Calcolare i limiti con la tabella dei valori

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Vuoi stimare $\lim_{x \to 3} f(x)$ con una tabella dei valori. Quali valori di $x$ sono la scelta migliore?
1. a) $3; 3{,}1; 3{,}2; 3{,}3$
2. b) $1; 2; 4; 5$
3. c)solo $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$
4. d) $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Risposta: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Una buona tabella si avvicina a $3$ da entrambi i lati e sempre di più: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$ da sinistra e $3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$ da destra. Valori come $1; 2; 4; 5$ sono troppo lontani, un solo lato può non vedere un salto, e $x = 3$ non va usato.
2.
Una tabella dei valori dà $f(4{,}9) = 9{,}9$ ; $f(4{,}99) = 9{,}99$ ; $f(4{,}999) = 9{,}999$ ; $f(5{,}001) = 10{,}001$ ; $f(5{,}01) = 10{,}01$ ; $f(5{,}1) = 10{,}1$ . Stima $\lim_{x \to 5} f(x)$ .
Risposta: 10
Da sinistra i valori $9{,}9$ ; $9{,}99$ ; $9{,}999$ salgono verso $10$ ; da destra $10{,}1$ ; $10{,}01$ ; $10{,}001$ scendono verso $10$ . I due lati coincidono, quindi $\lim_{x \to 5} f(x) = 10$ .
3.
A sinistra di $2$ : $f(1{,}9) = 6{,}8$ ; $f(1{,}99) = 6{,}98$ ; $f(1{,}999) = 6{,}998$ . A destra di $2$ : $f(2{,}1) = 7{,}2$ ; $f(2{,}01) = 7{,}02$ ; $f(2{,}001) = 7{,}002$ . Quanto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)non esiste
2. b) $7$
3. c) $7{,}002$
4. d) $6{,}998$
Risposta: $7$
I valori di sinistra $6{,}8$ ; $6{,}98$ ; $6{,}998$ e quelli di destra $7{,}2$ ; $7{,}02$ ; $7{,}002$ si avvicinano tutti a $7$ . I valori $6{,}998$ e $7{,}002$ sono solo stime; il limite è $7$ .
4.
Per $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ , calcola il valore della tabella $f(2{,}99)$ .
Risposta: 5.99
$f(2{,}99) = \frac{8{,}9401 - 9}{2{,}99 - 3} = \frac{-0{,}0599}{-0{,}01} = 5{,}99$ . I valori della tabella tendono a $6$ per $x \to 3$ .
5.
Usa una tabella dei valori per stimare $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Risposta: 2
1. Calcola $f(0{,}9)$ . 1.9
2. Calcola $f(0{,}99)$ . 1.99
3. Calcola $f(1{,}01)$ . 2.01
4. A quale numero si avvicinano entrambi i lati? 2
6.
Usa una tabella dei valori per stimare $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Risposta: 8
1. Calcola $f(3{,}9)$ . 7.9
2. Calcola $f(3{,}99)$ . 7.99
3. Calcola $f(4{,}01)$ . 8.01
4. A quale numero si avvicinano entrambi i lati? 8
7.
Una tabella di $g(x)$ vicino a $x = 1$ mostra $g(0{,}9) = -2$ ; $g(0{,}99) = -2$ ; $g(0{,}999) = -2$ ; $g(1{,}001) = 5$ ; $g(1{,}01) = 5$ ; $g(1{,}1) = 5$ . Che cosa puoi concludere su $\lim_{x \to 1} g(x)$ ?
1. a)Il limite è $1{,}5$
2. b)Il limite non esiste
3. c)Il limite è $5$
4. d)Il limite è $-2$
Risposta: Il limite non esiste
Da sinistra $g(x)$ resta a $-2$ , da destra resta a $5$ . I limiti unilaterali non coincidono ( $-2 \neq 5$ ), quindi il limite non esiste. Farne la media ( $1{,}5$ ) non è corretto.
8.
Una tabella di $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ dà $x = -0{,}01$ : $0{,}99502$ ; $x = -0{,}001$ : $0{,}99950$ ; $x = 0{,}001$ : $1{,}00050$ ; $x = 0{,}01$ : $1{,}00502$ . Stima $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Risposta: 1
Da sinistra, $0{,}99502$ ; $0{,}99950$ salgono verso $1$ . Da destra, $1{,}00502$ ; $1{,}00050$ scendono verso $1$ . Quindi $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Questa funzione non si può scomporre: è proprio il caso in cui la tabella è utile.
9.
Usa una tabella dei valori per stimare $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , con $x$ in radianti.
Risposta: 1
1. Calcola $f(0{,}1)$ , arrotondato a quattro cifre decimali. 0.9983
2. Calcola $f(0{,}01)$ , arrotondato a quattro cifre decimali. 1.0000
3. Calcola $f(-0{,}1)$ , arrotondato a quattro cifre decimali. 0.9983
4. A quale numero si avvicinano entrambi i lati? 1
10.
