Formula del cambiamento di base

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale espressione è uguale a $\log_5 20$ ?
1. a) $\log 20 \cdot \log 5$
2. b) $\log \dfrac{20}{5}$
3. c) $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
4. d) $\dfrac{\log 5}{\log 20}$
Risposta: $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
Per la formula del cambiamento di base, $\log_5 20 = \dfrac{\log 20}{\log 5} \approx 1{,}86$ . La frazione capovolta è sbagliata, e $\log \dfrac{20}{5} = \log 20 - \log 5 = \log 4$ è un altro numero.
2.
Usa la formula del cambiamento di base per calcolare $\log_2 10$ . Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 3.32
$\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}30103} \approx 3{,}32193 \approx 3{,}32$ . Verifica: $2^3 = 8$ e $2^4 = 16$ , quindi il risultato è tra 3 e 4.
3.
Quale logaritmo è uguale a $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ ?
1. a) $\ln 5$
2. b) $\log_7 2$
3. c) $\log_2 14$
4. d) $\log_2 7$
Risposta: $\log_2 7$
Leggendo la formula al contrario: $\dfrac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7 \approx 2{,}81$ . La base 2 è al denominatore e l'argomento 7 sopra. $\log_7 2$ è la versione capovolta, e $\ln 5$ nasce da una sottrazione sbagliata $7 - 2$ .
4.
Calcola $\log_3 20$ con il tasto log o ln. Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 2.73
$\log_3 20 = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}30103}{0{,}47712} \approx 2{,}72683 \approx 2{,}73$ . Con ln: $\dfrac{2{,}99573}{1{,}09861}$ dà lo stesso risultato.
5.
Calcola $\log_6 100$ con i logaritmi decimali. Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 2.57
1. Quanto vale $\log 100$ ? 2
2. Quanto vale $\log 6$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 0.7782
3. Dividi $\log 100$ per $\log 6$ . Arrotonda a 2 cifre decimali. 2.57
6.
Calcola $\log_2 30$ con i logaritmi naturali. Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 4.91
1. Quanto vale $\ln 30$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 3.4012
2. Quanto vale $\ln 2$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 0.6931
3. Dividi $\ln 30$ per $\ln 2$ . Arrotonda a 2 cifre decimali. 4.91
7.
Qual è il valore esatto di $\log_9 27$ ? (Suggerimento: scegli la base 3.)
1. a) $\dfrac{3}{2}$
2. b) $\dfrac{1}{3}$
3. c) $\dfrac{2}{3}$
4. d) $3$
Risposta: $\dfrac{3}{2}$
$\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$ . Verifica: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ .
8.
Usa la base 2 per trovare il valore esatto di $\log_8 32$ . Scrivilo come frazione, per esempio 7/4.
Risposta: 5/3
$\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$ . Verifica: $8^{5/3} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$ .
9.
Sai che $\log_3 7 \approx 1{,}7712$ . Usa la regola del reciproco per trovare $\log_7 3$ . Arrotonda a 4 cifre decimali.
Risposta: 0.5646
Scambiare base e argomento dà il reciproco: $\log_7 3 = \dfrac{1}{1{,}7712} \approx 0{,}56459 \approx 0{,}5646$ . Ha senso: $3 < 7$ , quindi $\log_7 3$ è minore di 1.
10.
Risolvi $2^x = 50$ . La soluzione è $x = \log_2 50$ ; calcolala con i logaritmi decimali. Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 5.64
1. Quanto vale $\log 50$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 1.6990
2. Quanto vale $\log 2$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 0.3010
3. Dividi per trovare $x$ . Arrotonda a 2 cifre decimali. 5.64
11.
Qual è più grande: $\log_2 12$ o $\log_3 30$ ?
Risposta: $\log_2 12$
1. Calcola $\log_2 12$ . Arrotonda a 2 cifre decimali. 3.58
2. Calcola $\log_3 30$ . Arrotonda a 2 cifre decimali. 3.10
3. Quale logaritmo è più grande? $\log_2 12$
12.
Per numeri positivi $a \neq 1$ e $b \neq 1$ , quanto vale $\log_b a \cdot \log_a b$ ?
1. a) $1$
2. b) $\log(ab)$
3. c) $0$
4. d) $\dfrac{a}{b}$
Risposta: $1$
$\log_b a \cdot \log_a b = \dfrac{\log a}{\log b} \cdot \dfrac{\log b}{\log a} = 1$ . I due logaritmi sono reciproci, per esempio $\log_2 8 \cdot \log_8 2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$ .
13.
Trova il valore esatto di $\log_{25} 125$ passando alla base 5. Scrivi il risultato come numero decimale.
Risposta: 1.5
1. Quanto vale $\log_5 125$ ? 3
2. Quanto vale $\log_5 25$ ? 2
3. Dividi il primo risultato per il secondo. Quanto vale $\log_{25} 125$ come numero decimale? 1.5
14.
Quale espressione NON è uguale a $\log_2 9$ ?
1. a) $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
2. b) $\dfrac{1}{\log_9 2}$
3. c) $\dfrac{\log 9}{\log 2}$
4. d) $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$
Risposta: $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
$\dfrac{\log 9}{\log 2}$ e $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$ sono la formula del cambiamento di base ( $\approx 3{,}17$ ), e $\dfrac{1}{\log_9 2}$ è la regola del reciproco. $\dfrac{\log 2}{\log 9} = \log_9 2 \approx 0{,}32$ è la frazione capovolta.
15.
Calcola $\log_{1{,}5} 10$ . Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 5.68
$\log_{1{,}5} 10 = \dfrac{1}{\log 1{,}5} \approx \dfrac{1}{0{,}17609} \approx 5{,}67887 \approx 5{,}68$ . Una base vicina a 1 cresce lentamente, quindi serve un esponente grande per arrivare a 10: $1{,}5^{5{,}68} \approx 10$ .
16.
Un investimento cresce del 7 % all'anno (interesse composto annuo). Dopo quanti anni interi è almeno raddoppiato?
Risposta: 11
1. Qual è il fattore di crescita annuo (la base del logaritmo)? 1.07
2. Calcola $\dfrac{\log 2}{\log 1{,}07}$ . Arrotonda a 2 cifre decimali. 10.24
3. Gli interessi si aggiungono una volta all'anno. Dopo quanti anni interi l'investimento è almeno raddoppiato? 11
17.
Semplifica $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ senza calcolatrice.
Risposta: 3
1. Dopo la semplificazione, il numeratore è $\ln$ di quale numero? 8
2. E il denominatore è $\ln$ di quale numero? 2
3. Qual è il valore dell'intero prodotto? 3
18.
Calcola $\log_4 60$ con i logaritmi naturali. Arrotonda a 3 cifre decimali.
Risposta: 2.953
1. Quanto vale $\ln 60$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 4.0943
2. Quanto vale $\ln 4$ ? Arrotonda a 4 cifre decimali. 1.3863
3. Dividi $\ln 60$ per $\ln 4$ . Arrotonda a 3 cifre decimali. 2.953