Guida per l'insegnante: Risolvere equazioni logaritmiche

Risolvi equazioni con l'incognita dentro un logaritmo, scarta le soluzioni estranee e usa i logaritmi per risolvere equazioni come 3^x = 20.

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10 domande su Logaritmi. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Risolvere equazioni logaritmiche passando alla forma esponenziale
Risolvere equazioni con logaritmi in entrambi i membri usando l'uguaglianza dei logaritmi
Condensare somme e differenze di logaritmi prima di risolvere, riconoscendo e scartando le soluzioni estranee
Risolvere equazioni esponenziali con basi diverse usando i logaritmi, dando il valore esatto e quello arrotondato

Prerequisiti

• Definizione di logaritmo (passaggio tra forma logaritmica e forma esponenziale)
• Proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza per i logaritmi
• Formula del cambiamento di base
• Risolvere equazioni esponenziali (metodo della stessa base)
• Risoluzione di equazioni di primo e secondo grado per scomposizione

Spunti di discussione

1. Perché puoi togliere i logaritmi in $\log_5 A = \log_5 B$ , ma non in $\log_5 A + \log_5 B = 2$ ?
2. L'equazione $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ dà i candidati $4$ e $-2$ . Da dove viene il secondo?
3. L'equazione $\log_3 x = -2$ può avere una soluzione anche se il secondo membro è negativo? E $\log_3 x = 0$ ?
4. Prima di usare la calcolatrice, come capisci che la soluzione di $3^x = 20$ sta tra $2$ e $3$ ?

Idee sbagliate comuni

Ogni numero trovato durante la risoluzione è una soluzione

Rimedio: Fare del controllo del dominio un ultimo passo fisso. Mostrare i grafici di $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ e di $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ : coincidono per $x > 2$ , ma solo quello condensato esiste per $x < 0$ .

Un valore negativo di $x$ è sempre una soluzione estranea

Rimedio: Usare $\log_2(x + 5) = 1$ , dove $x = -3$ è una soluzione accettabile. Sottolineare che devono essere positivi gli argomenti, non $x$ .

$\frac{\log 20}{\log 3}$ è uguale a $\log \frac{20}{3}$

Rimedio: Far calcolare entrambi con la calcolatrice: $2{,}73$ contro circa $0{,}82$ . La proprietà del quoziente riguarda il logaritmo di un quoziente, non un quoziente di logaritmi.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da equazioni dirette come $\log_2 x = 5$ ed esercitare solo il passaggio alla forma esponenziale
• Dare una lista fissa di passi: condensare, riscrivere, risolvere, controllare il dominio
• Fornire una tabella delle potenze di 2, 3, 5 e 10 per riconoscere valori come $81 = 3^4$

Per studenti a livello:

• Risolvere equazioni con logaritmi in entrambi i membri e con un'espressione dentro il logaritmo
• Risolvere equazioni che, condensate, diventano di secondo grado e scartare il candidato estraneo
• Risolvere equazioni esponenziali come $5^x = 40$ e arrotondare a due cifre decimali

Per studenti avanzati:

• Risolvere equazioni con logaritmi in basi diverse applicando prima la formula del cambiamento di base
• Risolvere equazioni esponenziali con l'incognita in entrambi i membri, come $2^{x+1} = 3^x$ , usando i logaritmi
• Costruire un'equazione in cui entrambi i candidati sono estranei e spiegare perché è impossibile

Allineamento agli standard

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Nei modelli esponenziali, esprimere come logaritmo la soluzione di ab^(ct) = d, dove a, c e d sono numeri e la base b è 2, 10 o e; calcolare il logaritmo con la tecnologia
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendere la relazione inversa tra esponenti e logaritmi e usarla per risolvere problemi con logaritmi ed esponenti
HSA-REI.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.2)
Risolvere semplici equazioni in una variabile e dare esempi di come possono nascere soluzioni estranee
HSA-REI.D.11 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.11)
Spiegare perché le ascisse dei punti di intersezione dei grafici di y = f(x) e y = g(x) sono le soluzioni dell'equazione f(x) = g(x)

Risorse della lezione

visualDue grafici, un'equazione
Gli studenti confrontano i grafici dell'equazione di partenza e di quella condensata e vedono da dove nasce la soluzione estranea
activityAccettare o scartare
Carte con un'equazione e un candidato: gli studenti sostituiscono e decidono se tutti gli argomenti restano positivi
worksheetEsercizi sulle equazioni logaritmiche
Equazioni dalla forma esponenziale fino al condensare con soluzioni estranee, con una colonna per il controllo del dominio

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare nell'argomento di un logaritmo, per esempio

\log_2 x = 3

oppure

\log_3(2x + 1) = 2

Due strumenti risolvono quasi tutte le equazioni logaritmiche:

