Risolvere equazioni logaritmiche

Risposta: $x = 4^3$

$\log_b A = c \iff A = b^c$. Qui $b = 4$ e $c = 3$, quindi $x = 4^3 = 64$.

Risposta: 125

$x = 5^3 = 125$. Verifica: $\log_5 125 = 3$ perché $5^3 = 125$.

Risposta: 19

1. Passa alla forma esponenziale: $x - 3 = 4^2$. Quanto vale $4^2$? 16
2. Risolvi $x - 3 = 16$. Quanto vale $x$? 19
3. Controllo del dominio: quanto vale l'argomento $x - 3$ per il tuo $x$? (Deve essere positivo.) 16

Risposta: $x = 4$

L'argomento deve essere positivo: $x - 5 > 0$, quindi $x > 5$. Per $x = 4$ l'argomento è $4 - 5 = -1$, e $\log_3(-1)$ non è definito.

Risposta: 3

$3x - 1 = 2^3 = 8$, quindi $3x = 9$ e $x = 3$. Verifica: l'argomento $3 \cdot 3 - 1 = 8$ è positivo e $\log_2 8 = 3$.

Risposta: 7.39

1. Passa alla forma esponenziale: $x = e^{\square}$. Qual è l'esponente? 2
2. Calcola $e^2$ e arrotonda a due cifre decimali. 7.39

Risposta: 5

1. Uguaglia gli argomenti: $5x - 4 = 2x + 11$. Riordina: $3x = \square$ 15
2. Quanto vale $x$? 5
3. Verifica: quanto vale l'argomento $5x - 4$ per questo $x$? 21

Risposta: 6

Proprietà della potenza: $\log_5(x^2) = \log_5 36$, quindi $x^2 = 36$ e $x = 6$ oppure $x = -6$. Nell'equazione di partenza $\log_5(-6)$ non è definito, quindi $x = -6$ è una soluzione estranea. La soluzione è $x = 6$.

Risposta: $\frac{\log 50}{\log 7}$

$\log(7^x) = \log 50$ dà $x \log 7 = \log 50$, quindi $x = \frac{\log 50}{\log 7} \approx 2{,}01$. Nota: $\log \frac{50}{7}$ e $\log 50 - \log 7$ sono lo stesso numero (circa $0{,}85$) e sono sbagliati.

Risposta: 2.29

1. Dopo la proprietà della potenza hai $x \log 5 = \log 40$. Quanto vale $\log 40$, arrotondato a tre cifre decimali? 1.602
2. Quanto vale $\log 5$, arrotondato a tre cifre decimali? 0.699
3. Dividi: $x = \frac{\log 40}{\log 5}$. Arrotonda $x$ a due cifre decimali. 2.29

Risposta: 4.32

$x \log 2 = \log 20$, quindi $x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32$. Concorda con la stima $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$.

Risposta: 2

1. Condensa: $\log_2 \frac{x + 6}{x - 1} = 3$. Passa alla forma esponenziale: $\frac{x + 6}{x - 1} = \square$ 8
2. Moltiplica per $(x - 1)$: $x + 6 = 8x - 8$. Riordina: $7x = \square$ 14
3. Quanto vale $x$? (Verifica che $x - 1$ sia positivo.) 2

Risposta: 2

1. Condensa: $\log_6\big(x(x + 1)\big) = 1$. Forma esponenziale: $x(x + 1) = \square$ 6
2. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$. Qual è il candidato positivo? 2
3. Qual è l'altro candidato? -3
4. Quale candidato è la soluzione? (Tutti gli argomenti devono essere positivi.) 2

Risposta: solo $x = 8$

$\log_2\big(x(x - 6)\big) = 4$, quindi $x^2 - 6x = 16$, $x^2 - 6x - 16 = 0$, $(x - 8)(x + 2) = 0$. Con $x = -2$, $\log_2(-2)$ non è definito, quindi resta solo $x = 8$: $\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ ✓

Risposta: 9

1. Condensa e riscrivi: $x(x - 8) = 3^2 = \square$ 9
2. $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1) = 0$. Qual è il candidato positivo? 9
3. Qual è l'altro candidato? -1
4. Quale candidato è la soluzione? (Controlla gli argomenti $x$ e $x - 8$.) 9

Risposta: 1

$\log \frac{x + 9}{x} = 1$, quindi $\frac{x + 9}{x} = 10$, $x + 9 = 10x$, $9x = 9$, $x = 1$. Verifica: $\log 10 - \log 1 = 1 - 0 = 1$ ✓

Risposta: solo $x = 2$

$\log\big(x(x + 3)\big) = 1$, quindi $x^2 + 3x = 10$, $(x + 5)(x - 2) = 0$. Per $x = -5$, $\log(-2)$ e $\log(-5)$ non sono definiti: è una soluzione estranea. La soluzione è $x = 2$: $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓

Risposta: 3.93

1. Dividi entrambi i membri per 4. $3^{x - 1} = \square$ 25
2. Usa i logaritmi: $x - 1 = \frac{\log 25}{\log 3}$. Arrotonda $x - 1$ a due cifre decimali. 2.93
3. Quanto vale $x$, arrotondato a due cifre decimali? 3.93