Guida per l'insegnante: Successione di Fibonacci

Impara la successione di Fibonacci, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, i suoi schemi nascosti e perché il rapporto tra termini vicini si avvicina alla sezione aurea.

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10 domande su Successioni. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Calcolare i termini della successione di Fibonacci con la regola $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Spiegare come il problema dei conigli di Fibonacci genera la successione
Riconoscere e usare lo schema dei termini pari e la regola $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$
Calcolare i rapporti tra termini vicini e descrivere come si avvicinano alla sezione aurea
Valutare in modo critico le affermazioni sui numeri di Fibonacci in natura e nell'arte

Prerequisiti

• Introduzione alle successioni: i termini e la notazione $a_n$
• Successioni aritmetiche e geometriche (differenza costante e rapporto costante)
• Dividere numeri interi e arrotondare numeri decimali
• Radici quadrate come $\sqrt{5} \approx 2{,}236$

Spunti di discussione

1. In che cosa la regola di Fibonacci è diversa dalle regole delle successioni aritmetiche e geometriche?
2. Nel modello dei conigli nessun coniglio muore. Che cosa cambierebbe se le coppie morissero dopo qualche mese?
3. Perché un numero di Fibonacci ogni tre è pari? Pensa a dispari + dispari e dispari + pari.
4. Se qualcuno dice che la sezione aurea è nascosta in un quadro famoso, che cosa dovresti controllare prima di crederci?

Idee sbagliate comuni

Il termine successivo è il doppio del precedente

Rimedio: Metti $1, 1, 2, 4, 8$ accanto a $1, 1, 2, 3, 5$ e chiedi agli studenti di enunciare la regola di ciascuna. Sottolinea che la regola di Fibonacci usa DUE termini precedenti.

A un certo punto i rapporti diventano esattamente $1{,}618$

Rimedio: Fai calcolare i rapporti con 5 cifre decimali in una tabella: $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}61538$ , $1{,}61905$ , ... Gli studenti vedranno l'alternanza e che nessuna frazione è uguale all'irrazionale $\varphi$ .

I numeri di Fibonacci e la sezione aurea sono ovunque in natura e nell'arte

Rimedio: Raccogliete conteggi veri su pigne o infiorescenze e cercate le eccezioni. Parlate del nautilus, la cui spirale non è aurea, e mostrate come un rettangolo aureo si possa appoggiare su quasi ogni immagine.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Usare una tabella con una riga per la posizione e una per il valore, e riempirla sommando le due caselle a sinistra
• Mettere in scena il problema dei conigli con carte per coppie adulte e coppie di cuccioli
• Permettere la calcolatrice per i rapporti, così l'attenzione resta sullo schema

Per studenti a livello:

• Trovare i termini fino a $F_{15}$ e verificare la regola della somma per vari valori di $n$
• Calcolare i rapporti tra vicini e rappresentarli in funzione di $n$
• Risolvere il problema della scala per 5-10 gradini

Per studenti avanzati:

• Spiegare con somme di pari e dispari perché un termine ogni tre è pari
• Mostrare che $r = 1 + \frac{1}{r}$ porta a $r^2 = r + 1$ e risolvere l'equazione
• Provare altri valori iniziali (numeri di Lucas, 3 e 10) e spiegare perché il limite del rapporto non cambia

Allineamento agli standard

HSF-IF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.3)
Riconoscere che le successioni sono funzioni, a volte definite per ricorrenza, come la successione di Fibonacci
HSF-BF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2)
Scrivere successioni per ricorrenza e usarle per modellizzare situazioni
8.NS.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.2)
Usare approssimazioni razionali di numeri irrazionali per stimarne il valore

Risorse della lezione

visualQuadrati e spirale di Fibonacci
Gli studenti aggiungono quadrati con lati di Fibonacci, vedono crescere la spirale aurea e osservano il grafico dei rapporti oscillare intorno a 1,618
activityContare le spirali
Gli studenti contano le spirali nei due versi su pigne, ananas o foto di girasoli e annotano se sono numeri di Fibonacci
worksheetSchemi di Fibonacci
Trovare termini, verificare lo schema dei termini pari e la regola della somma, e calcolare rapporti per i numeri di Fibonacci e di Lucas

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La successione di Fibonacci è l'elenco di numeri

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

in cui ogni termine dopo i primi due è la somma dei due termini precedenti:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, e così via.

La regola per ricorrenza

Chiamiamo i termini

F_1, F_2, F_3, \ldots

e scriviamo:

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ per } n \geq 3

Troverai anche la scrittura

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. È una regola per ricorrenza: per ottenere un termine ti servono i termini subito prima. In una successione aritmetica aggiungi sempre la stessa ragione

d

, in una successione geometrica moltiplichi sempre per la stessa ragione

r

, ma qui la quantità che aggiungi continua a crescere.