Usa una tabella dei valori per stimare $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Risposta: 12
1. Calcola $f(1{,}9)$ . 11.41
2. Calcola $f(1{,}99)$ . 11.9401
3. Calcola $f(2{,}01)$ . 12.0601
4. A quale numero si avvicinano entrambi i lati? 12
11.
Per $f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ una tabella dà $f(-0{,}01) \approx 0{,}16671$ ; $f(-0{,}001) \approx 0{,}16667$ ; $f(0{,}001) \approx 0{,}16666$ ; $f(0{,}01) \approx 0{,}16662$ . Stima $\lim_{x \to 0} f(x)$ come numero decimale, arrotondato a tre cifre decimali.
Risposta: 0.167
Entrambi i lati si avvicinano a circa $0{,}1667$ , cioè $0{,}167$ arrotondato. L'algebra lo conferma: il limite esatto è $\frac{1}{6} \approx 0{,}16667$ .
12.
Una tabella di $h(x)$ vicino a $x = 1$ mostra $h(0{,}9) = 100$ ; $h(0{,}99) = 10\,000$ ; $h(0{,}999) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}001) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}01) = 10\,000$ ; $h(1{,}1) = 100$ . Quale affermazione descrive meglio $\lim_{x \to 1} h(x)$ ?
1. a)Il limite è $100$
2. b)Il limite è $0$
3. c)Il limite è $1\,000\,000$
4. d) $h(x)$ cresce senza limite, quindi non c'è un limite finito
Risposta: $h(x)$ cresce senza limite, quindi non c'è un limite finito
Ogni passo verso $1$ rende $h(x)$ $100$ volte più grande, da entrambi i lati. I valori crescono senza limite, quindi non c'è un limite finito; scriviamo $\lim_{x \to 1} h(x) = \infty$ . Il valore $1\,000\,000$ è solo l'ultimo della tabella, non un limite.
13.
Sia $f(x) = x + 1$ per $x < 2$ e $f(x) = x^2$ per $x \geq 2$ . Usa una tabella dei valori per decidere se $\lim_{x \to 2} f(x)$ esiste.
Risposta: Il limite non esiste: da sinistra i valori tendono a $3$ , da destra a $4$
1. Calcola $f(1{,}99)$ . 2.99
2. Calcola $f(2{,}01)$ . 4.0401
3. A quale numero si avvicina il lato sinistro? 3
4. A quale numero si avvicina il lato destro? 4
5. Esiste $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? no
14.
Una tabella di $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ dà $x = -0{,}01$ : $2{,}73200$ ; $x = -0{,}001$ : $2{,}71964$ ; $x = 0{,}001$ : $2{,}71692$ ; $x = 0{,}01$ : $2{,}70481$ . Stima $\lim_{x \to 0} f(x)$ , arrotondato a due cifre decimali.
Risposta: 2.72
I valori più vicini $2{,}71964$ e $2{,}71692$ racchiudono il limite, ed entrambi si arrotondano a $2{,}72$ . Il limite esatto è il numero $e \approx 2{,}71828$ .
15.
Una tabella di $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ con $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ dà $0$ ogni volta. Però $f\left(\frac{2}{101}\right) = 1$ e $f\left(\frac{2}{103}\right) = -1$ , ed entrambi i valori di $x$ distano meno di $0{,}02$ da $0$ . Quanto vale $\lim_{x \to 0} f(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d)Il limite non esiste
Risposta: Il limite non esiste
I valori scelti $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ rendono $\frac{\pi}{x}$ un multiplo di $\pi$ , quindi cadono tutti sugli zeri. Vicino a $0$ quanto si vuole ci sono però anche valori di $x$ che danno $1$ e $-1$ : $f(x)$ continua a oscillare e il limite non esiste. La tabella da sola era ingannevole.
16.
Usa una tabella dei valori per stimare $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Risposta: 0.25
1. Calcola $f(3{,}9)$ , arrotondato a quattro cifre decimali. 0.2516
2. Calcola $f(3{,}99)$ , arrotondato a quattro cifre decimali. 0.2502
3. Calcola $f(4{,}01)$ , arrotondato a quattro cifre decimali. 0.2498
4. A quale numero decimale si avvicinano entrambi i lati? 0.25
17.
Usa una tabella dei valori per descrivere $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}$ .
Risposta: $\infty$
1. Calcola $f(-1{,}1)$ . 100
2. Calcola $f(-1{,}01)$ . 10000
3. Calcola $f(-0{,}99)$ . 10000
4. Quante volte più grande è $f(-1{,}01)$ rispetto a $f(-1{,}1)$ ? 100
18.
Studia $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ con valori della tabella scelti con cura ( $x$ in radianti).
Risposta: Il limite non esiste: vicino a $0$ i valori oscillano continuamente tra $-1$ e $1$
1. Calcola $f(0{,}1)$ . 0
2. Calcola $f(0{,}4)$ . 1
3. Calcola $f\left(\frac{2}{7}\right)$ . -1
4. Esiste $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ ? no