Proprietà del prodotto dei logaritmi

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale espressione è uguale a $\log_b(MN)$ (con $M, N > 0$ )?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M \cdot \log_b N$
3. c) $\log_b(M + N)$
4. d) $\log_b M - \log_b N$
Risposta: $\log_b M + \log_b N$
Per la proprietà del prodotto, $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ . Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, non il loro prodotto.
2.
Usa la proprietà del prodotto: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = \;?$
Risposta: 5
$\log_2 4 = 2$ e $\log_2 8 = 3$ , quindi la somma è $5$ . Verifica: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ .
3.
Sviluppa $\log_3(5x)$ per $x > 0$ .
1. a) $\log_3(5 + x)$
2. b) $5 \log_3 x$
3. c) $\log_3 5 + \log_3 x$
4. d) $\log_3 5 \cdot \log_3 x$
Risposta: $\log_3 5 + \log_3 x$
$\log_3(5x) = \log_3 5 + \log_3 x$ . Il fattore $5$ non passa davanti al logaritmo (servirebbe una potenza, $x^5$ ).
4.
Calcola $\log 2 + \log 50$ (logaritmo decimale, base 10) senza calcolatrice.
Risposta: 2
$\log 2 + \log 50 = \log 100 = 2$ , perché $10^2 = 100$ .
5.
Scrivi $\log_6 4 + \log_6 9$ come unico logaritmo e calcolalo.
Risposta: 2
1. Moltiplica gli argomenti: $4 \cdot 9 = \;?$ 36
2. Quanto vale $\log_6 36$ ? 2
6.
Verifica che $\log_2 32 = \log_2 4 + \log_2 8$ .
Risposta: 5
1. Quanto vale $\log_2 4$ ? 2
2. Quanto vale $\log_2 8$ ? 3
3. Quanto vale $\log_2 32$ ? (Deve essere la somma dei due risultati.) 5
7.
Quale affermazione è vera?
1. a) $\log(10 + 10) = 2$
2. b) $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
3. c) $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
4. d) $\log 2 \cdot \log 5 = \log 10$
Risposta: $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
$\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$ è la proprietà del prodotto ( $= \log 10 = 1$ ). Le altre sono false: $\log(6+4) = 1$ ma $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$ ; $\log 2 \cdot \log 5 \approx 0{,}210$ ; $\log 20 \approx 1{,}301$ , non $2$ .
8.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ per approssimare $\log 6$ . Scrivi il risultato con 3 cifre decimali.
Risposta: 0.778
$\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ . (La calcolatrice dà $0{,}77815\ldots$ )
9.
Se $\log_b M = 3{,}2$ e $\log_b N = 1{,}5$ , quanto vale $\log_b(MN)$ ?
Risposta: 4.7
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N = 3{,}2 + 1{,}5 = 4{,}7$ . Non serve conoscere $b$ , $M$ o $N$ .
10.
Approssima $\log 12$ usando $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ . Scrivi il risultato con 3 cifre decimali.
Risposta: 1.079
1. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Quanti fattori $2$ ci sono? 2
2. Quanto vale $\log 2 + \log 2$ ? 0.602
3. Aggiungi $\log 3$ : quanto vale $\log 12$ ? 1.079
11.
Sviluppa $\log_2(8xy) = \log_2 8 + \log_2 x + \log_2 y$ e calcola il valore per $x = 4$ e $y = 16$ .
Risposta: 9
1. Quanto vale $\log_2 8$ ? 3
2. Quanto vale $\log_2 x$ per $x = 4$ ? 2
3. Quanto vale $\log_2 y$ per $y = 16$ ? 4
4. Somma i tre risultati. Quanto vale $\log_2(8xy)$ ? 9
12.
Condensa $\log_4 2 + \log_4 32$ in un unico logaritmo e calcolalo.
Risposta: 3
1. Moltiplica gli argomenti: $2 \cdot 32 = \;?$ 64
2. Quanto vale $\log_4 64$ ? 3
13.
Condensa $\log_5 x + \log_5(x + 3)$ in un unico logaritmo.
1. a) $2\log_5 x + 3$
2. b) $\log_5(x^2 + 3x)$
3. c) $\log_5(x^2 + 3)$
4. d) $\log_5(2x + 3)$
Risposta: $\log_5(x^2 + 3x)$
$\log_5 x + \log_5(x+3) = \log_5\big(x(x+3)\big) = \log_5(x^2 + 3x)$ , valido per $x > 0$ .
14.
Per quali valori di $x$ vale $\log x + \log(x - 4) = \log(x^2 - 4x)$ ?
1. a)Per $x > 4$
2. b)Per tutti i numeri reali $x$
3. c)Per $x > 0$
4. d)Per $x < 0$ o $x > 4$
Risposta: Per $x > 4$
Il membro di sinistra esiste solo se $x > 0$ e $x > 4$ , cioè per $x > 4$ . Il membro di destra esiste anche per $x < 0$ (per esempio $x = -1$ dà $\log 5$ ), ma allora $\log(-1)$ a sinistra non esiste. L'uguaglianza vale esattamente per $x > 4$ .
15.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ per approssimare $\log 2000$ . Scrivi il risultato con 3 cifre decimali.
Risposta: 3.301
$\log 2000 = \log 2 + \log 1000 \approx 0{,}301 + 3 = 3{,}301$ . Moltiplicare per $1000$ aggiunge semplicemente $3$ al logaritmo.
16.
Condensa $\log_3 x + \log_3 9 + \log_3 x$ in un unico logaritmo $\log_3(9x^2)$ e calcolalo per $x = 3$ .
Risposta: 4
1. Quanto vale l'argomento $9x^2$ per $x = 3$ ? 81
2. Quanto vale $\log_3 81$ ? 4
3. Verifica con la somma di partenza: $\log_3 3 + \log_3 9 + \log_3 3 = \;?$ 4
17.
Un suono ha un livello di $50$ decibel: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 50$ . La sua intensità viene moltiplicata per $100$ . Usa $10 \log\left(100 \cdot \frac{I}{I_0}\right) = 10 \log 100 + 10 \log\frac{I}{I_0}$ per trovare il nuovo livello.
Risposta: 70
1. Quanto vale $\log 100$ ? 2
2. Quanto vale $10 \log 100$ ? 20
3. Qual è il nuovo livello in decibel? 70
18.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ , $\log 3 \approx 0{,}477$ e $\log 7 \approx 0{,}845$ per approssimare $\log 42$ . Scrivi il risultato con 3 cifre decimali.
Risposta: 1.623
1. $42 = 2 \cdot 3 \cdot \;?$ 7
2. Quanto vale $\log 2 + \log 3$ ? 0.778
3. Aggiungi $\log 7$ : quanto vale $\log 42$ ? 1.623