1. Passare alla forma esponenziale. Un logaritmo è un esponente, quindi

\log_b A = c \iff A = b^c

Per esempio,

\log_2 x = 3

significa

x = 2^3 = 8

. Nel grafico la retta

y = 3

incontra la curva

y = \log_2 x

proprio in

x = 8

2. Usare l'uguaglianza dei logaritmi. Se due logaritmi con la stessa base sono uguali, i loro argomenti sono uguali:

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Il metodo:

1.Condensare ogni membro in un unico logaritmo con le proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza.
2.Riscrivere in forma esponenziale, oppure uguagliare gli argomenti.
3.Risolvere l'equazione che si ottiene (di solito di primo o di secondo grado).
4.Controllare il dominio (condizioni di esistenza): ogni argomento dell'equazione DI PARTENZA deve essere positivo. Un candidato che rende un argomento nullo o negativo è una soluzione estranea e va scartato.

Equazioni esponenziali con basi diverse. Quando i due membri di un'equazione esponenziale non si possono scrivere con la stessa base, si calcola il logaritmo di entrambi i membri e si applica la proprietà della potenza:

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Qui

\log

è il logaritmo decimale (base 10). Il logaritmo naturale

\ln

dà lo stesso risultato.

Esempi svolti

Risolvi $\log_2 x = 3$ .

Riconoscere le parti

Base $2$ , argomento $x$ , valore del logaritmo $3$ → $\log_2 x = 3$

Scrivere in forma esponenziale

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Calcolare la potenza

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Verificare

$\log_2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$ ✓, e l'argomento $8$ è positivo → La soluzione è accettabile

Risposta: $x = 8$

Errori comuni

Tenere entrambi i candidati: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ oppure $x = -2$

Perché è sbagliato: Dopo aver condensato in $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ sembrano ammessi anche valori negativi di $x$ , perché il prodotto di due numeri negativi è positivo. Ma l'equazione di partenza contiene $\log_2 x$ , che per $x = -2$ non è definito.

Corretto: Verifica ogni candidato nell'equazione DI PARTENZA. Funziona solo $x = 4$ ; $x = -2$ è una soluzione estranea.

Togliere i logaritmi: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Perché è sbagliato: Puoi togliere i logaritmi solo quando ogni membro è un unico logaritmo con la stessa base (uguaglianza dei logaritmi). Qui a sinistra c'è una somma di logaritmi e a destra un numero.

Corretto: Prima condensa, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , poi passa alla forma esponenziale: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Scambiare base ed esponente: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Perché è sbagliato: In $\log_b A = c$ è la base $b$ che viene elevata a $c$ . La base del logaritmo resta la base della potenza.

Corretto: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , quindi $x = 4$ . Verifica: $\log_3 9 = 2$ ✓

Dividere invece di usare i logaritmi: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Perché è sbagliato: $3^x$ è una potenza, non il prodotto $3 \cdot x$ . Una verifica veloce mostra l'errore: $3^{6{,}67}$ vale circa $1500$ , molto più di $20$ .

Corretto: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Attenzione: $\frac{\log 20}{\log 3}$ NON è uguale a $\log \frac{20}{3}$ .

Perché è importante

Le equazioni logaritmiche rispondono alle domande quanto tempo? e quanto intenso? ogni volta che qualcosa cresce o diminuisce di un fattore costante:

Finanza: dopo quanti anni raddoppiano dei risparmi all'8 % di interesse? Risolvi $1{,}08^t = 2$ .
Biologia: quando una coltura di batteri raggiunge una dimensione che non è una potenza di 2?
Acustica: quante volte più intenso è un tosaerba da 90 dB rispetto al suono più debole che riesci a sentire?
Chimica e geologia: il pH e la scala Richter sono logaritmi. Per trovare la concentrazione o l'energia che c'è dietro bisogna risolvere un'equazione logaritmica.

Nella lezione Risolvere equazioni esponenziali potevi solo dire che la soluzione di

2^x = 20

sta tra

4

5

. Con i logaritmi ottieni il valore esatto

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. E il controllo del dominio è un'abitudine che ti servirà in ogni equazione con radici, frazioni o logaritmi.

Applicazioni nel mondo reale

Raddoppiare i risparmi

Il denaro che cresce ogni anno di una percentuale fissa segue $A = P \cdot (1 + r)^t$. Ricavando l'esponente $t$ con i logaritmi sai quando raggiungi un obiettivo di risparmio.

Esempio:

Al 6 % di interesse annuo il denaro raddoppia quando $1{,}06^t = 2$ , cioè dopo $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ anni.

1Provaci tu stesso

Metti 1000 € su un conto di risparmio che rende l'8 % all'anno. Dopo $t$ anni hai $1000 \cdot 1{,}08^t$ euro.

