponenziale passa avanti di circa $26533 - 20000 = 6533$ persone.
6.
Una colonia di $1500$ conigli cresce del $10\%$ all'anno. Quanti conigli ci sono dopo 1 anno?
Risposta: 1650
$P(1) = 1500 \cdot 1{,}1 = 1650$ conigli.
7.
Una città di $4000$ abitanti raddoppia ogni $8$ anni. Qual è la sua popolazione dopo $24$ anni?
Risposta: 32000
$\frac{24}{8} = 3$ raddoppi, quindi $P(24) = 4000 \cdot 2^3 = 4000 \cdot 8 = 32000$ .
8.
Una popolazione di pesci cresce del $7\%$ all'anno. Usa la regola del 70 per stimare il suo tempo di raddoppio in anni.
Risposta: 10
$d \approx \frac{70}{7} = 10$ anni. È una stima: il tempo di raddoppio esatto è di circa $10{,}2$ anni.
9.
Un paese aveva $2500$ abitanti nel 2023 e $2600$ nel 2024. Qual è il suo tasso di crescita annuo in percentuale? (Scrivi solo il numero, per esempio 5.)
Risposta: 4
$\frac{2600}{2500} = 1{,}04$ , quindi $r = 1{,}04 - 1 = 0{,}04 = 4\%$ all'anno.
10.
Una coltura di $200$ batteri raddoppia ogni $25$ minuti. Dopo quanti minuti ci saranno $12800$ batteri?
Risposta: 150
$\frac{12800}{200} = 64 = 2^6$ , quindi servono 6 raddoppi: $6 \cdot 25 = 150$ minuti.
11.
Una città di $30000$ abitanti cresce del $2\%$ all'anno. Qual è la sua popolazione dopo 2 anni?
Risposta: 31212
1. Qual è il fattore di crescita $1 + r$ ? 1.02
2. Quanto vale $1{,}02^2$ ? 1.0404
3. Moltiplica per $30000$ . Qual è la popolazione dopo 2 anni? 31212
12.
Un campione di $50$ batteri raddoppia ogni $10$ minuti. Quanti batteri ci sono dopo 1 ora?
Risposta: 3200
1. Quanti raddoppi avvengono in 60 minuti? 6
2. Quanto vale $2^6$ ? 64
3. Quanti batteri ci sono dopo 1 ora? 3200
13.
Un lago aveva $800$ pesci l'anno scorso e ne ha $880$ quest'anno. Supponendo la stessa crescita percentuale annua, quanti pesci ci saranno 2 anni dopo il conteggio di 800?
Risposta: 968
1. Qual è il fattore di crescita $\frac{880}{800}$ ? 1.1
2. Qual è il tasso di crescita annuo in percentuale? (Scrivi solo il numero.) 10
3. Calcola $P(2) = 800 \cdot 1{,}1^2$ . 968
14.
Un paese di $5$ milioni di abitanti cresce dell' $1{,}4\%$ all'anno. Usa la regola del 70 per stimare la sua popolazione tra 100 anni (in milioni).
Risposta: 20
1. Stima il tempo di raddoppio in anni con la regola del 70. 50
2. Quanti raddoppi avvengono in 100 anni? 2
3. Stima la popolazione tra 100 anni, in milioni. 20
15.
Una popolazione di $1000$ cervi raddoppia ogni $10$ anni. Stima la popolazione dopo $5$ anni. (Arrotonda $2^{0{,}5}$ a 3 cifre decimali.)
Risposta: 1414
1. Quanto vale l'esponente $\frac{t}{d}$ ? 0.5
2. Quanto vale $2^{0{,}5}$ , arrotondato a 3 cifre decimali? 1.414
3. Stima la popolazione dopo 5 anni. 1414
16.
Una città aveva $40000$ abitanti nel 2020 e $44000$ nel 2021. Fai una previsione per il 2023 con un modello lineare e con un modello esponenziale. Di quanto è più grande la previsione esponenziale?
Risposta: 1240
1. Modello lineare: quanti abitanti si aggiungono ogni anno? 4000
2. Qual è la previsione lineare per il 2023? 52000
3. Modello esponenziale: qual è il fattore di crescita? 1.1
4. Qual è la previsione esponenziale per il 2023? 53240
5. Di quanto è più grande la previsione esponenziale? 1240
17.
Una città aveva $5000$ abitanti nel 2018 e $7200$ nel 2020. Supponendo la stessa crescita percentuale annua, prevedi la popolazione nel 2022.
Risposta: 10368
1. Qual è il fattore di crescita in 2 anni, $\frac{7200}{5000}$ ? 1.44
2. Qual è il fattore di crescita annuo $b$ ? 1.2
3. Qual è il tasso di crescita annuo in percentuale? (Scrivi solo il numero.) 20
4. Prevedi la popolazione nel 2022. 10368
18.
Una popolazione di $10000$ cresce del $5\%$ all'anno. Stima il tempo di raddoppio con la regola del 70, poi verifica la stima: qual è la popolazione dopo quel numero di anni?
Risposta: 19800
1. Stima il tempo di raddoppio in anni con la regola del 70. 14
2. Calcola $1{,}05^{14}$ con la calcolatrice, arrotondato a 2 cifre decimali. 1.98
3. Usando $1{,}98$ , qual è la popolazione dopo 14 anni? 19800