Probabilità con la distribuzione normale

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
I punteggi di un test seguono una distribuzione normale con $\mu = 60$ e $\sigma = 10$ . Quale espressione dà il punteggio z di un risultato di 75?
1. a) $\frac{75 - 60}{10^2}$
2. b) $\frac{75 - 10}{60}$
3. c) $\frac{75 - 60}{10}$
4. d) $\frac{60 - 75}{10}$
Risposta: $\frac{75 - 60}{10}$
$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{10} = 1{,}5$ . Le altre espressioni invertono l'ordine, scambiano i numeri o dividono per la varianza.
2.
L'altezza degli uomini adulti segue una distribuzione normale con $\mu = 170$ cm e $\sigma = 8$ cm. Qual è il punteggio z di un uomo alto 182 cm?
Risposta: 1.5
$z = \frac{182 - 170}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ : si trova 1,5 deviazioni standard sopra la media.
3.
La tavola dà $P(Z < 1) = 0{,}8413$ . Quanto vale $P(Z > 1)$ ?
1. a)0,1587
2. b)0,8413
3. c)0,3413
4. d)0,6587
Risposta: 0,1587
$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ . Il valore 0,8413 è l'area a sinistra, e 0,3413 è l'area tra 0 e 1.
4.
Le mele di un frutteto pesano $\mu = 150$ g con $\sigma = 20$ g, secondo una distribuzione normale. Usa $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Quale proporzione di mele pesa meno di 160 g? Scrivi un numero decimale.
Risposta: 0.6915
$z = \frac{160 - 150}{20} = 0{,}5$ . Un'area a sinistra si legge direttamente: $P(X < 160) = P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ , circa il 69,15% delle mele.
5.
I punteggi di un esame seguono una distribuzione normale con $\mu = 72$ e $\sigma = 6$ . La tavola dà $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ . Calcola $P(X < 81)$ .
Risposta: 0.9332
1. Quanto fa $81 - 72$ ? 9
2. Dividi per $\sigma = 6$ . Qual è il punteggio z? 1.5
3. Quanto vale $P(X < 81)$ come numero decimale? 0.9332
4. Che percentuale di studenti ottiene meno di 81? 93.32
6.
I tempi di consegna delle pizze seguono una distribuzione normale con $\mu = 30$ min e $\sigma = 5$ min. La tavola dà $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Calcola la probabilità che una consegna duri più di 40 minuti.
Risposta: 0.0228
1. Qual è il punteggio z di 40 minuti? 2
2. Quanto vale l'area a sinistra $P(Z < 2)$ ? 0.9772
3. Quanto vale $P(X > 40)$ ? 0.0228
7.
Delle bottiglie sono riempite con $\mu = 500$ mL e $\sigma = 5$ mL, secondo una distribuzione normale. Con $P(Z < 2) = 0{,}9772$ e $P(Z < -1) = 0{,}1587$ , quanto vale $P(495 < X < 510)$ ?
1. a)0,8185
2. b)1,1359
3. c)0,9772
4. d)0,1587
Risposta: 0,8185
$P(495 < X < 510) = P(Z < 2) - P(Z < -1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ . Sommando i due valori si supera 1, cosa impossibile per una probabilità.
8.
La batteria di un portatile dura $\mu = 8$ ore con $\sigma = 0{,}8$ ore, secondo una distribuzione normale. Usa $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$ . Qual è la probabilità che una batteria duri più di 9 ore? Scrivi un numero decimale.
Risposta: 0.1056
$z = \frac{9 - 8}{0{,}8} = 1{,}25$ , quindi $P(X > 9) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ , circa il 10,56% delle batterie.
9.
L'altezza delle donne segue una distribuzione normale con $\mu = 165$ cm e $\sigma = 6$ cm. La tavola dà $P(Z < 1) = 0{,}8413$ e $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ . Calcola $P(156 < X < 171)$ .
Risposta: 0.7745
1. Qual è il punteggio z di 156 cm? -1.5
2. Qual è il punteggio z di 171 cm? 1
3. Quanto vale $P(156 < X < 171)$ ? 0.7745
10.
I punteggi del QI seguono una distribuzione normale con $\mu = 100$ e $\sigma = 15$ . Trova il 90° percentile.
Risposta: 119.2
1. Quale punteggio z ha un'area di 0,90 alla sua sinistra? 1.28
2. Quanto fa $1{,}28 \times 15$ ? 19.2
3. Qual è il 90° percentile $x = 100 + 19{,}2$ ? 119.2
11.
