Introduzione alle distribuzioni di probabilità

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Per una distribuzione di probabilità valida, tutte le probabilità devono sommare a:
1. a)100
2. b)1
3. c)0
4. d)Dipende dal numero di risultati
Risposta: 1
La somma di tutte le probabilità in una distribuzione deve essere uguale a 1 (o 100%). Questo assicura che uno dei risultati si verificherà sicuramente.
2.
Qual è la probabilità di ottenere un qualsiasi numero con un dado equilibrato a 6 facce?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Risposta:
Un dado equilibrato ha 6 risultati ugualmente probabili. Ogni faccia ha probabilità di essere ottenuta.
3.
Se le probabilità in una distribuzione sono , e , quale probabilità manca?
Risposta: 0.1
. Poiché le probabilità devono sommare a 1, la probabilità mancante è .
4.
Quale tipo di distribuzione ha tutti i risultati con uguale probabilità?
1. a)Distribuzione di Poisson
2. b)Distribuzione uniforme
3. c)Distribuzione normale
4. d)Distribuzione binomiale
Risposta: Distribuzione uniforme
Una distribuzione uniforme è quella in cui tutti i risultati hanno uguale probabilità. Un dado equilibrato è un esempio - ogni numero ha probabilità .
5.
Quanti risultati totali sono possibili lanciando due dadi?
Risposta: 36
Il dado 1 ha 6 opzioni, il dado 2 ha 6 opzioni. Risultati totali = .
6.
Qual è la probabilità di ottenere una somma di 7 con due dadi? Scrivi come frazione semplificata (es. 1/6).
Risposta: 1/6
Ci sono 6 modi per ottenere una somma di 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Con 36 risultati totali: .
7.
Lanciando due dadi, quale somma è PIÙ probabile?
1. a)12
2. b)7
3. c)2
4. d)6
Risposta: 2
La somma 7 ha il maggior numero di combinazioni (6 modi), rendendola la più probabile. Le somme 2 e 12 hanno ciascuna solo 1 modo.
8.
Un sacchetto contiene 3 biglie rosse, 2 blu e 5 verdi. Crea una distribuzione di probabilità per estrarre una biglia.
Risposta: P(red)=0.3, P(blue)=0.2, P(green)=0.5
1. Quante biglie ci sono in totale nel sacchetto? 10
2. Qual è P(rossa)? Scrivi come decimale. 0.3
3. Qual è P(blu)? Scrivi come decimale. 0.2
4. Qual è P(verde)? Scrivi come decimale. 0.5
9.
Calcola il valore atteso lanciando un dado equilibrato.
Risposta: 3.5
1. Qual è la probabilità di ogni risultato? 1/6
2. Calcola: 1
3. Calcola: 2.5
4. Somma le due parti per ottenere 3.5
10.
Un gioco costa 5 euro per giocare. Vinci 20 euro se ottieni un 6, altrimenti non vinci nulla. Qual è il profitto atteso per partita?
1. a) euro
2. b) euro (circa euro)
3. c) euro
4. d) euro (circa euro)
Risposta: euro (circa euro)
euro. Perdi in media!
11.
Una fabbrica produce articoli con un tasso di difetti del 4%. In un lotto di 250 articoli, qual è il numero atteso di articoli difettosi?
Risposta: 10
1. Converti 4% in decimale 0.04
2. Quanti articoli ci sono nel lotto? 250
3. Calcola: 10
12.
Una moneta è truccata in modo che P(testa) = 0,6 e P(croce) = 0,4. Se testa vince 3 euro e croce perde 2 euro, qual è il valore atteso per lancio?
Risposta: 1
euro. In media, vinci 1 euro per lancio!
13.
Un biglietto della lotteria costa 2 euro. Hai l'1% di probabilità di vincere 100 euro, il 5% di probabilità di vincere 10 euro, altrimenti non vinci nulla. È un gioco equo?
Risposta: No, expected profit is -0.5 euros
1. Qual è P(vincere 100)? 0.01
2. Qual è P(vincere 10)? 0.05
3. Qual è P(vincere 0)? 0.94
4. Calcola le vincite attese: 1.5
5. Sottrai il costo del biglietto dalle vincite attese -0.5
14.
Quale affermazione sul valore atteso è FALSA?
1. a)Il valore atteso può essere negativo
2. b)Il valore atteso è sempre uno dei risultati possibili
3. c)Il valore atteso rappresenta la media a lungo termine
4. d)Il valore atteso è una media ponderata dei risultati
Risposta: Il valore atteso è sempre uno dei risultati possibili
FALSO: Il valore atteso NON è sempre un risultato possibile. Per un dado, , ma non puoi ottenere 3,5! Il valore atteso è una media teorica, non necessariamente un risultato raggiungibile.
15.
Una compagnia assicurativa sa che il 2% dei clienti presenta reclami con media di 8000 euro. Addebitano a ogni cliente un premio annuale di 200 euro. Con 5000 clienti, qual è il loro profitto annuale atteso?
Risposta: 200000
1. Calcola il reddito totale dei premi: 1000000
2. Quanti clienti si prevede presenteranno reclami? 100
3. Calcola i pagamenti attesi: 800000
4. Calcola il profitto atteso: Entrate - Pagamenti 200000