I conigli di Fibonacci

Nel 1202 Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, propose un problema sui conigli nel suo libro *Liber Abaci*. Oggi di solito si racconta così: in un prato viene messa una coppia di conigli appena nati. Una coppia diventa adulta dopo un mese e da quel momento ogni coppia adulta genera una nuova coppia ogni mese. Nessun coniglio muore. Contando le coppie mese per mese si ottiene

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(Nella versione di Fibonacci la prima coppia aveva figli già dal primo mese, quindi il suo conteggio iniziava con

1, 2, 3, 5, \ldots

, gli stessi numeri. Studiosi indiani li avevano già trovati secoli prima, contando i ritmi di sillabe lunghe e brevi nella poesia.)

Schemi nascosti

Un termine ogni tre è pari: $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , e tutti gli altri termini sono dispari.
**Somma dei primi $n$ termini**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Per esempio $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Rapporto tra vicini: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ si avvicina sempre di più alla sezione aurea

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Esempi svolti

La successione di Fibonacci inizia con

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Trova

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Individua gli ultimi due termini noti

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Sommali per ottenere $F_{10}$

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Somma i due termini più recenti per ottenere $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Ripeti ancora una volta per $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Risposta: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ e $F_{12} = 144$ . Somma sempre i due termini più recenti.

Errori comuni

Raddoppiare l'ultimo termine: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Perché è sbagliato: Raddoppiare dà una successione geometrica. La regola di Fibonacci somma gli ultimi DUE termini, e non sono uguali (tranne proprio all'inizio).

Corretto: Dopo $2$ viene $1 + 2 = 3$ , poi $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Sbagliare le posizioni, per esempio dire $F_{10} = 89$

Perché è sbagliato: I primi due termini valgono entrambi $1$ , quindi è facile saltarne uno. Alcuni libri mettono anche uno $0$ all'inizio ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ); se conti quello $0$ come primo termine, ogni posizione si sposta di uno.

Corretto: Scrivi le posizioni sopra i termini: $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Controlla da dove parte il tuo libro.

Pensare che i rapporti salgano piano piano fino a $1{,}618$ , o che un rapporto sia esattamente $\varphi$

Perché è sbagliato: I rapporti saltano sopra e sotto $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Ogni rapporto è una frazione e $\varphi$ è irrazionale, quindi nessun rapporto è mai uguale a $\varphi$ .

Corretto: Di' che i rapporti si avvicinano a $\varphi$ da entrambi i lati, quanto vogliamo, senza mai raggiungerlo.

Credere che ogni spirale e ogni bel rettangolo siano di Fibonacci o aurei

Perché è sbagliato: La conchiglia del nautilus è una spirale, ma il suo fattore di crescita non è $\varphi$ . Molte affermazioni sulla sezione aurea nel Partenone o nella Gioconda dipendono da dove si sceglie di tracciare le linee.

Corretto: Prima conta o misura. I numeri di spirali di girasoli e pigne sono spesso numeri di Fibonacci, ma non sempre, e le affermazioni sull'arte richiedono misure vere.

Perché è importante

La successione di Fibonacci è uno degli schemi più famosi della matematica e compare in posti sorprendenti:

Piante: molti girasoli mostrano 34 spirali in un verso e 55 nell'altro, le pigne spesso 8 e 13, gli ananas anche 8 e 13. Disporre i semi ruotando sempre dello stesso angolo (circa $137{,}5°$ , legato a $\varphi$ ) li distribuisce in modo regolare, quasi senza buchi, e da qui nascono i numeri di spirali di Fibonacci.
Contare: il numero di modi di salire una scala facendo 1 o 2 gradini alla volta è un numero di Fibonacci.
Unità di misura: poiché $\varphi \approx 1{,}618$ è vicino a $1{,}609$ (chilometri in un miglio), due numeri di Fibonacci vicini convertono le miglia in chilometri: 5 miglia sono circa 8 km, 8 miglia circa 13 km.
Pensiero ricorsivo: costruire ogni passo a partire dai precedenti è il modo in cui funzionano molti programmi per computer e modelli di crescita.

Una precisazione onesta: non tutte le spirali in natura sono spirali di Fibonacci, i conteggi sulle piante a volte sbagliano di uno, e molte affermazioni sulla sezione aurea in quadri ed edifici famosi sono esagerate. Un buon matematico controlla i numeri prima di credere alla storia.

Applicazioni nel mondo reale

Le spirali del girasole

I semi di un girasole formano due famiglie di spirali, una in senso orario e una in senso antiorario. I loro numeri sono molto spesso due numeri di Fibonacci vicini.

Esempio:

Un girasole tipico mostra 34 spirali in un verso e 55 nell'altro. I fiori più piccoli possono mostrarne 21 e 34, quelli molto grandi 89 e 144. Alcuni non seguono lo schema, quindi conta sempre.

1Provaci tu stesso

Un girasole gigante ha 55 spirali in senso orario. Le sue spirali in senso antiorario seguono il numero di Fibonacci successivo.

