Guida per l'insegnante: Formula del cambiamento di base

Usa la formula del cambiamento di base per calcolare un logaritmo in qualsiasi base con il tasto log o ln della tua calcolatrice.

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10 domande su Logaritmi. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Enunciare la formula del cambiamento di base e le condizioni sulle basi
Dimostrare la formula a partire dalla definizione di logaritmo e dalla proprietà della potenza
Calcolare logaritmi in qualsiasi base con il tasto log o ln, arrotondati a un numero dato di cifre decimali
Trovare valori esatti come $\log_4 8$ scegliendo una nuova base adatta
Usare la regola del reciproco $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$

Prerequisiti

• Definizione di logaritmo: $\log_b x = y$ significa $b^y = x$
• Logaritmo decimale (base 10) e Logaritmo naturale (ln): log e ln sulla calcolatrice
• Proprietà della potenza dei logaritmi: $\log(b^y) = y \log b$
• Arrotondare a un numero dato di cifre decimali

Spunti di discussione

1. La tua calcolatrice ha solo log e ln. Come potresti trovare comunque $\log_7 100$ ?
2. Secondo te, perché $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ e $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ danno esattamente lo stesso numero?
3. Prima di calcolare, tra quali due numeri interi si trova $\log_2 30$ ? Come lo sai?
4. Se $\log_2 5 \approx 2{,}32$ , cosa puoi dire di $\log_5 2$ senza calcolatrice?

Idee sbagliate comuni

La base va al numeratore della frazione

Rimedio: Stimare sempre prima: $\log_3 50$ è tra 3 e 4 perché $27 < 50 < 81$ . Un risultato di $0{,}28$ è allora chiaramente sbagliato. Trucco: la base è il fondamento, quindi sta sotto.

$\dfrac{\log a}{\log b}$ è la stessa cosa di $\log \dfrac{a}{b}$

Rimedio: Calcola entrambi per $a = 100$ , $b = 10$ : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , ma $\log 10 = 1$ . Poi confronta con la proprietà del quoziente, che riguarda una sottrazione.

Con ln si ottiene un risultato diverso da quello con log

Rimedio: Fai risolvere lo stesso esercizio a metà classe con log e all'altra metà con ln, poi confrontate. I singoli logaritmi sono diversi, il quoziente no. Il grafico con le due curve lo mostra per ogni $x$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da valori che vengono interi, come $\log_2 32 = \dfrac{\log 32}{\log 2} = 5$ , per creare fiducia nella formula
• Fornire uno schema: $\log_{\square} \triangle = \dfrac{\log \triangle}{\log \square}$
• Esercitarsi a digitare tutto il quoziente nella calcolatrice in un colpo solo

Per studenti a livello:

• Calcolare logaritmi in base 2, 3, 5, 7 e 1,05 a 2 e 3 cifre decimali
• Controllare ogni risultato con una stima tramite potenze
• Trovare valori esatti come $\log_9 27$ e $\log_8 32$ con una base adatta

Per studenti avanzati:

• Dimostrare $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ e semplificare catene come $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$
• Dimostrare con il cambiamento di base che $\log_{b^n} x^n = \log_b x$
• Spiegare perché il grafico di $y = \log_b x$ è una dilatazione verticale di $y = \ln x$ di fattore $\dfrac{1}{\ln b}$

Allineamento agli standard

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Esprimere la soluzione di un'equazione esponenziale come logaritmo in base 2, 10 o e e calcolarlo con strumenti tecnologici
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendere la relazione inversa tra potenze e logaritmi e usarla per risolvere problemi
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Scegliere un livello di precisione adeguato ai limiti della misura quando si riportano grandezze

Risorse della lezione

visualDue curve identiche
Disegna $y = \dfrac{\log x}{\log b}$ e $y = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ con un cursore per $b$ : le curve sono esattamente sovrapposte
activityPrima stima, poi calcola
Gli studenti racchiudono $\log_b x$ tra due numeri interi usando le potenze di $b$ , poi controllano con la calcolatrice
worksheetTempi di raddoppio e dimezzamenti
Problemi reali su interessi, ricerca binaria e crescita, ciascuno arrotondato a un numero indicato di cifre decimali