Dopo quanti anni il denaro è raddoppiato fino a 2000 €?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ e scrivi il valore esatto di $t$ come quoziente di due logaritmi, nella forma ln(a)/ln(b) (senza arrotondare per ora):

Il volume in decibel

Il livello sonoro in decibel è $L = 10 \log r$, dove $r = \frac{I}{I_0}$ confronta l'intensità di un suono con quella del suono più debole che una persona riesce a sentire.

Esempio:

Una conversazione normale è di circa 60 dB: $10 \log r = 60$ dà $\log r = 6$ , quindi $r = 10^6$ , un milione di volte la soglia di udibilità.

2Provaci tu stesso

Un tosaerba raggiunge 90 dB. Il suo rapporto di intensità $r$ soddisfa $10 \log r = 90$ .

Quanto vale il rapporto di intensità $r$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi $r$ come potenza di 10:

Batteri che crescono

Una colonia che raddoppia ogni ora segue $N = N_0 \cdot 2^t$. Quando la dimensione cercata non è una potenza di 2, i logaritmi danno il tempo esatto.

Esempio:

Una colonia di 200 cellule arriva a 1000 cellule quando $2^t = 5$ , cioè dopo $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ ore.

3Provaci tu stesso

Una coltura parte da 500 batteri e raddoppia ogni ora.

Dopo quante ore ci sono 6000 batteri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $500 \cdot 2^t = 6000$ e scrivi il valore esatto di $t$ come quoziente di due logaritmi, nella forma ln(a)/ln(b) (senza arrotondare per ora):

Punti chiave

1In un'equazione logaritmica l'incognita sta dentro un logaritmo, come in $\log_2 x = 3$
2Forma esponenziale: $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Iniettività del logaritmo: da $\log_b M = \log_b N$ segue $M = N$
4Condensa somme e differenze di logaritmi in un unico logaritmo prima di risolvere
5Verifica ogni candidato nell'equazione DI PARTENZA: tutti gli argomenti devono essere positivi, altrimenti il candidato è una soluzione estranea
6Nelle equazioni esponenziali con basi diverse usa i logaritmi: $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Domande frequenti

Perché compaiono le soluzioni estranee?

Condensare cambia il dominio.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

richiede

x > 2

, mentre

\log_2\big(x(x - 2)\big)

richiede solo

x(x - 2) > 0

, che vale anche per

x < 0

. L'equazione condensata può quindi avere soluzioni che quella di partenza non ha. Per questo si verifica sempre nell'equazione di partenza.

Una soluzione negativa è sempre estranea?

No. Conta il segno di ogni argomento, non quello di

x

. In

\log_2(x + 5) = 1

si ottiene

x + 5 = 2

, quindi

x = -3

, e l'argomento

-3 + 5 = 2

è positivo. La soluzione

x = -3

è accettabile.

Per risolvere $3^x = 20$ uso log o ln?

Vanno bene tutti e due.

\frac{\log 20}{\log 3}

\frac{\ln 20}{\ln 3}

danno lo stesso numero, circa

2{,}73

. È proprio la formula del cambiamento di base: entrambi sono uguali a

\log_3 20

Un'equazione logaritmica può non avere soluzioni?

Sì. In

\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)

gli argomenti danno

x - 4 = 2x - 1

, quindi

x = -3

. Ma allora entrambi gli argomenti valgono

-7

, il che non è ammesso. L'unico candidato viene scartato, quindi l'equazione è impossibile.

Glossario

Equazione logaritmica: Un'equazione in cui l'incognita compare nell'argomento di un logaritmo, come $\log_3(2x + 1) = 2$
Forma esponenziale: La scrittura di un logaritmo come potenza: $\log_b A = c$ diventa $A = b^c$
Iniettività del logaritmo: Se $\log_b M = \log_b N$ , allora $M = N$ (per $M, N > 0$ )
Candidato: Un valore trovato durante la risoluzione che va ancora verificato nell'equazione di partenza
Soluzione estranea: Un candidato che rende un argomento dell'equazione di partenza nullo o negativo e che quindi non è accettabile
Dominio di un logaritmo: I valori per cui $\log_b A$ è definito: l'argomento deve essere positivo, $A > 0$ (condizione di esistenza)

Scheda formule

Forma esponenziale

\log_b A = c \iff A = b^c

Vale per $b > 0$, $b \neq 1$. Usala quando un membro è un unico logaritmo e l'altro è un numero.

Iniettività del logaritmo

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Usala quando ogni membro è un unico logaritmo con la stessa base.

Controllo del dominio

A > 0

Ogni argomento $A$ di un logaritmo nell'equazione di partenza deve essere positivo. Altrimenti il candidato è una soluzione estranea.

Logaritmo di entrambi i membri

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Risolve le equazioni esponenziali i cui membri non si possono scrivere con la stessa base, per esempio $3^x = 20$.

Altro su questo argomento

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Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Raddoppiare i risparmi

Il volume in decibel

Batteri che crescono

Punti chiave

Domande frequenti

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