Quante spirali in senso antiorario ti aspetti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma 55 e il numero di Fibonacci subito prima:

Salire le scale

Se sali una scala facendo 1 o 2 gradini alla volta, il numero di modi diversi per arrivare in cima segue la regola di Fibonacci.

Esempio:

1 gradino: 1 modo. 2 gradini: 2 modi (1 + 1 oppure 2). 3 gradini: 3 modi. Per arrivare al gradino $n$ l'ultimo passo parte dal gradino $n - 1$ (passo da 1) o dal gradino $n - 2$ (passo da 2), quindi modi( $n$ ) = modi( $n - 1$ ) + modi( $n - 2$ ).

2Provaci tu stesso

Una scala ha 8 gradini. Sali 1 o 2 gradini alla volta. 1 gradino ha 1 modo, 2 gradini hanno 2 modi, e ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

In quanti modi diversi puoi salire tutti gli 8 gradini?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma i modi per 6 e 7 gradini:

Da miglia a chilometri

Un miglio vale circa $1{,}609$ km, molto vicino a $\varphi \approx 1{,}618$. Quindi un numero di Fibonacci di miglia corrisponde all'incirca al numero di Fibonacci successivo di chilometri.

Esempio:

5 miglia $\approx$ 8 km (esattamente $8{,}05$ km), 8 miglia $\approx$ 13 km (esattamente $12{,}87$ km), 13 miglia $\approx$ 21 km (esattamente $20{,}92$ km).

3Provaci tu stesso

Un percorso in bicicletta è lungo 21 miglia. Vuoi una stima veloce in chilometri.

Circa quanti chilometri sono 21 miglia?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa il numero di Fibonacci che segue 21:

Punti chiave

1La successione di Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ segue la regola per ricorrenza $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_1 = F_2 = 1$
2Il problema dei conigli di Fibonacci (1202) produce esattamente questi numeri mese per mese
3Un termine ogni tre è pari ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) e tutti gli altri sono dispari
4La somma dei primi $n$ termini è $F_{n+2} - 1$
5Il rapporto $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tende alla sezione aurea $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , stando a turno sopra e sotto
6Altri valori iniziali, come i numeri di Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , hanno lo stesso limite $\varphi$ ; i numeri di Fibonacci compaiono spesso nelle piante, ma non in ogni spirale

Domande frequenti

Perché i rapporti tendono a $1{,}618$ e non a un altro numero?

Se il rapporto si stabilizza su un numero

r

, allora

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

diventa

r = 1 + \frac{1}{r}

, cioè

r^2 = r + 1

. La soluzione positiva è

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, la sezione aurea. Verifica:

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Esiste una formula per $F_n$ senza scrivere tutti i termini?

Sì, si chiama formula di Binet:

F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}

. Anche se contiene

\sqrt{5}

, dà sempre un numero intero. La sua dimostrazione arriva più avanti in algebra; per ora sommare i termini è il metodo sicuro.

La successione inizia con 0 o con 1?

Sono comuni entrambe le versioni. Molti libri aggiungono

F_0 = 0

davanti:

0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots

Con

F_0 = 0

F_1 = 1

ogni termine mantiene il suo numero (

F_{10} = 55

in entrambi i casi); le posizioni cambiano solo se qualcuno chiama quello

0

il primo termine. In questa lezione

F_1 = F_2 = 1

La sezione aurea è davvero nascosta nel Partenone e nella Gioconda?

Probabilmente molto meno di quanto si dica. Se scegli liberamente le linee, trovi quasi sempre due lunghezze con un rapporto vicino a

1{,}6

, e ci sono poche prove storiche che quegli artisti l'abbiano voluto. Le spirali delle piante sono molto meglio documentate, e anche lì i conteggi non sono sempre numeri di Fibonacci.

Glossario

Successione di Fibonacci: La successione $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ in cui ogni termine è la somma dei due precedenti
Regola per ricorrenza: Una regola che calcola ogni termine dai termini precedenti, per esempio $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Sezione aurea ( $\varphi$ ): Il numero $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , limite del rapporto tra numeri di Fibonacci vicini
Numeri di Lucas: La successione $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ costruita con la regola di Fibonacci partendo dai numeri 2 e 1
Spirale aurea: La spirale formata da quarti di cerchio disegnati in quadrati i cui lati sono numeri di Fibonacci

Scheda formule

Regola per ricorrenza

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Ogni termine è la somma dei due precedenti

Somma dei primi $n$ termini

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Uno in meno del termine due posti più avanti

Sezione aurea

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Il limite di $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Proprietà chiave di $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

Elevare $\varphi$ al quadrato equivale ad aggiungergli 1

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

La regola per ricorrenza

I conigli di Fibonacci

Schemi nascosti

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Le spirali del girasole

Salire le scale

Da miglia a chilometri

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Regola per ricorrenza

Somma dei primi $n$ termini

Sezione aurea

Proprietà chiave di $\varphi$

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