Per l'altezza delle donne ( $\mu = 165$ cm, $\sigma = 6$ cm) abbiamo trovato $P(X < 174) = 0{,}9332$ . Che cosa significa?
1. a)Circa il 93,32% delle donne misura esattamente 174 cm
2. b)Circa il 93,32% delle donne misura meno di 174 cm
3. c)174 cm è il 93,32% dell'altezza media
4. d)Circa il 93,32% delle donne misura più di 174 cm
Risposta: Circa il 93,32% delle donne misura meno di 174 cm
Una probabilità sotto la curva normale è una proporzione della popolazione: il 93,32% delle donne misura meno di 174 cm, quindi solo il 6,68% misura di più.
12.
I punteggi di un esame seguono una distribuzione normale con $\mu = 70$ e $\sigma = 8$ . La tavola dà $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Quale proporzione di studenti ottiene tra 66 e 74? Scrivi un numero decimale.
Risposta: 0.383
$z = \pm 0{,}5$ . $P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ , quindi $P(66 < X < 74) = 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}383$ , circa il 38,3% degli studenti.
13.
Una fabbrica produce 1000 lampadine. La loro durata segue una distribuzione normale con $\mu = 1200$ ore e $\sigma = 100$ ore. La tavola dà $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Circa quante lampadine durano più di 1400 ore?
Risposta: 23
1. Qual è il punteggio z di 1400 ore? 2
2. Quanto vale $P(X > 1400)$ ? 0.0228
3. Quanto fa $0{,}0228 \times 1000$ ? 22.8
4. Arrotonda a un numero intero di lampadine. 23
14.
Una macchina riempie bottiglie con $\mu = 500$ mL e $\sigma = 4$ mL. Il 5% delle bottiglie meno riempite viene scartato. Trova il volume soglia sotto cui una bottiglia viene scartata.
Risposta: 493.42
1. Quale punteggio z ha un'area di 0,05 alla sua sinistra? -1.645
2. Quanto fa $-1{,}645 \times 4$ ? -6.58
3. Qual è la soglia $x = 500 + (-6{,}58)$ in mL? 493.42
15.
L'altezza degli uomini segue una distribuzione normale con $\mu = 175$ cm e $\sigma = 7$ cm. Con $z \approx 1{,}28$ per il 90° percentile, quale altezza segna il 10% più alto?
1. a)166,04 cm
2. b)175,7 cm
3. c)182 cm
4. d)183,96 cm
Risposta: 183,96 cm
$x = 175 + 1{,}28 \times 7 = 175 + 8{,}96 = 183{,}96$ cm. 166,04 cm è il 10° percentile (coda sbagliata), 182 cm è solo $\mu + \sigma$ e 175,7 cm tratta il 10% come $0{,}1\sigma$ .
16.
La batteria di un telefono dura $\mu = 20$ ore con $\sigma = 2$ ore, secondo una distribuzione normale. La tavola dà $P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514$ . Quante ore dura almeno il 75% delle batterie? Scrivi la risposta con due decimali.
Risposta: 18.66
Il 75% sopra il valore significa 0,25 sotto, quindi $z \approx -0{,}67$ (valore della tavola 0,2514). $x = 20 + (-0{,}67) \times 2 = 20 - 1{,}34 = 18{,}66$ ore.
17.
Un magazzino spedisce 4000 pacchi al giorno. Il loro peso segue una distribuzione normale con $\mu = 250$ g e $\sigma = 10$ g. La tavola dà $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ e $P(Z < -1) = 0{,}1587$ . Circa quanti pacchi pesano tra 240 g e 265 g?
Risposta: 3098
1. Qual è il punteggio z di 240 g? -1
2. Qual è il punteggio z di 265 g? 1.5
3. Quanto vale $P(240 < X < 265)$ ? 0.7745
4. Quanti dei 4000 pacchi sono? 3098
18.
Un'azienda di cereali riempie scatole con $\sigma = 6$ g. L'etichetta indica 500 g e solo il 2,5% delle scatole può contenerne meno. Su quale media $\mu$ va regolata la macchina?
Risposta: 511.76
1. Quale punteggio z ha un'area di 0,025 alla sua sinistra? -1.96
2. Quanti grammi sono $1{,}96\sigma$ , cioè $1{,}96 \times 6$ ? 11.76
3. 500 g si trova 11,76 g sotto la media. Quanto vale $\mu$ ? 511.76