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La maggior parte delle calcolatrici ha solo due tasti per i logaritmi: log (base 10, il logaritmo decimale) e ln (base

e

, il logaritmo naturale). La formula del cambiamento di base ti permette di calcolare un logaritmo in qualsiasi base con uno di questi tasti:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Qui

x > 0

b > 0

b \neq 1

, e la nuova base

c

può essere qualsiasi numero positivo diverso da

1

. In pratica scegli

c = 10

oppure

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Perché funziona: poni

y = \log_b x

. Allora

b^y = x

. Applica il logaritmo decimale a entrambi i membri:

\log(b^y) = \log x

. La proprietà della potenza lo trasforma in

y \cdot \log b = \log x

, quindi

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Esempio:

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(arrotondato a 2 cifre decimali). Verifica:

3^{3{,}56} \approx 50

Un caso particolare utile: scambiando la base e l'argomento si ottiene il reciproco,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Arrotondamento: esegui tutta la divisione con la calcolatrice e arrotonda solo il risultato finale, al numero di cifre decimali richiesto dal testo.

Esempi svolti

Calcola $\log_3 50$ . Arrotonda a 2 cifre decimali.

Scrivi la formula del cambiamento di base con base 10

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcola i due logaritmi decimali con la calcolatrice

$\log 50 \approx 1{,}69897$ e $\log 3 \approx 0{,}47712$ → Per ora tieni tutte le cifre

Dividi e arrotonda solo alla fine

$1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Verifica con la definizione

$3^3 = 27$ e $3^4 = 81$ , quindi il risultato deve essere tra 3 e 4. Inoltre $3^{3{,}56} \approx 50$ → Plausibile

Risposta: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Errori comuni

Scrivere la frazione capovolta: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Perché è sbagliato: La base va al denominatore. Una stima veloce mostra l'errore: $3^3 = 27$ e $3^4 = 81$ , quindi $\log_3 50$ deve essere tra 3 e 4, non sotto 1.

Corretto: Argomento sopra, base sotto: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Trasformare il quoziente di logaritmi nel logaritmo di un quoziente: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Perché è sbagliato: La proprietà del quoziente dice che $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Riguarda una differenza di logaritmi, non una divisione.

Corretto: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ è una semplice divisione tra due numeri: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Semplificare la parola log: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Perché è sbagliato: log è una funzione, non un fattore. Non si può semplificare come un numero comune in una frazione.

Corretto: Calcola prima $\log 50$ e $\log 3$ , poi dividi: $\approx 3{,}56$

Arrotondare troppo presto: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Perché è sbagliato: Arrotondare $\log 50$ e $\log 3$ prima di dividere cambia la seconda cifra decimale del risultato.

Corretto: Dividi con tutte le cifre della calcolatrice (oppure digita log(50)/log(3) in un colpo solo) e arrotonda solo il risultato finale: $3{,}56$

Perché è importante

È la formula del cambiamento di base a rendere i logaritmi davvero utilizzabili:

Qualsiasi base su qualsiasi calcolatrice: $\log_2$ , $\log_3$ o $\log_{1{,}05}$ diventano una sola divisione con il tasto log o ln.
Soldi e crescita: il tempo in cui un risparmio raddoppia al 5 % annuo è $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ anni.
Informatica: la ricerca binaria e i bit usano la base 2. Cercare tra 1 000 000 di elementi ordinati richiede circa $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , cioè 20 dimezzamenti.
Biologia: una popolazione che triplica ogni ora impiega $\log_3 500 \approx 5{,}66$ ore per diventare 500 volte più grande.
Risolvere equazioni: ogni equazione esponenziale come $2^x = 50$ ha come soluzione $x = \log_2 50$ , che calcoli con questa formula.

Spiega anche perché bastano

\log

\ln

: ogni altro logaritmo è semplicemente uno dei due diviso per una costante.

Applicazioni nel mondo reale

Quando raddoppieranno i tuoi risparmi?

Con l'interesse composto annuo, il denaro viene moltiplicato ogni anno per lo stesso fattore di crescita. Il tempo di raddoppio è un logaritmo che ha come base quel fattore.

Esempio:

Al 3 % annuo il fattore è $1{,}03$ , quindi il denaro raddoppia quando $1{,}03^t = 2$ , cioè dopo $t = \log_{1{,}03} 2$ anni.

1Provaci tu stesso

Versi 1000 € su un conto di risparmio che paga il 3 % di interesse annuo, accreditato una volta all'anno.

