Grafici delle funzioni logaritmiche

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è il dominio di $y = \log_3 x$ ?
1. a) $x > 3$
2. b) $x \geq 0$
3. c) $x > 0$
4. d) $x < 0$
Risposta: $x > 0$
$3^y$ è sempre positivo, quindi $x = 3^y$ deve essere positivo. Il dominio è $x > 0$ ; $x = 0$ è escluso perché $\log_3 0$ non esiste.
2.
Il punto $(8, y)$ sta sul grafico di $y = \log_2 x$ . Quanto vale $y$ ?
Risposta: 3
$2^3 = 8$ , quindi $\log_2 8 = 3$ e il punto è $(8, 3)$ .
3.
Completa la tabella dei valori di $y = \log_3 x$ per $x = \frac{1}{3}, 1, 3, 9$ .
Risposta: -1, 0, 1, 2
1. Quanto vale $y$ per $x = \frac{1}{3}$ ? -1
2. Quanto vale $y$ per $x = 1$ ? 0
3. Quanto vale $y$ per $x = 3$ ? 1
4. Quanto vale $y$ per $x = 9$ ? 2
4.
Qual è l'asintoto verticale di $y = \log_2(x + 4)$ ?
1. a) $x = -4$
2. b) $x = 4$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = -4$
Risposta: $x = -4$
L'argomento $x + 4$ vale $0$ in $x = -4$ . Il grafico di $y = \log_2 x$ si sposta di 4 unità a sinistra, quindi l'asintoto è $x = -4$ .
5.
In quale $x$ il grafico di $y = \log_5 x$ interseca l'asse $x$ ?
Risposta: 1
$\log_5 x = 0$ significa $x = 5^0 = 1$ . Ogni grafico $y = \log_b x$ interseca l'asse $x$ in $(1, 0)$ .
6.
Il punto $(2, 9)$ sta su $y = 3^x$ . Trova il punto corrispondente su $y = \log_3 x$ .
Risposta: (9, 2)
1. Qual è la coordinata x del punto simmetrico? 9
2. Qual è la coordinata y del punto simmetrico? 2
3. Verifica: quanto vale $\log_3 9$ ? 2
7.
Quale funzione ha un grafico decrescente?
1. a) $y = \ln x$
2. b) $y = \log_5 x$
3. c) $y = \log_{10} x$
4. d) $y = \log_{1/3} x$
Risposta: $y = \log_{1/3} x$
$\log_{1/3} x$ ha base $\frac{1}{3}$ , compresa tra 0 e 1, quindi il suo grafico è decrescente. Le basi $5$ , $10$ ed $e$ sono maggiori di 1, quei grafici sono crescenti.
8.
Il grafico di $y = \log_3(x - 7) + 2$ ha l'asintoto verticale $x = c$ . Quanto vale $c$ ?
Risposta: 7
L'argomento $x - 7$ vale $0$ in $x = 7$ , quindi l'asintoto è $x = 7$ . Il $+2$ sposta il grafico solo verso l'alto e non cambia l'asintoto.
9.
Traccia $y = \log_2(x - 5)$ : trova l'asintoto e due punti chiave.
Risposta: $x = 5$ ; $(6, 0)$ , $(7, 1)$
1. L'asintoto è $x = ?$ 5
2. Per quale $x$ si ha $y = 0$ ? 6
3. Per quale $x$ si ha $y = 1$ ? 7
10.
Sul grafico di $y = \log_{1/2} x$ , di quanto cambia $y$ quando $x$ va da $\frac{1}{2}$ a $4$ ?
Risposta: -3
1. Quanto vale $\log_{1/2} \frac{1}{2}$ ? 1
2. Quanto vale $\log_{1/2} 4$ ? -2
3. Qual è la variazione di $y$ (fine meno inizio)? -3
11.
Il grafico di $y = \log_4 x$ è il simmetrico di quale grafico rispetto alla retta $y = x$ ?
1. a) $y = 4x$
2. b) $y = 4^x$
3. c) $y = x^4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$
Risposta: $y = 4^x$
$y = \log_4 x$ significa $4^y = x$ , quindi è l'inversa di $y = 4^x$ . Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto a $y = x$ .
12.
Quanto vale $y$ sul grafico di $y = \log_2(x + 1) - 3$ per $x = 7$ ?
Risposta: 0
$y = \log_2 8 - 3 = 3 - 3 = 0$ . Quindi $(7, 0)$ è l'intersezione di questo grafico con l'asse $x$ .
13.
Il grafico di $y = \log_2 x$ viene traslato in $y = \log_2(x + 3) - 4$ . Dove finiscono i punti chiave $(1, 0)$ e $(2, 1)$ ?
Risposta: $(-2, -4)$ , $(-1, -3)$
1. Nuova coordinata x di $(1, 0)$ ? -2
2. Nuova coordinata y di $(1, 0)$ ? -4
3. Nuova coordinata x di $(2, 1)$ ? -1
4. Nuova coordinata y di $(2, 1)$ ? -3
14.
Quale funzione ha l'asintoto verticale $x = 2$ e passa per $(3, -1)$ ?
1. a) $y = \log_2(x - 2) + 1$
2. b) $y = \log_2(x - 2) - 1$
3. c) $y = \log_2(x + 2) - 1$
4. d) $y = \log_2(x - 1) - 1$
Risposta: $y = \log_2(x - 2) - 1$
L'asintoto $x = 2$ richiede l'argomento $x - 2$ ; restano $\log_2(x - 2) - 1$ e $\log_2(x - 2) + 1$ . In $x = 3$ : $\log_2 1 - 1 = -1$ , ma $\log_2 1 + 1 = 1$ . La risposta è $y = \log_2(x - 2) - 1$ .
15.
Trova l'intersezione di $y = \log_3(x - 1) - 2$ con l'asse $x$ . Inserisci il valore di $x$ .
Risposta: 10
$\log_3(x - 1) = 2$ significa $x - 1 = 3^2 = 9$ , quindi $x = 10$ . L'intersezione con l'asse $x$ è $(10, 0)$ .
16.
Traccia $y = -\log_3(x + 2)$ : trova l'asintoto, l'intersezione con l'asse $x$ e altri due punti.
Risposta: $x = -2$ ; $(-1, 0)$ , $(7, -2)$ , $\left(-\frac{5}{3}, 1\right)$
1. L'asintoto è $x = ?$ -2
2. In quale $x$ si ha $y = 0$ ? -1
3. Quanto vale $y$ per $x = 7$ ? -2
4. Quanto vale $y$ per $x = -\frac{5}{3}$ ? 1
17.
Un grafico $y = \log_b(x - h) + k$ ha l'asintoto $x = 1$ e passa per $(2, 3)$ e $(6, 4)$ . Trova $h$ , $k$ e $b$ .
Risposta: $y = \log_5(x - 1) + 3$
1. Quanto vale $h$ ? 1
2. Quanto vale $k$ ? 3
3. Quanto vale $b$ ? 5
18.
Studia $y = \log_2(6 - 2x)$ : trova l'asintoto, un punto e l'intersezione con l'asse $x$ .
Risposta: $x = 3$ ; $(1, 2)$ , $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$
1. Risolvi $6 - 2x = 0$ . L'asintoto è $x = ?$ 3
2. Quanto vale $y$ per $x = 1$ ? 2
3. In quale $x$ si ha $y = 0$ ? (Scrivi un numero decimale.) 2.5