Limiti all'infinito

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{7}{x^3}$ .
1. a)nessun limite finito
2. b) $3$
3. c) $7$
4. d) $0$
Risposta: $0$
Quando $x$ cresce senza limite, cresce senza limite anche $x^3$ , quindi $\frac{7}{x^3}$ si avvicina sempre di più a $0$ . Il limite è $0$ .
2.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 + 3}{x^2 - 4}$ .
Risposta: 5
Entrambe le parti hanno grado $2$ , quindi il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi: $\frac{5}{1} = 5$ .
3.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ .
Risposta: 4
1. Quanto vale $\frac{1}{x}$ per $x = 1000$ ? Scrivilo come numero decimale. 0.001
2. A che cosa tende $\frac{1}{x}$ per $x \to +\infty$ ? 0
3. Quanto vale $\lim_{x \to +\infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ ? 4
4.
Qual è l'asintoto orizzontale di $y = \frac{8x + 1}{2x - 3}$ ?
1. a) $y = 0$
2. b) $y = 4$
3. c) $y = 8$
4. d) $y = -3$
Risposta: $y = 4$
I gradi sono uguali, quindi l'asintoto è al rapporto dei coefficienti direttivi: $y = \frac{8}{2} = 4$ .
5.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \left(6 - 2e^{-x}\right)$ .
Risposta: 6
$e^{-x} \to 0$ , quindi $2e^{-x} \to 0$ e $6 - 2e^{-x} \to 6 - 0 = 6$ .
6.
Calcola $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 5}$ .
Risposta: 2
1. Qual è il grado del numeratore? 1
2. Qual è il grado del denominatore? 1
3. I gradi sono uguali. Quanto vale il limite $\frac{2}{1}$ ? 2
7.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x}{5x^2 + 2}$ . Scrivi il risultato come frazione.
Risposta: 3/5
Dividendo per $x^2$ si ottiene $\frac{3 - \frac{1}{x}}{5 + \frac{2}{x^2}} \to \frac{3}{5}$ .
8.
Quanto vale $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4 + 1}{x^3 - 2x}$ ?
1. a) $0$
2. b)nessun limite finito, i valori crescono senza limite
3. c) $4$
4. d) $1$
Risposta: nessun limite finito, i valori crescono senza limite
Il numeratore ha grado $4$ e il denominatore grado $3$ . Dividendo per $x^3$ si ottiene $\frac{x + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{2}{x^2}}$ , che cresce come $x$ , quindi non c'è un limite finito.
9.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{10x^2 + 3x}{5x^2 - 7}$ dividendo per la potenza più alta di $x$ .
Risposta: 2
1. La potenza più alta di $x$ al denominatore è $x^n$ . Quanto vale $n$ ? 2
2. Dopo la divisione per $x^2$ il numeratore è $10 + \frac{3}{x}$ . A che cosa tende? 10
3. Ora il denominatore è $5 - \frac{7}{x^2}$ . A che cosa tende? 5
4. Qual è il limite? 2
10.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 9}{x^2 + 1}$ .
Risposta: 0
Grado $1$ sopra, grado $2$ sotto. Dividendo per $x^2$ si ottiene $\frac{\frac{4}{x} + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{0}{1} = 0$ .
11.
Il grafico di $f(x) = \frac{12x^3 - 5}{4x^3 + x^2}$ ha l'asintoto orizzontale $y = L$ . Trova $L$ .
Risposta: 3
1. Qual è il grado del numeratore? 3
2. Qual è il grado del denominatore? 3
3. Qual è il coefficiente direttivo del numeratore? 12
4. Qual è il coefficiente direttivo del denominatore? 4
5. Quanto vale $L$ ? 3
12.
Quale funzione ha l'asintoto orizzontale $y = 0$ ?
1. a) $y = 5 + e^{-x}$
2. b) $y = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$
3. c) $y = \frac{x^3}{x + 1}$
4. d) $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
Risposta: $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
In $\frac{x + 4}{x^2 - 9}$ il numeratore ha grado $1$ e il denominatore grado $2$ , quindi il limite è $0$ . Le altre tendono a $2$ , crescono senza limite o tendono a $5$ .
13.
Calcola $\lim_{x \to -\infty} \frac{3 - 6x^3}{2x^3 + x}$ .
Risposta: -3
1. Qual è il coefficiente direttivo del numeratore $3 - 6x^3$ ? -6
2. Qual è il coefficiente direttivo del denominatore $2x^3 + x$ ? 2
3. Entrambi i gradi sono 3. Qual è il limite? -3
14.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 3)^2}{x^2 + 1}$ .
Risposta: 4
1. Sviluppando, $(2x + 3)^2 = ax^2 + 12x + 9$ . Quanto vale $a$ ? 4
2. Qual è il grado del numeratore? 2
3. I gradi sono uguali. Qual è il limite? 4
15.
Che cosa succede a $\frac{5x^2 + 1}{3 - 2x}$ per $x \to -\infty$ ?
1. a)tende a $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $-\frac{5}{2}$
4. d)tende a $+\infty$
Risposta: tende a $+\infty$
Grado $2$ sopra, grado $1$ sotto: nessun limite finito. Per $x$ molto negativo il numeratore è positivo e anche $3 - 2x$ è positivo, quindi la frazione tende a $+\infty$ : per $x = -1000$ vale circa $4985$ .
16.
Il costo medio per pezzo di un'azienda è $C(x) = \frac{2000 + 8x}{x}$ euro per $x$ pezzi. A che cosa tende il costo medio quando $x$ cresce senza limite?
Risposta: 8
1. Quanto vale $C(500)$ ? 12
2. Scrivi $C(x) = \frac{2000}{x} + 8$ . A che cosa tende $\frac{2000}{x}$ ? 0
3. Qual è il limite di $C(x)$ ? 8
17.
Per quale valore di $k$ il grafico di $y = \frac{kx^2 + 1}{4x^2 - 3}$ ha l'asintoto orizzontale $y = 5$ ?
Risposta: 20
Gradi uguali, quindi l'asintoto è $y = \frac{k}{4}$ . Da $\frac{k}{4} = 5$ si ottiene $k = 20$ .
18.
Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{6 + 2e^{-x}}{3 - e^{-x}}$ .
Risposta: 2
1. A che cosa tende $e^{-x}$ per $x \to +\infty$ ? 0
2. A che cosa tende il numeratore $6 + 2e^{-x}$ ? 6
3. A che cosa tende il denominatore $3 - e^{-x}$ ? 3
4. Qual è il limite? 2