Dopo quanti anni il denaro è raddoppiato?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi $\log_{1{,}03} 2$ come quoziente di due logaritmi decimali (scrivi l'espressione nella forma log(a)/log(b), non il valore arrotondato):

La ricerca binaria in informatica

La ricerca binaria trova un elemento in un elenco ordinato dimezzandolo più e più volte. Il numero di dimezzamenti è un logaritmo in base 2, che i computer calcolano con il cambiamento di base.

Esempio:

Un elenco ordinato di 1024 nomi richiede $\log_2 1024 = 10$ dimezzamenti, perché $2^{10} = 1024$ .

2Provaci tu stesso

Un database contiene 1 000 000 di record ordinati. Ogni passo della ricerca binaria dimezza il numero di record rimasti.

Quanti dimezzamenti servono per arrivare a un solo record?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi $\log_2 1000000$ come quoziente di due logaritmi decimali (scrivi l'espressione nella forma log(a)/log(b), non il valore arrotondato):

Batteri che triplicano ogni ora

Alcune colture di batteri triplicano ogni ora. Il tempo per raggiungere una certa dimensione è un logaritmo in base 3.

Esempio:

Dopo 2 ore la coltura è $3^2 = 9$ volte più grande, dopo 4 ore $3^4 = 81$ volte più grande.

3Provaci tu stesso

Una coltura triplica ogni ora. Un laboratorio ha bisogno che diventi 500 volte più grande rispetto all'inizio.

Quante ore ci vogliono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi $\log_3 500$ come quoziente di due logaritmi decimali (scrivi l'espressione nella forma log(a)/log(b), non il valore arrotondato):

Punti chiave

1Formula del cambiamento di base: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ per ogni nuova base $c > 0$ , $c \neq 1$
2Con la calcolatrice usa $c = 10$ o $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , entrambe danno lo stesso risultato
3L'argomento va sopra, la base va sotto
4Funziona perché $b^y = x$ dà $y \log b = \log x$ (proprietà della potenza), quindi $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Scambiare base e argomento dà il reciproco: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Dividi con tutte le cifre e arrotonda solo il risultato finale, alle cifre decimali richieste

Domande frequenti

Nella formula devo usare log o ln?

Vanno bene entrambi.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

valgono tutti e due

\approx 3{,}56

. Usa solo lo stesso tipo di logaritmo sopra e sotto.

La mia calcolatrice ha un tasto $\log_b$ . Mi serve ancora la formula?

Il tasto ti dà il numero, ma la formula serve ancora per trovare valori esatti come

\log_4 8 = \dfrac{3}{2}

, per semplificare espressioni, per risolvere equazioni a mano e nelle verifiche in cui sono ammessi solo log e ln. Il tasto stesso usa internamente il cambiamento di base.

A quante cifre decimali devo arrotondare?

A quante ne chiede il testo. Se non dice nulla, di solito si usano da 2 a 4 cifre decimali (per esempio

\log_3 50 \approx 3{,}56

3{,}5609

). Arrotonda sempre una volta sola, alla fine.

Perché $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ ?

Con il cambiamento di base,

\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}

\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}

. Moltiplicando le due frazioni si semplifica tutto e resta

1

. I due logaritmi sono quindi reciproci.

Glossario

Formula del cambiamento di base: La regola $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ che riscrive un logaritmo con una nuova base $c$
Base: Il numero $b$ in $\log_b x$ , quello che viene elevato a potenza; deve essere positivo e diverso da $1$
Argomento: Il numero $x$ in $\log_b x$ di cui si calcola il logaritmo; deve essere positivo
Logaritmo decimale: Il logaritmo in base 10, scritto $\log x$ (il tasto log)
Logaritmo naturale: Il logaritmo in base $e \approx 2{,}718$ , scritto $\ln x$ (il tasto ln)
Reciproco: Il numero $\dfrac{1}{a}$ per un numero $a \neq 0$ ; $\log_b a$ e $\log_a b$ sono reciproci

Scheda formule

Cambiamento di base (base qualsiasi)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Qualsiasi nuova base $c > 0$, $c \neq 1$

Con i logaritmi decimali

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Usa il tasto log

Con i logaritmi naturali

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Usa il tasto ln, stesso risultato

Regola del reciproco

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Scambiare base e argomento capovolge il valore

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Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

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Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

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Batteri che triplicano ogni ora

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